3.3.2函数的极值与导数

3.3.2函数的极值与导数

班别:＿＿＿＿ 组别：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 评价：＿＿＿＿

【学习目标】

1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

☆预习案☆ （约 分钟）

依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。

【知识要点】 （阅读课文93—96页，完成导学案） 1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点

如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0 ， 而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值与极大值点

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大 ， f′(b)＝0 ，而且在点x＝ b附近的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 ． 想一想：（1）若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？

（2）函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？2．求函数f(x)极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么，f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么，f(x0)是极小值．

【预习自测】

1．函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________；单调递减区间为________．

2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．

A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 3．函数y＝1＋3x－x3有( )． A．极小值－1，极大值1 C．极小值－2，极大值2

1

B．极小值－2，极大值3 D．极小值－1，极大值3

☆探究案☆ （约 分钟）

【典型例题】

【例题1】求函数f(x)?

13x?4x?4的极值。 3

☆训练案☆ （约 分钟）

【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单！ 1．下列函数存在极值的是( )．

1

A．y＝ B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3

x

D．y＝x3

2.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________． 3.求下列函数的极值．

3

(1) f(x)＝2x3－6x2－18x＋7； （2）f(x)＝＋3ln x

x

4.设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．

【能力训练】——挑战高手，我能行！

5.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值；

(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．

2

【自主总结】——概念、定义、公式、定理、题型、方法……

1、学会了 2、掌握了 3、还有疑难

3.3.2函数的极值与导数答案

【知识要点】略 【预习自测】

1.答案：(2，＋∞) (－∞，2)

2.解析 f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．答案 C

3.解析 f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0可得x1＝1，x2＝－1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)＝3，极小值为f(－1)＝1－3＋1＝－1，故选D.答 【典型例题】

【例题1】P94例4 【基础训练】

1

1.解析 A中f′(x)＝－2，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′

x(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值，D也无极值．故选B. 答案 B

2.解析 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.

答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)

3.解：（1）f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，－1) ＋ －1 0 极大值 (－1，3) － 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ ∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47. 3

(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，

x333（x－1）

f′(x)＝－2＋＝，

xxx2令f′(x)＝0得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

3

x (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值3 因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.

4.解 (1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得x＝－2或x＝2.

因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0； 当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)． 当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42； 当x＝2时，f(x)有极小值5－42.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的大致走向 如图所示，当5－42＜a＜5＋42时， 直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不 同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同 的实数根．

【能力训练】

5.解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. ∵x＝±1是函数f(x)的极值点， ∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根， 即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，

?－

2b

＝0， 由根与系数的关系，得?3a

?

c

3a

＝－1 ②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③ 由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－3

2. (2)f(x)＝13

2x3－2

x，

∴f′(x)＝32x2－32＝3

2(x－1)(x＋1)，

当x<－1或x>1时，f′(x)>0，

4 ①

当－1

∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，

∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1， 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

5

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