直线上一动点到两定点距离之和最小问题

如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值

解题思路和步骤： 一、作出点p的位置：即其中一定点关于点p所在直线的对称点与另一定点的连线跟点p所在直线的交点。 1、作其中一定点关于点p所在直线的对称点； 2、连接该对称点和另一定点，所得直线与点p所在直线的交点即点p的位置。 二、其中一定点关于动点p所在直线的对称点与另一定点连结成的线段长即所求。

例题讲解

1、平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求： （1）P到A、B距离之和最小时的坐标； （2）P到A、B距离之和的最小值； （3）三角形PAB的周长的最小值。

例2、正方形ABCD的边长为8，点M在CD上且DM=2，动点N在对角线AC上，则DN+MN的最小值是多少？

1

例3．（2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB. （1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标和 △BOC的最小周长；若不存在，请说明理由.

y B O A x

巩固提高

1、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ， 则△PBQ周长的最小值为____________㎝。 2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，点E在正方形ABCD内，在对角线AC △ABE是等边三角形，

A 上有一点P，使PD?PE的和最小，则这个最小值为（ ） D A．23 B．26 C．3 D．6 P E

C B 3、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取 最小值时，△APD中边AP上的高为（ ） A、21717

B、

48C、 D、3 17171717

2

4、（2008，荆门）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别 是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 。

0

5、（2009，南通）如图，MN是O的直径，MN=2，点A在O上，∠AMN=30，B为弧AN的中点，P是直径MN上的一 个动点，则PA+PB的最小值是 。

6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ ED的最小值为_______。

7、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是____．

8、一次函数y?kx?b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

yBDPO CAx9、已知：抛物线的对称轴为x=－1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A??3，0?、C?0，?2?．（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标和此时△PBC的周长．

y O A B x C

3

10、如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，、0)C(0，2)，D为OA的中点．设点P是?AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．

（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长； y

C(0，2) B

P

O x D A(4，0)

4

作 业

︵

1、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP 的值最小，且BP+AP的最小值=

1题图 2题图 2题图

2、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN 的周长为________。

3、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则 △AEC的周长为__________。

4、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝ 8，△ABE的周长为14，则AB的长

4题图 5题图

5、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△BDC的周长为________． 6、（1）如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ；

（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

7、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试 画出图形，并说明理由。

5

8、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动 点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 9、（温州中考）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上,AD=2CD，点P是 半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是 .

A D

O P C

B

10、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是 ．

第10题 第11题

11、已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为 ．

12、已知在对抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标和△PBC的周长。

y3P21–4–3A–2–1O–1–2–3BC12x 6

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