对勾函数讲解与例题解析

对勾函数

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+

错误！未找到引用源。 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。（接下来写作

f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号）

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，错误！未找到引用源。。

当x<0时，错误！未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： X

(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，

二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。

三、关于求函数y x x 0 最小值的解法

1. 均值不等式 1x

x 0，

y x

2. 法 11。 当x 1的时候，ymin 2 2，当且仅当x ，即x 1的时候不等式取到“=”xx

y x 1 x2 yx 1 0 x

2若y的最小值存在，则 y 4 0必需存在，即y 2或y 2（舍）

找到使y 2时，存在相应的x即可。通过观察当x 1的时候，ymin 2

3. 单调性定义

x1x2 1 1 设0 x1 x2 f x f x x x 1 1 x x x x 1 12121212 x1x2 x1x2 x1x2

当对于任意的x1,x2，只有x1,x2 0,1 时，f x1 f x2 0， 此时f x 单调递增；

当对于任意的x1,x2，只有x1,x2 1, 时，f x1 f x2 0， 此时f x 单调递减。

当x 1取到最小值，ymin f 1 2

4. 复合函数的单调性

1 1 y x x 2 x x 2

t x 1

x在 0, 单调递增，y t 2在 ,0 单调递减；在 0, 单调递增 2

又 x 0,1 t ,0 x 1, t 0, 原函数在 0,1 上单调递减；在 1, 上单调递增 即当x 1取到最小值，ymin f 1 2

四、例题解析：

例1、已知函数 ，

五、重点（窍门）

其实对勾函数的一般形式是：

f(x)=ax+b/x(a>0)

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a

当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a

对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：

设x1<x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=(x1-x2）（x1x2-a)/(x1x2） 下面分情况讨论

⑴当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（-∞，-根号a）上是增函数

⑵当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数

⑶当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数

⑷当根号a<x1<x2时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（根号a，+∞）上是增函数

解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。

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