原子物理学习题解答

原子物理学习题解答

第一章 原子的基本状况

1.1 若卢瑟福散射用的?粒子是放射性物质镭C放射的，其动能为7.68?10电子伏特。散射物质是原子序数Z?79的金箔。试问散射角??150所对应的瞄准距离b多大？

解：根据卢瑟福散射公式：

?'6ctg得到：

?2?4??0K?Mv2b?4??b0222ZeZe?

Ze2ctg?79?(1.60?1019)2ctg150?1522b???3.97?10米 ?126?194??0K?(4??8.85?10)?(7.68?10?10)式中K??12Mv是?粒子的功能。

1.2已知散射角为?的?粒子与散射核的最短距离为

2rm2Ze21?()(1?4??0Mv2sin1?) ，试问上题?粒子与散射的金原子核

2之间的最短距离rm多大？

解：将1.1题中各量代入rm的表达式，得：rmin2Ze21?()(1?) 2?4??0Mvsin214?79?(1.60?10?19)21?9?10??(1?)6?19?

7.68?10?1.60?10sin759?3.02?10?14米

1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可

能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个?e电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

?1

Ze21Ze22Mv?Kp?，故有：rmin?

4??0Kp24??0rmin79?(1.60?10?19)2?13?9?10??1.14?10米

106?1.60?10?199由上式看出：rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14?107?13米。

?71.4 钋放射的一种?粒子的速度为1.597?10米/秒，正面垂直入射于厚度为10米、

4?密度为1.932?10公斤/米的金箔。试求所有散射在??90的?粒子占全部入射粒子数

3的百分比。已知金的原子量为197。

解：散射角在????d?之间的?粒子数dn与入射到箔上的总粒子数n的比是：

dn?Ntd?n

其中单位体积中的金原子数：N?而散射角大于90的粒子数为：dn0?/mAu??N0/AAu

'??dn?nNt???d?2

所以有：

dn'?Nt???d?2n

??N0AAu?t?(14??0)2?(2Ze2180?2d? )?90?2?Musin322cos?等式右边的积分：I??180?90?cossin3??2d??2?180?90?2dsinsin3?2?1

?2故

?N0dn'122Ze22??t?()?() 2nAAu4??0Mu?8.5?10?6?8.5?10?4700

?即速度为1.597?10米/秒的?粒子在金箔上散射，散射角大于90以上的粒子数大约是

2

8.5?10?400。

1.5

时与理论值差得较远，时什么原（??15?）?粒子散射实验的数据在散射角很小

因？

答：?粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而?粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的?角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，?粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

1.6 已知?粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

证明：设碰撞前、后?粒子与电子的速度分别为：v,v',0,ve。根据动量守恒定律，得：

???'??'?Mv??Mv??mve'

??'?' …… (1) m?'1由此得：vve?ve??v??M7300112'2'2 又根据能量守恒定律，得：1Mv??Mv??mve2222'v??v?2?m'2ve ……（2） M

将（1）式代入（2）式，得：

??'22'2v??v??7300(v??v?)

22''整理，得：v?(7300?1)?v?(7300?1)?2?7300v?v?cos??0

?7300?1??'2?上式可写为：7300（v??v?)?0 ??'?v??v??0即?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细?粒子束射到单位面积上质量为1.05?10公斤/米的银箔上，?粒子与银箔表面成60角。在离L=0.12米处放一窗口面积为6.0?10米的计数器。测得散射进此窗口的?粒子是全部入射?粒子的百万分之29。若已知银的原子量为

107.9。试求银的核电荷数Z。

解：设靶厚度为t。非垂直入射时引起?粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度t，而是t?t/sin60，如图1-1所示。

因为散射到?与??d?之间d?立体

角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：

3

'''?22??52?20o 60° t, 60o t 图1.1

dn?Ntd?n而d?为：

(1)

ze22d??()()4??0Mv212d?sin4?2 （2）

把（2）式代入（1）式，得：

dn12ze22d?……（3） ?Nt()()?n4??0Mv2sin42式中立体角元d??ds/L,t?t/sin60?2t/3,??20

'N为原子密度。Nt为单位面上的原子数，Nt??/mAg??(AAg/N0)，其中?是单位

'?12'0'0面积式上的质量；mAg是银原子的质量；AAg是银原子的原子量；N0是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

dn2?N01ze22d? 2?()()2?nA4??Mv3Ag0sin42由此，得：Z=47

1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为

10?10米的球形原子内，如果有能量为106电子伏特的?粒子射向这样一个“原子”，试通过

计算论证这样的?粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于90的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：设?粒子和铅原子对心碰撞，则?粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：

01Mv2?2Ze2/4??0R?3.78?10?16焦耳?2.36?103电子伏特 2由此可见，具有10电子伏特能量的?粒子能够很容易的穿过铅原子球。?粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：

6F?2Ze2/4??0R2和F?2Ze2r/4??0R3。可见，原子表面处?粒子所受的斥力最大，越

靠近原子的中心?粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使?粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设?粒子擦原子表面而过。此时受力为F?2Ze/4??0R。可以认为?粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作

4

22

用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为t=D/v,

?粒子的动能为Mv2?K，因此，

12v?2K/M，所以，t?D/v?DM/2K

根据动量定理：而

?t0Fdt?p??p??Mv??0

20?Fdt?2Ze02t2/4??0R2?dt?2Zet/4??02t20R2

所以有：2Zet/4??0R?Mv? 由此可得：v??2Zet/4??0RM

2?粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0，入射方向上速度不变。据此，有：

tg??v??2Ze2t/4??0R2Mv?2Ze2D/4??0R2Mv2 v?2.4?10?3?3‘这时?很小，因此tg????2.4?10弧度，大约是8.2。

这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的? 粒子被铅原子散射，不可能产生散射角??90的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当?粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生??90的散射，甚至会产生??180的散射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。

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