盐城市东台实验中学2019年中考数学模拟试卷及答案（解析版）

2019年江苏省盐城市东台实验中学中考数学模拟试卷（6月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）（2019?金湾区一模）在下列运算中，计算正确的是（ ） 236326824224 A．B． C． D． （a）=a a?a=a a÷a=a a+a=a 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析： 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解． 323+25解答： 解：A、应为a?a=a=a，故本选项错误； B、应为a÷a=a=a，故本选项错误； 232×36C、（a）=a=a，正确； 222D、应为a+a=2a，故本选项错误． 故选C． 点评： 本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 2．（3分）（2019?金湾区一模）二次函数y=﹣2（x+1）﹣3的对称轴是直线（ ） x=1 A．x=﹣2 B． x=﹣1 C． D． x=﹣3 考点： 二次函数的性质． 专题： 计算题． 分析： 根据抛物线的顶点式即可得到抛物线的对称轴． 解答： 解：二次函数y=﹣2（x+1）2﹣3的对称轴是直线x=﹣1． 故选B． 点评： 2本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，顶点式为y=a（x﹣2

828﹣26）2+，顶点坐标为（﹣，）；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）． 3．（3分）（2019?金湾区一模）将点P（﹣4，3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，则点P′的坐标为（ ） A．（﹣2，5） B． （﹣6，1） C． （﹣6，5） D． （﹣2，1） 考点： 坐标与图形变化-平移． 专题： 动点型． 分析： 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 解答： 解：将点P（﹣4，3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，即坐标变为（﹣4﹣2，3﹣2），即点P′的坐标为（﹣6，1）．故选B． 数学试卷

点评： 本题考查点坐标的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等． 4．（3分）（2019?怀柔区二模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B． C． D． 考点： 中心对称图形；轴对称图形． 专题： 常规题型． 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 点评： 本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5．（3分）（2008?佛山）如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（ ）

BM=DN A．BM＞DN B． BM＜DN C． D． 无法确定 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据P为平行四边形ABCD的对称中心，可推出△DNP≌△BMP，从而可得到BM=DN． 解答： 解：如图，连接BD， ∵P是?ABCD的对称中心， ∴DP=BP，圆的半径PN=PM，由对顶角相等∠DPN=∠BPM， ∵PM=PN，PD=PB ∴△DNP≌△BMP， ∴BM=DN． 故选C． 点评： 平行四边形的对称中心是两条对角线的交点，考查了学生对平行四边形性质的掌握及全等三角形的判定定理． 6．（3分）（2019?金湾区一模）已知扇形的圆心角为120°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，则扇形的面积为（ ） 2222 A．B． C． D． 75cm 75πcm 150cm 150πcm 考点： 扇形面积的计算；弧长的计算． 分析： 先利用周长公式计算出弧长，再根据弧长公式计算出母线长．最后求扇形的面积． 解答： 解：弧长=10π 10π= 解得R=15cm 扇形的面积为lr=75πcm 故选B． 点评： 本题的关键是利用周长公式计算出弧长，再根据弧长公式计算出母线长，最后求出扇形的面积． 7．（3分）（2019?金湾区一模）抛物线y=2x﹣5x+3与坐标轴的交点共有（ ） A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 抛物线与x轴的交点． 分析： 先判断二次函数的图象与x轴有几个交点；再判定二次函数图象与y轴有几个交点． 22解答： 解：抛物线y=2x﹣5x+3与坐标轴的交点的个数即y=0时方程2x﹣5x+3=0解的个数，△=25﹣24=1＞0， 故方程有两个不相等的实数根，即抛物线y=2x﹣5x+3与坐标轴的交点共有2个． 与y轴交于（0，3）一个交点． 故选C． 点评： 要考虑二次函数和x轴y轴交点的总个数，不能遗漏． 8．（3分）（2019?金湾区一模）如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于（ ）

22

2

20 21 22 23 A．B． C． D． 考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 压轴题． 分析： 由图可知，各行数字中除两端的数代表行数外，其他元素均等于上一行中其肩上的数的和，如4=2+2，7=3+4，11=7+4，14=7+7，据此规律进行求解． 解答： 解：由a=7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为（11+5）即16，所以b=6+16=22，故选C． 点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 数学试卷

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9．（3分）（2019?金湾区一模）据中新社报道：2019年我国粮食产量将达到570000000000千克，用科学记

11

数法表示这个粮食产量为 5.7×10 千克． 考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 11解答： 解：将570000000000用科学记数法表示为：5.7×10． 11故答案为：5.7×10． 点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．（3分）（2019?苏州）函数y=

的自变量x的取值范围是 x＞1 ．

考点： 函数自变量的取值范围． 专题： 计算题． 分析： 一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 解答： 解：根据题意得到：x﹣1＞0， 解得x＞1． 故答案为：x＞1． 点评： 本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆． 11．（3分）（2007?河池）分解因式：2x﹣4xy+2y= 2（x﹣y） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 分析： 先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答： 解：2x2﹣4xy+2y2， 22=2（x﹣2xy+y）， 2=2（x﹣y）． 点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用完全平方公式进行二次因式分解，分解因式要彻底． 12．（3分）（2019?襄阳）分式方程

的解是 x=2 ．

2

2

2

考点： 解分式方程． 分析： 观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答： 解：方程的两边同乘x（x+3），得 2（x+3）=5x， 解得x=2． 检验：把x=2代入x（x+3）=10≠0，即x=2是原分式方程的解． 故原方程的解为：x=2． 故答案为：x=2． 点评： 此题考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，②解分式方程一定注意要验根． 13．（3分）（2019?启东市一模）如果实数x，y满足方程组

，那么x﹣y= 2 ．

2

2

考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题． 分析： 把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法求解得到x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答： 解：， ①×2得，2x+2y=8③， ②+③得，4x=9， 解得x=， 把x=代入①得，+y=4， 解得y=， ∴方程组的解是， ∴x﹣y=（）﹣（）=2222=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单． 14．（3分）（2019?响水县一模）方程x=x的解是 x1=0，x2=1 ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 分析： 将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 解答： 解：x2=x， 2移项得：x﹣x=0， 分解因式得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1 点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化2

数学试卷

为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 15．（3分）（2008?苏州）小明在7次百米跑练习中成绩如下：则这7次成绩的中位数是 12.9 秒． 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 13.1 12.8 成绩/秒 12.8 12.9 13.0 12.7 13.2 考点： 中位数． 专题： 图表型． 分析： 根据中位数的定义求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数． 解答： 解：本题的这7个数据的中位数应是这组数据从小到大依次排列后的第4个数，应是12.9． 故填12.9． 点评： 本题考查了中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 16．（3分）已知a、b、c为非零实数，且满足

=

=

=k，则一次函数y=kx+（1+k）的图象一定经

过第 二 象限． 考点： 一次函数图象与系数的关系；比例的性质． 分析： 解答本题需要分情况讨论，①当a+b+c≠0时，②当a+b+c=0时，由两种情况分别得出经过的象限，然后综合可得出答案． 解答： 解：分两种情况讨论： 当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得：k=2，此时直线是y=2x+3，过第一、二、三象限； 当a+b+c=0时，即a+b=﹣c，则k=﹣1，此时直线是y=﹣x，直线过第二、四象限． 综上所述，该直线必经过第二象限． 点评： 本题主要考查了学生对连等式的化简，利用等比性质化简求得k，从而可以得出一次函数的关系式，便可判断出函数图象与坐标系的位置关系． 17．（3分）（2019?浙江一模）如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2“树枝”

n

的个数为3，图A3“树枝”的个数为7，…，照此规律，图An的“树枝”的个数为 2﹣1 ．

考点： 规律型：图形的变化类． 分析： 根据图A2、图A3、A4所给的“树枝”的个数，找出其中的规律，从第二个图形开始，第几个图就是几的平方再减1，即可求出答案． 2解答： 解：∵图A2“树枝”的个数为3=2﹣1， 3图A3“树枝”的个数为7=2﹣1， 4图A4“树枝”的个数为15=2﹣1， …， n∴图An的“树枝”的个数为2﹣1； n故答案为：2﹣1． 点评： 此题考查了图形的变化类，通过归纳与总结，得到其中的规律，从第二个图形开始，第几个图就是几的平方再减1． 18．（3分）（2005?四川）如果记y=

=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=

=；

f（）表示当x=时y的值，即f（）==，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f

（n）+f（）= ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．

考点： 分式的加减法． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 由f（1）f（）可得：f（2）==；从而f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣．所以f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=解答： 解：∵f（1）==；f（）==， （n为正整数）． 得f（2）==； ∴f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣． 故f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=．（n为正整数） 点评： 解答此题关键是根据题中所给的式子找出规律，再解答． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：（2）先化简，再求值：

，其中

．

考点： 分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值． 分析： （1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别进行计算，再把所得的结果相加即可； （2）根据分式中的除法转化成乘法，再进行通分，把分式化到最简，再代入a的值即可求出答案． 数学试卷

解答： 解：（1）﹣+2=6﹣2； =﹣×a=﹣==﹣4+3﹣+4+1（2）=﹣， 把原式=﹣代入上式得： =﹣． 点评： 此题考查了分式的化简求值和实数的运算，解题的关键是掌握好零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，注意在化简分式时一定化到最简再代值． 20．（8分）（2019?金湾区一模）解不等式组：

并把解集在数轴上表示出来．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 专题： 计算题；作图题． 分析： 分别求出各不等式的解集，然后求出不等式组的解集，在数轴上表示出解集即可． 解答： 解：4﹣3x≤3x+10，解得：x≥﹣1； x+4＞3x，解得：x＜2， 故不等式的解集为：﹣1≤x＜2． 在数轴上表示为： 点评： 此题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组解集的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握不等式组求解的法则． 21．（8分）（2019?南通）光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力． （1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；

（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率． 考点： 列表法与树状图法． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力可以利用列表法列举出所有可能即可求出； （2）根据图表求出即可． 解答： 解：∵甲、乙、丙的检测情况，有如下8种可能： 1 2 3 4 5 6 7 8 ∴ A 甲 甲乙 甲丙 甲乙丙 乙 乙丙 丙 B 乙丙 丙 乙 甲丙 甲 甲乙 甲乙丙 （1）P（甲、乙、丙在同一处检测）==； （2）P（至少有两人在B处检测）==． 点评： 此题主要考查了列表法求概率，此题是中考中新题型，列举时一定注意不能漏解． 22．（8分）（2019?绥化）学生的学习兴趣如何是每位教师非常关注的问题．为此，某校教师对该校部分学生的学习兴趣进行了一次抽样调查（把学生的学习兴趣分为三个层次，A层次：很感兴趣；B层次：较感兴趣；C层次：不感兴趣）；并将调查结果绘制成了图①和图②的统计图（不完整）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生； （2）图①、②补充完整；

（3）将图②中C层次所在扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校1200名学生中大约有多少名学生对学习感兴趣（包括A层次和B层次）．

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析： （1）由A层次的人数所占比例为25%，A层次人数为50，故调查总人数为50÷25%=200； （2）根据调查总人数为200，故C层次的人数为200﹣120﹣50=30；B层次的人数所占的百分比是1﹣25%﹣15%； （3）C层次所在扇形的圆心角的度数可通过360°×15%求得； （4）由样本中A层次和B层次所占比例为60%和25%，所以可以估计对学习感兴趣的人数． 解答： 解：（1）此次抽样调查中，共调查了 50÷25%=200（人）； 故答案为：200．（2）C层次的人数为：200﹣120﹣50=30（人）； 所占的百分比是：×100%=15%； 数学试卷

B层次的人数所占的百分比是1﹣25%﹣15%=60%；（3）C层次所在扇形的圆心角的度数是：360×15%=54°；（4）根据题意得： （25%+60%）×1200=1020（人） 答：估计该校1200名学生中大约有1020名学生对学习感兴趣． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23．（10分）（2009?莱芜）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E． （1）求∠AEC的度数；

（2）求证：四边形OBEC是菱形．

考点： 切线的性质；菱形的判定；圆周角定理． 专题： 几何综合题． 分析： （1）由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到三角形OAC三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数； （2）由直线l与圆O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到BE与OC平行，根据两直线平行同位角相等，可得出∠B=∠AOC=60°，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED为直角，用∠AED﹣∠AEC求出∠DEC=60°，可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行，可得出EC与OB平行，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可得出四边形OBEC为平行四边形，再由半径OC=OB，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形，得证． 解答： 解：（1）∵OA=OC==2，AC=2， ∴OA=OC=AC， ∴△OAC为等边三角形，（1分） ∴∠AOC=60°，（2分） ∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都对弧，

∴∠AEC=∠AOC=30°；（3分） （2）∵直线l切⊙O于C， ∴OC⊥CD，（4分） 又BD⊥CD， ∴OC∥BD，（5分） ∴∠B=∠AOC=60°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠AEB=90°，又∠AEC=30°， ∴∠DEC=90°﹣∠AEC=60°， ∴∠B=∠DEC， ∴CE∥OB，（7分） ∴四边形OBCE为平行四边形，（8分） 又OB=OC， ∴四边形OBCE为菱形．（9分） 点评： 此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，平行四边形及菱形的判定，是一道综合性较强的试题，学生做题时应结合图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．熟练掌握性质及判定是解本题的关键． 24．（10分）（2019?响水县一模）兴趣小组的同学要测量教学楼前一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根竖直在地面上的长为1米的竹竿的在地面上的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此台阶上影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则此树高为多少米？

考点： 相似三角形的应用． 分析： 作出图形，先根据同时同地物高与影长成正比求出台阶的高落在地面上的影长EH，再求出落在台阶上的影长在地面上的长，从而求出大树的影长假设都在地面上的长度，再利用同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 解答： 解：如图，∵=， ∴EH=0.3×0.4=0.12， ∴AF=AE+EH+HF=4.4+0.12+0.2=4.72， ∵=， =11.8（米）． ∴AB=数学试卷

点评： 本题考查了相似三角形的应用，难点在于把大树的影长分成三段求出假设都在地面上的长度，作出图形更形象直观． 25．（10分）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：我们把

叫做正数a，b的算术平均数，把

当且仅当a=b时取到等号

叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：

两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知x＞0，求函数解：另

，则有

的最小值．

，得

，当且仅当

时，即x=2时，函数有最小

值，最小值为2．

根据上面回答下列问题 ①已知x＞0，则当x= 时，函数2

取到最小值，最小值为 ；

②用篱笆围一个面积为100m的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

③已知x＞0，则自变量x取何值时，函数 考点： 一元一次不等式的应用． 专题： 阅读型． 分析： 根据阅读材料可以得到两个正数的算术平均数一定大于或等于几何平均数． （1）令a=2x，b=，这两个数都是正数，根据：（2）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽=就可以直接得到结果． 米，则所用的篱笆总长为2倍的长+2倍的求解． 取到最大值，最大值为多少？

宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：（3）将原函数变为：=解答： 解：①已知x＞0，得小值，最小值为； =x+﹣2，则原函数的最大值，即为现在函数的最小值． =，当仅当2x=时，即x=时，函数取到最则当x=时，函数取到最小值，最小值为； ②设这个矩形的长为x米，则宽为根据题意得：y=2x+由上述性质知： ∵x＞0 ∴2x+≥40 米，所用的篱笆总长为y米， 此时，2x=∴x=10 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； ③令==x+﹣2≥4， 当且仅当x=时，取最小值为4， ∴当x=3时，y最大=． 点评： 本题是阅读型问题，解题的关键是读懂题目中给出的已给信息，理解阅读材料介绍的知识，主要培养自学能力． 26．（10分）（2019?响水县一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D

（1）试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；

（2）若点E在AB上，且DE=DC，当AB=3，AC=5时，求线段AE长．

考点： 切线的判定． 分析： （1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）首先证明Rt△ABD≌Rt△AFD可得AB=AF=3，进而得到FC=2，再证明Rt△EBD≌Rt△CFD进而得到EB=FC，继而得到AE=1． 解答： 解：（1）AC与⊙D相切； 理由如下： 过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC， ∴BD=DF， 数学试卷

∴AC为⊙D的切线；（2）∵在Rt△ABD和Rt△AFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴AB=AF=3， ∵AC=5， ∴FC=2， ∵在Rt△EBD和Rt△CFD中∴Rt△EBD≌Rt△CFD（HL）， ∴EB=FC=2， ∴AE=3﹣2=1． ， ， 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及切线的判定，关键是掌握全等三角形的判定与性质定理． 27．（12分）（2019?浙江一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且tan∠CAO=1，点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC交BC于点E． （1）求点C的坐标及直线BC的解析式；

（2）连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若点P是线段AC上的点，是否存在这样的点P，使△PQE成为等腰直角三角形？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

考点： 一次函数综合题． 分析： （1）在直角△AOC中，利用三角函数即可求得OC的长，从而得到C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式； （2）设Q的坐标是（q，0），根据相似三角形的性质，用q表示出△BEQ的面积，以及△ACQ的面积，则△CQE的面积即可表示成q的函数，利用函数的性质即可求得q的值； （3）设P点坐标为（p，4﹣p），即可利用p、q表示出△PQE的三边的长，然后分三种情况讨论，即可求得p，q的值，从而求得P的坐标． 解答： 解：（1）∵直角△AOC中tan∠CAO=1， ∴OC=OA=4， ∴C点坐标为（0，4）， 设直线BC的解析式是y=mx+n，则 ， 解得：． 则BC所在直线为y=x+4；（2）设直线AC的解析式是y=kx+b，则解得：， ， 则AC所在直线为y=4﹣x． 设Q点坐标为（q，0），其中q∈[﹣3，4]，则EQ所在直线为y=q﹣x， 解方程组，解得：． 则E点坐标为（，）， S△ABC=AB?OC=×7×4=14， AQ=4﹣q，BQ=q+3， ∵QE∥AC， ∴△BEQ∽△BCA， ∴=（）=2， ∴S△BEQ=×14=， S△ACQ=AQ?OC=（4﹣q）×4=2（4﹣q）， ∴S△CEQ=S△ABC﹣S△BEQ﹣S△ACQ=14﹣﹣2（4﹣q） =﹣++， 则当q=时，△CEQ的面积最大，则Q的坐标是（，0）；（3）设P点坐标为（p，4﹣p） 其中p∈[0，4]， 可得PQ=（p﹣q）+（4﹣p）PE=（p﹣q+）+（4﹣p﹣）QE=（）+（）=△PQE成为等腰直角三角形 （1）PQ为斜边，则有 PE=QEPQ=2QE的可得到（p﹣q+）+（4﹣p﹣）=（p﹣q）+（4﹣p）=22222222222222222， ， ，

数学试卷

解得或 ． 其中q=与q∈[﹣3，4]的范围不符 所以p=，q=， 对应P点坐标为（，）Q点坐标为（，0）； （2）PE为斜边 则有 PQ=QEPE=2QE即 （p﹣q）+（4﹣p）=（p﹣q+）+（4﹣p﹣）=22222222 可解得，对应P点坐标为（，）Q点坐标为（，0）；（3）QE为斜边则有 PQ=2，PE=2 22即 （p﹣q）+（4﹣p）=22 ， （p﹣q+）+（4﹣p﹣）=解得． 对应P点坐标为（，）Q点坐标为（，0）． 所有符合条件的点P坐标为（，）和（，）． 点评： 本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质的综合应用，正确进行讨论是关键． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒． （1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒， ①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标； ②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．

（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题；矩形的性质；相似三角形的性质． 专题： 压轴题；动点型；开放型． 分析： （1）因为无法直接求△CPQ的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t的值，就可求出Q的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，就可以求出Q点的坐标． （2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a、t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可求． 解答： 解：（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小． S△CPQ=S梯形QCOA﹣S△COP﹣S△APQ=（AQ+OC）×OA﹣AP?AQ﹣OC?OP =（0.5t+6）×10﹣×0.5t×（10﹣t）﹣×6×t =（t﹣6）+21 ∵a=＞0， ∴当t=6时，S△CPQ有最小值， 那么AQ=0.5t=0.5×6=3， ∴Q点的坐标是（10，3）． ②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况： （i）当△COP∽△PAQ时： ∴∴22=， =， 即t﹣7t=0， 解得，t1=0（不合题意，舍去），t2=7． ∴t=7， ∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5． ∴Q点的坐标是（10，3.5）．（ii）当△COP∽△QAP时： =∴=2， ， 即t+12t﹣120=0 解得：t1=﹣6+2，t2=﹣6﹣2（不合题意，舍去） 数学试卷

∴AQ=0.5t=﹣3+． ∴Q点的坐标是（10，﹣3+）；（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ， ∴， 即， 解得，t1=2，t2=18， 又∵0＜t＜10， ∴t=2．代入任何一个式子，可求a=． ∴AQ=at= ∴Q点的坐标是（10，）． 点评： 本题利用了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，还用到了二次函数求最小值的知识（当a＞0时，二次函数有最小值），矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．

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