《刚体静力学》

第一篇 刚体静力学

静力学研究物体在力系作用下平衡的普遍规律，即研究物体平衡时作用在物体上的力应该满足的条件。在本篇的静力学分析中，我们将物体视为刚体。刚体静力学主要研究三方面的问题:（1）刚体的受力分析；（2）力系的等效与简化；（3）力系的平衡条件及应用。

刚体静力学的理论和方法在工程中有着广泛的应用，许多机器零件和结构件，如机器的机架、传动轴、起重机的起重臂、车间天车的横梁等，正常工作时处于平衡状态或可以近似地看作平衡状态。为了合理地设计这些零件或构件的形状、尺寸，选用合理的材料，往往需要首先进行静力学分析计算，然后对它们进行强度、刚度和稳定性计算。所以静力学的理论和计算方法是机器零件和结构件静力设计的基础。

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第一章 刚体的受力分析

第一节 基本概念

一、力的概念

人用手拉悬挂着的静止弹簧，人手和弹簧之间有了相互作用，这种作用引起弹簧运动和变形。运动员踢球，脚对足球的力使足球的运动状态和形状都发生变化。太阳对地球的引力使地球不断改变运动方向而绕着太阳运转。锻锤对工件的冲击力使工件改变形状等。人们在长期的生产实践中，通过观察分析，逐步形成和建立了力的科学概念：力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化或使物体形状发生改变。物体运动状态的改变是力的外效应，物体形状的改变是力的内效应。

实践证明，力对物体的内外效应决定于三个要素：（1）力的大小；（2）力的方向；（3）力的作用点。

力的作用点表示力对物体作用的位置。力的作用位置，实际中一般不是一个点，而往往是物体的某一部分面积或体积。例如人脚踩地，脚与地之间的相互压力分布在接触面上；物体的重力则分布在整个物体的体积上。这种分布作用的力称为分布力。但有时力的作用面积不大，例如钢索吊起机器设备，当忽略钢索的粗细时，可以认为二者连接处是一个点，这时钢索拉力可以简化为集中作用在这个点上的一个力。这样的力称为集中力。由此可见，力的作用点是力的作用位置的抽象化。

为了度量力的大小必须首先确定力的单位，本书采用国际单位制，力的大小以牛顿为单位。牛顿简称牛（N），1000牛顿简称千牛（kN）。

在力学中要区分两类量：标量和矢量。在确定某种量时，只需一个数就可以确定的量称为标量。例如长度﹑时间﹑质量等都是标量。在确定某种量时，不但要考虑它的大小，还要考虑它的方向，这类量称为矢量，也称向量。力﹑速度和加速度等都是矢量。矢量可用一具有方向的线段来表示。如图1-1所示，线段的起点A（或终点B）表示力的作用点，沿力矢顺

图1-1

着箭头的指向表示力的方向；线段的长度（按一定的比例尺）表示力的大小。本书中用黑体字母表示矢量，而以普通字母表示这矢量的模（即大小）。图1-1中F表示力矢量，F表示该力的大小（F=600N）。

力系是指作用在物体上的一组力。作用在物体上的一个力系如果可以用另一个力系来代替而效应相同，那么这两个力系互为等效力系。若一个力与一个力系等效，则这个力称为该力系的合力。

二、质点和刚体的概念

如果我们仔细地考虑物体的机械运动，则运动情况总是比较复杂的。例如物体的落体运动，一方面物体受到重力作用，另一方面它还受到空气的阻力，而空气阻力又与落体的几何形状、大小及下降速度有关。但是在许多情况下，阻力所起的作用很小，运动的情况主要

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取决于重力，因而可以忽略空气阻力，这样物体的运动就可看作与几何形状、大小等无关。类似的例子很多，概括这些事实，我们可以看到，在某些问题中，物体的形状和大小与研究的问题无关或者起的作用很小，是次要因素。为了首先抓住主要的因素和掌握它的基本运动规律，我们有必要忽略物体的形状和大小。这样在研究问题中，不计物体形状﹑大小，只考虑质量并将物体视为一个点，即质点。质点在空间占有确定的位置，常用直角坐标系中x﹑y﹑z值表示。

力对物体的外效应是使物体的运动状态发生变化，力对物体的内效应是使物体发生变形。在通常情况下，机械零件、工程中的结构件在工作时，受力产生的变形是很微小的，往往只有专门的仪器才能测量出来。在很多工程问题中，这种微小的变形对于研究物体的平衡问题影响极小，可以忽略不计。这样忽略了物体微小的变形后便可把物体看作刚体。我们把刚体定义为由无穷多个点组成的不变形的几何形体，它在力的作用下保持其形状和大小不变。刚体是对物体加以抽象后得到的一种理想模型，在研究平衡问题时，将物体看成刚体会大大简化问题的研究。

同一个物体在不同的问题中，有时可看作质点，有时要看作刚体，有时则必须看作变形体。例如当研究月球运行轨道时，月球可看作质点；当研究月球自转时，月球要看作刚体。同样，当研究车辆离出发点距离时，车辆可看作质点；当研究车辆转弯时，车辆可看作刚体；当研究车辆振动时，车辆则要看作变形体。

三、平衡的概念

物体相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态称为物体的平衡状态。例如桥梁﹑机床的床身﹑高速公路上匀速直线行驶的汽车等，都处于平衡状态。物体的平衡是物体机械运动的特殊形式。平衡规律远比一般的运动规律简单。

如果刚体在某一个力系作用下处于平衡，则此力系称为平衡力系。力系平衡时所满足的条件称为力系的平衡条件。力系的平衡条件，在工程中有着十分重要的意义。在设计工程结构的构件或作匀速运动的机械零件时，需要先分析物体的受力情况，再运用平衡条件计算所受的未知力，最后按照材料的力学性能确定几何尺寸或选择适当的材料品种。有时对低速转动或直线运动加速度较小的机械零件，也可近似地应用平衡条件进行计算。人们在设计各种机械零件或结构物时，常常需要静力分析和计算，平衡规律在工程中有着广泛的应用。

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第二节 静力学公理

人们在长期的生活和生产活动中，经过实践﹑认识﹑再实践﹑再认识的过程，不仅建立了力的概念，而且总结出力所遵循的许多规律，其中最基本的规律可归纳为以下五条：

1. 二力平衡原理 受两力作用的刚体，其平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，并且作用在同一直线上（图1-2）。简称此两力等值﹑反向﹑共线。即：

F1=－F 2

图1-2

上述条件对于刚体来说，既是必要又是充分的；但是对于变形体来说，仅仅是必要条件。例如，绳索受两个等值反向的拉力作用时可以平衡，而两端受一对等值反向的压力作用时就不能平衡。

在两个力作用下处于平衡的刚体称为二力体。如果物体是某种杆件或构件，有时也称为二力杆或二力构件。

2. 加减平衡力系原理

在作用于刚体上的任何一个力系上，加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。 由二力平衡原理和加减平衡力系原理这两条力的基本规律，可以得到下面的推论：作用在刚体上的一个力，可沿其作用线任意移动作用点而不改变此力对刚体的效应。这个性质称为力的可传性，说明力是滑移矢量。在图1-3中，作用在物体A点的力F，将它的作用点移到其作用线上的任意一点B，而力对刚体的作用效果不变。特别需要强调的是，当必须考虑物体的变形时，这个性质不再适用。例如图1-4所示拉伸弹簧，力F 作用于A处与作用于B处效果完全不同。

图1-3 图1-4

根据力的可传性，作用在刚体上的力其三要素成为大小﹑方向和作用线的位置。这样力矢就可以从它作用线上的任一点画出。

本篇研究刚体静力学，故在本篇以后的叙述中，“物体”也代表“刚体”。

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3．力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也作用于该点，其大小和方向由两分力为邻边所构成的平行四边形的对角线表示。图1-5中R表示合力，F1﹑F2表示分力。这种求合力的方法，称为矢量加法，用公式表示为

R= F1+F2

图1-5

上述求合力的方法，称为力的平行四边形法则。

为了方便起见，在用矢量加法求合力时，可不必画出整个平行四边形，而是从A点作一个与力F1大小相等﹑方向相同的矢量AB，如图1-6所示，过B点作一个与力F2大小相等﹑方向相同的矢量BC，则AC就是力F1和F2的合力R。这种求合力的方法，称为力三角形法则。

图1-6

推论（三力平衡汇交定理） 当刚体受三个力作用（其中二个力的作用线相交于一点）而处于平衡时，则此三力必在同一平面内，并且它们的作用线汇交于一点。

证明 图1-7中，刚体上A﹑B﹑C三点，分别作用着互成平衡的三个力F1﹑F2 ﹑F3，

图1-7

它们的作用线都在平面ABC内但不平行。F1与F2的作用线交于O点，根据力的可传性原理，将此两个力分别移至O点，则此两个力的合力R必定在此平面内且通过O点。而R必须和F3平衡。由力的平衡条件可知F3与R必共线，所以F3的作用线亦必通过力F1﹑F2的交点O，即三个力的作用线汇交于一点。

4．作用和反作用定律

两个物体间相互作用的一对力，总是同时存在并且大小相等﹑方向相反﹑作用线相同，分别作用在这两个物体上。这就是作用和反作用定律。

例如车刀在加工工件时（图1-8），车刀作用于工件上切削力为P，同时工件必有反作用力P’加到车刀上。P和P’总是等值、反向、共线。

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图1-8

机械中力的传递，都是通过机器零件之间的作用与反作用的关系来实现的。借助这个定律，我们能够从机器一个零件的受力分析过渡到另一个零件的受力分析。

特别要注意的是必须把作用和反作用定律与二力平衡原理严格地区分开来。作用和反作用定律是表明两个物体相互作用的力学性质，而二力平衡原理则说明一个刚体在两个力作用下处于平衡时两个力应满足的条件。

5. 刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。 此公理提供了把变形体视为刚体模型的条件。如图1-9所示，绳索在等值、反向、共线

图1-9

的两个力作用下处于平衡，如果将绳索刚化为刚体，其平衡状态保持不变。反之不一定成立。例如刚体在两个等值、反向的压力作用下平衡，如果将它用绳索代替就不能保持平衡了。 由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可以进一步研究变形体的平衡问题。 以上最基本的五条规律也称为静力学公理，这些公理不可能用更简单的原理去代替，也无须证明而被大家所公认。静力学公理概括了力的基本性质，是建立静力学理论的基础。

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第三节 力在直角坐标轴上的投影

设空间直角坐标系Oxyz的三个坐标轴如图1-10所示，已知力F与三根轴的夹角分别为α﹑β﹑γ。此力在x﹑y﹑z轴上的投影X﹑Y﹑Z分别为：

图1-10

?X?Fcos???Y?Fcos??Z?Fcos?? （1-1）

投影是代数量。例如当900

在一些机械问题中，人们往往习惯于采用二次投影法。设力F与z轴夹角为?﹑在Oxy平面分量Fxy与x轴夹角为?。如图1-11所示，首先将力F投影到z轴和Oxy平面上，分别

图1-11

得到Fz?Fcos?、Fxy?Fsin?，然后将Fxy再投影到x﹑y轴上。结果为：

?X?Fsin?cos???Y?Fsin?sin??Z?Fcos?? （1-2）

设i﹑j﹑k为x﹑y﹑z轴的单位矢量，若以Fx﹑Fy﹑Fz分别表示F沿直角坐标轴x

﹑y﹑z的三个正交分量（图1-12），则：

F= Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk (1-3)

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图1-12

F?X2?Y2?Z2X??arccos,F??YZ???arccos,??arccos?FF? （1－4）

如果已知投影X﹑Y﹑Z的值，力F 的大小与方向可由式（1-4）确定。

应当注意力的投影和分量的区别，首先力的投影是标量，而力的分量是矢量；其次对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。例如图1-13所示斜交坐标系Oxy,力F沿Ox﹑

图1-13

Oy轴的分量大小为OB和OC(图a)，而对应投影的大小是OD和OE（图b），显然它们不相同。

例1-1 已知圆柱斜齿轮所受的总啮合力P=2828N，齿轮压力角α=200，螺旋角β=250,

如图1-14所示。试计算齿轮所受的圆周力 Pt﹑轴向力 Pa和径向力 Pr。

图1-14

解： 取坐标系如图1-14所示，使x﹑y﹑z三个轴分别沿齿轮的轴向﹑圆周的切线方向和径向，先把总啮合力P向z轴和Oxy坐标平面投影，分别为

00

Z=－Psin?=－2828sin20N=－967N， Pn=Pcos?=2828cos20N=2657N

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再把力二次投影到x和y轴上，得到

X=－Pnsinβ=-Pcos?sinβ=-2828cos20sin25N=-1123N

00

Y=－Pncosβ=-Pcos?cosβ=-2828cos20cos25N=-2408N

各分力的大小分别等于对应投影的绝对值，即

0

0

轴向力Pa大小：Pa=|X|=1123N， 周向力Pt大小：Pt=|Y|=2408N 径向力Pr大小：Pr=|Z|=967N

例1-2 在数控车床上加工外圆时，已知被加工件S对车刀D的作用力（即切削抗力）

的三个分力为：Fx=300N，Fy=600N，Fz=－1500N，如图1-15所示，试求合力的大小和方向。

图1-15

解： 取直角坐标系Oxyz如图1-15b所示。合力R在x﹑y﹑z坐标轴上的分力为Fx

﹑Fy﹑Fz。由于力在直角坐标轴上的投影和力沿相应直角坐标轴的分力在数值上相等，所以合力R的大小和方向可由公式（1-4）求得，即

合力的大小为

R?X2?Y2?Z2?Fx2?Fy2?Fz2?3002?6002?15002N?1643N

合力与x﹑y﹑z轴的夹角分别为

??arccos??arccosFx300?arccos?79029'R1643

Fy?arccos600?68035'R1643 F??arccosz?arccos?1500?arccos(?0.9130)?155055'R1643

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第四节 力对点的矩

一、力矩的定义

用扳手转动螺母时，螺母的轴线固定不动，轴线在图面上的投影为点O，如图1-16所示。力F可以使扳手绕点O（即绕通过点O垂直于图面的轴）转动。由经验可知，力F越大，螺钉就拧的越紧；力F的作用线与螺钉中心O的距离越远，就越省力。显然，力F使扳手绕

图1-16

点O的转动效应，取决于力F的大小和力作用线到点O的垂直距离h。这种转动效应可用力对点的矩来度量。力对点的矩实际上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。

设平面上作用一力F，在该平面内任取一点O称为力矩中心，简称矩心，如图1-17所

图1-17

示。点O到力作用线的垂直距离h称为力臂。力F对点O的矩用mo（F）表示或mo表示，计算公式为：

mo（F）=±Fh (1-5)

即在平面问题中力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，力矩的正负号通常规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正，顺时针方向转动时为负。

力矩在下列两种情况下等于零：（1）力的大小等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。

力矩的量纲是[力]·[长度]，在国际单位制中以牛顿·米(N·m)为单位。

二、平面问题中力对点的矩的解析表达式

在力对点的矩的计算中，还常用解析表达式。由图1-18可见，力对坐标原点的矩

图1-18

mo（F）=Fh=Frsin(α-θ)=Frsinαcosθ-Frcosαsinθ=rcosθ﹒Fsinα-rsinθ﹒Fcosα

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