2010-2011-1复变函数与积分变换试题- 复制

更新时间：2024-01-05 11:38:01 阅读量：教育文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

复变函数与积分变换期末考试试题推荐度：
相关推荐

2010/2011学年第一学期末考试试题（A卷）

一、复数的运算

126?i的辐角主值为（ D ）。辐角主值 13131111 A. arctan B. ?arctan C. ??arctan D. ???arctan

2222（一、1）、复数z??评注：学生对辐角主值和反正切的范围不清楚。

?? argz?(??,?]，x?0,arctanx?[0,),x?0,arctanx?(?,0)

22（一、2）、设z为复数，则方程z?| A. ?__z|?2?i的解为（ C )。

模、共轭 3333?i B. ?i C. ?i D. ??i 4444??i2（二、1）、i? e?2k? 。

幂函数二、函数解析性的判定

（三）证明函数??zRez在复平面上处处不解析。

解析函数的性质评注：一个复变函数解析等价于实部虚部可微且满足C-R条件（或实部虚部偏导连续存在且满足C-R条件），也等价于虚部是实部的共轭调和函数，另外还可以从定义出发先判断可导性。①绝大部分同学采用了第一种方法，个别采用了第二种，少部分采用了第三种，解答都基本正确，只是有个别同学不明白Rez代表的意思，导致函数表示错误；②本题最容易犯的错误本次考试还是有所体现：一些学生认为实部虚部偏导存在，则复变函数可导。

2证明一： ??x?ixy,u(x,y)?x2,v(x,y)?xy, ux?2x,uy?0,vx?y,vy?x,

u,v偏导处处存在连续，而满足C--R条件ux?vy,uy??vx的点为(0,0)，说明??zRez只

在z?0可导，其它点不可导，故处处不解析。

2证明二： ??x?ixy,u(x,y)?x2,v(x,y)?xy, uxx?2,uyy?0,uxx?uyy?0,

u处处不调和，故处处不解析。

第 1 页共 14 页

证明三：

zRez?z0Rez0(Rez?Rez0)(Rez?Rez0)?i(ImzRez?Imz0Rez0) ?z?z0(Rez?Rez0)?i(Imz?Imz0)?z0??,z?z0且Imz?Imz0z?z0且Imz?Imz0limzRez?z0Rez0(Rez?Rez0)(Rez?Rez0)?iImz（0Rez?Rez0)=limz?z0z?z0Rez?Rez0且Imz?Imz0=lim(Rez?Rez0)+iImz0=2Rez0+iImz0；?z0??,z?z0且Rez?Rez0limzRez?z0Rez0zRez0?z0Rez0=lim=Rez0

z?z0z?z0z?z0且Rez?Rez0故?z0?0，limz?z0zRez?z0Rez0不存在，说明z0?0的点处处不可导，故复平面上处处

z?z0不解析。

?z?0，Rez?证明四：

?z,因为z处处可导，故z?0时,zRezz?0时,Rez处处不可导，

处处不可导，从而复平面上处处不解析。

22错解：： ??x?ixy,u(x,y)?x,v(x,y)?xy, ux?2x,uy?0,vx?y,vy?x,u,v偏导处

处存在，故?处处可导。

三、积分和留数的计算

（一、3）、下列积分中，积分值不为零的是（ D ）。 A. B. C.

????zC3??2z?19,C为正向圆周z?1?1 其中?dz22?ln(z?4)?(1?z)sin(1?z)???C??dz，其中C为正向圆周z?1

2??Cz13dz,，其中C为正向圆周z?1 cosz D. ??Cz?1dz,，其中C为正向圆周z?2

柯西定理，柯西积分公式，高阶求导公式典型例子，复对数的解析区域、留数定理（一、4）、设Q(z)在z?1处解析，且Q(1)?0,则Res??Q(z)?。 ,1??（ A ）