2012年江苏高考试题（数学，word解析版）

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx@sina.com）

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

棱锥的体积V?Sh，其中S为底面积，h为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

132，4}，B?{2，4，6}，则A?B? ▲ ． 1．（2012年江苏省5分）已知集合A?{1，【答案】?1,2,4,6?。 【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得A?B??1,2,4,6?。

2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校

高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。 【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，

3=15知应从高二年级抽取15名学生。

3?3?411?7ib?R，3．（2012年江苏省5分）设a，（i为虚数单位），则a?b的值为 ▲ ． a?bi?1?2i由50?【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。 【分析】由a?bi?11?7i?11?7i??1?2i?11?15i?1411?7i得a?bi?===5?3i，所以

1?2i?1?2i??1?2i?1?41?2ia=5，b=3，a?b=8 。

4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．

【答案】5。 【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：

循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈

∴最终输出结果k=5。

5．（2012年江苏省5分）函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ▲ ．

是否继续循环

是 是 是 是 是 否

k 0 1 2 3 4 5 输出5

k2?5k?4

0 0 －2 －2 0 4

6?【答案】0，?。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

??x>0?x>0?x>0?????0

3。 5【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，?3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是

63=。 1057．（2012年江苏省5分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3cm，AA1?2cm，则四棱锥A?BB1D1D的体积为 ▲ cm3．

【答案】6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

【解析】∵长方体底面ABCD是正方形，∴△ABD中BD=32 cm，BD边上的高是（它也是A?BB1D1D中BB1D1D上的高）。

32cm232=6。由 2x2y2??1的离心率为5，8（．2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

mm2?4 ∴四棱锥A?BB1D1D的体积为?32?2?则m的值为 ▲ ． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

13x2y2?2?1得a=m，b=m2?4，c=m?m2?4。 【解析】由

mm?4cm?m2?4 ∴e===5，即m2?4m?4=0，解得m=2。

am9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD中，AB?2，BC?2，点E为BC的中点，

????????????????点F在边CD上，若AB?AF?2，则AE?BF的值是 ▲ ．

【答案】2。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

????????????????AB?AF?cos?FAB?2，由矩形的性质，得【解析】由AB?AF?2，得????AF?cos?FAB=DF。

∵AB?2，∴2?DF?2，∴DF?1。∴CF?2?1。

???????? 记AE和BF之间的夹角为?，?AEB??,?FBC??，则?????。

又∵BC?2，点E为BC的中点，∴BE?1。

????????????????????????????????∴AE?BF=AE?BF?cos?=AE?BF?cos?????=AE?BF??cos?cos??sin?sin??

????????????????=AEcos??BF?cos??AEsin??BFsin?=BE?BC?AB?CF?1?2?2。

本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

?2?1?2?1]上， 10．（2012年江苏省5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1，?1≤x?0，?ax?1，?f(x)??bx?2b?R．若其中a，，0≤x≤1，??x?1则a?3b的值为 ▲ ． 【答案】?10。

【考点】周期函数的性质。

?1??3?f???f??， ?2??2?【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数，∴f??1??f?1?，即?a?1=b?2①。 2

1?3??1? 又∵f???f???=?a?1，

2?2??2? ∴?a?1=?1??3?f???f??， ?2??2?12b?4②。 3 联立①②，解得，a=2. b=?4。∴a?3b=?10。

???4?11．（2012年江苏省5分）设?为锐角，若cos?????，则sin(2a?)的值为 ▲ ．

6?512?【答案】172。 50【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵?为锐角，即0

?6

6?56?5????????3424???∴sin?2????2sin????cos????=2??=。

3?6?6?5525?????7? ∴cos?2????。

325?? ∴sin(2a??12)=sin(2a????????????)=sin?2a??cos?cos?2a??sin 343?43?4??=2427217???=2。 2522525012．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2?y2?8x?15?0，若

直线y?kx?2

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ． 【答案】

4。 3【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离

【解析】∵圆C的方程可化为：?x?4??y2?1，∴圆C的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线y?kx?2上至少存在一点A(x0,kx0?2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有 公共点；

2

∴存在x0?R，使得AC?1?1成立，即ACmin?2。 ∵ACmin即为点C到直线y?kx?2的距离

4k?2k?12，∴

4k?2k?12?2，解得

0?k?4。 3∴k的最大值是

4。 3??)，若关于13．（2012年江苏省5分）已知函数f(x)?x2?ax?b(a，b?R)的值域为[0，x的不等式

f(x)?c的解集为(m，m?6)，则实数c的值为 ▲ ．

【答案】9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

a2??)，当x?ax?b=0时有V?a?4b?0，即b?【解析】由值域为[0，，

422a2?a???x??。 ∴f(x)?x?ax?b?x?ax?4?2?222a?aaa? ∴f(x)??x???c解得?c?x??c，?c??x?c?。

2?222?m?6)，∴(c?)?(?c?)?2c?6，解得∵不等式f(x)?c的解集为(m，c?9。

2a2a2clnb≥a?clnc，则b，c满足：5c?3a≤b≤4c?a，14．（2012年江苏省5分）已知正数a，的取值范围是 ▲ ． 【答案】?e， 7?。 【考点】可行域。

baclnb≥a?clnc可化为：【解析】条件5c?3a≤b≤4c?a，?ab?3???5?cc?ab???4。 ?cca?b??ec?c

设

ab=x，y=，则题目转化为： cc?3x?y?5?x?y?4y?已知x，求的取值范围。 ，y满足?xx?y?e?x>0，y>0? 作出（x。求出y=ex的切 ，y）所在平面区域（如图）线的斜率e，设过切点P?x0，y0?的切线为y=ex?m?m?0?， 则

y0ex0?mm==e?，要使它最小，须m=0。 x0x0x0 ∴

y的最小值在P?x0，y0?处，为e。此时，点P?x0，y0?在y=ex上A,B之间。 x?y=4?x?5y=20?5xy 当（x???y=7x?=7， ，y）对应点C时， ?x?y=5?3x?4y=20?12x ∴ ∴

y的最大值在C处，为7。 xby的取值范围为?e， 7?，即的取值范围是?e， 7?。

ax二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．

明、证明过程或 演算步骤．

15．（2012年江苏省14分）在?ABC中，已知AB?AC?3BA?BC． （1）求证：tanB?3tanA；

????????????????5，求A的值． 5????????????????【答案】解：（1）∵AB?AC?3BA?BC，∴AB?AC?cosA=3BA?BC?cosB，即

（2）若cosC?AC?cosA=3B?CcoBs 。

ACBCcosB。 ，∴sinB?cosA=3sinA?=sinBsinAsinBsinA cosB>0。∴ 又∵00，即=3?cosBcosA 由正弦定理，得tanB?3tanA。

?5?525，0

tanA?tanB??2。

1?tanA?tanB14tanA 由 （1） ，得，解得。 ??2tanA=1 tan，A=?231?3tanA ∴tan?????A?B????2，即tan?A?B???2。∴ ∵cosA>0，∴tanA=1。∴A=?4。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

????????????????【解析】（1）先将AB?AC?3BA?BC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系

式证明。

（2）由cosC?5，可求tanC，由三角形三角关系，得到tan?，从???A?B????5而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。

E分别是棱16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB11?AC11，D，F为B1C1的中点． BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD?DE，求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1； （2）直线A1F//平面ADE．

【答案】证明：（1）∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴CC1?平面ABC。 又∵AD?平面ABC，∴CC1?AD。

CC1，DE?平面BCC1B1，CC1?DE?E，∴AD?平 又∵AD?DE，面BCC1B1。

又∵AD?平面ADE，∴平面ADE?平面BCC1B1。 （2）∵A1B1?AC11，F为B1C1的中点，∴A1F?B1C1。

又∵CC1?平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，∴CC1?A1F。

B1C1?平面BCC1B1，CC1?B1C1?C1， 又∵CC1，∴A1F?平面A1B1C1。

由（1）知，AD?平面BCC1B1，∴A1F∥AD。

又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE，∴直线A1F//平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面ADE?平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD?平面BCC1B1即可。它可由已知ABC?A1B1C1是直三棱柱和AD?DE证得。

（2）要证直线A1F//平面ADE，只要证A1F∥平面ADE上的AD即可。 17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程

y?kx?1(1?k2)x2(k?0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地20点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不

超过多少时，

炮弹可以击中它？请说明理由．

【答案】解：（1）在y?kx?11(1?k2)x2(k?0)中，令y?0，得kx?(1?k2)x2=0。 2020 由实际意义和题设条件知x>0，k>0。 ∴x=20k2020=?=10，当且仅当k=1时取等号。 1?k21?k2k ∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k?0，使ka?成立，

即关于k的方程a2k2?20ak?a2?64=0有正根。

1(1?k2)a2=3.220

由?=??20a??4a2a2?64?0得a?6。

2?? 此时，k=20a???20a?2?4a2?a2?64?2a2。 >0（不考虑另一根）

∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】（1）求炮的最大射程即求y?kx?基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。 18．（2012年江苏省16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。

已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点． （1）求a和b的值；

（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；

1(1?k2)x2(k?0)与x轴的横坐标，求出后应用202]，求函数y?h(x)的零点个数． （3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，【答案】解：（1）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b。 ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点，

∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3。 （2）∵ 由（1）得，f(x)?x3?3x ，

∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1??x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2。 ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点。

∵当?21时，g?(x)>0，∴ x=1不是g(x)的极值点。 ∴g(x)的极值点是－2。

（3）令f(x)=t，则h(x)?f(t)?c。

先讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况：d???2, 2?

当d=2时，由（2 ）可知，f(x)=?2的两个不同的根为I 和一2 ，注意

2

到f(x)是奇函数，∴f(x)=2的两个不同的根为一和2。

当

d<2时，∵f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0，

f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是f(x)=d的根。 由（1）知f'(x)=3?x?1??x?1?。

① 当x??2，???时，f'(x)>0 ，于是f(x)是单调增函数，从而

f(x)>f(2)=2。

此时f(x)=d在?2，???无实根。

② 当x??1 2，?时．f'(x)>0，于是f(x)是单调增函数。 又∵f(1)?d<0，f(2)?d>0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，f(x)=d在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当x???1 ，1?时，f'(x)<0，于是f(x)是单调减两数。 又∵f(?1)?d>0， f(1)?d<0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1， x2=2；当

d<2 时

f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5，满足xi<2， i=3, 4, 5。

现考虑函数y?h(x)的零点：

( i ）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，t2=2。

而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y?h(x)有5 个

零点。

( 11 ）当c<2时，f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足

, 5ti<2， i =3, 。 4而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根，故y?h(x)有9 个零点。

综上所述，当c=2时，函数y?h(x)有5 个零点；当c<2时，函数y?h(x)有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出y?f(x)的导数，根据1和?1是函数y?f(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，f(x)?x3?3x，求出g?(x)，令g?(x)=0，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分d=2和d<2讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况；再考虑函数y?h(x)的零点。

x2y219．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、

abe)和?e，0)．已知(1，右焦点分别为F1(?c，0)，F2(c，心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

???3??都在椭圆上，其中e为椭圆的离2??6，求直线AF1的斜率； 2（ii）求证：PF1?PF2是定值．

（i）若AF1?BF2?

【答案】解：（1）由题设知，a2=b2?c2，e=ce)在椭圆上，得 ，由点(1，a，

12a2∴c2=a2?1。

?e2b2?1?1a2?c2a2b2=1?b2?c2=a2b2?a2=a2b2?b2=1

由点?e，???3?在椭圆上，得 ??2?22?3??3?????2222eca2?13????422??1???1???1?a?4a?4=0?a=2 224414abaax2∴椭圆的方程为?y2?1。

20)，又∵AF1∥BF2， （2）由（1）得F1(?1，0)，F2(1， ∴设

AF1、BF2的方程分别为my=x?1，my=x?1，

A?x1，y1?，B?x2，y2?，y1>0，y2>0。

?x12m?2m2?2?y12?1?22?m?2y1?2my1?1=0?y1= ∴?2。 2m?2?my=x?1?11??

∴AF1=?x1?1???y1?0?22=?my1?22222m?1?mm?1??m?2m?222。① ?y1=m?1??m2?2m2?2 同理，BF2=2?m2?1??mm2?1m?22。②

2mm2?12mm2?162m= （i）由①②得，AF1?BF2?。解得=2。 22m?2m?22 ∵注意到m>0，∴m=2。 ∴直线AF1的斜率为

12=。 m2 （ii）证明：∵

AF1∥BF2，∴

PBBF2?PF1AF1，即

BFPB?PF1BF?AFPB2?1?2?1??。 PF1AF1PFAF11 ∴PF1=1AF1BF1。

AF1?BF2

由点B在椭圆上知，BF1=1?BF2?22，∴PFAF122?BF2。

AF?BF??12 同理。PFBF2=2AF22?AF1。

1?BF2??

∴PFAF1+PF2=1AFBF22?BF?BF2?2?22?AF2AF?BF1??22?2

1?2?AF1?BF2AF1?BF2 由①②得，AF22?m2?1?21?BF=m2?2，AF?BF=m?1m2?2，

∴PF21+PF2=22?2=322。 ∴PF1?PF2是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1，e)和??e，3???2??都在椭圆上列式求解。 ? （2）根据已知条件AF61?BF2?2，用待定系数法求解。 20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：

an?bnn?1?a?N*，

a2n?b2，nn2（1）设b??n?1?1?bna，n?N*，求证：数列?????bn?n???a??是等差数列； n???（2）设bn?1?2?bna，n?N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． n【答案】解：（1）∵bnbn?1?1?b，∴an?bnn?1aan?1?=nan2?bn22。

1???bn??a?n?2 ∴

bn?1a?1???bn??n?1?a。n?

∴

2?2??bn?1??bn???bn???bn????????1????????1?n?N*? 。 a?n?1??an???an???an???222???bn??? ∴数列????是以1 为公差的等差数列。

a???n???2（2）∵an>0，bn>0?a?bn?，∴n22?an2?bn2

2 ∴10知q>0，下面用反证法证明q=1 若q>1,则a1=（﹡）矛盾。

若0

∴综上所述，q=1。∴an?a1?n?N*?，∴1logq时，an?1?a1qn>2，与qa1a21>a2>1，∴当n>logq时，与（﹡）an?1?a1qn<1，qa1bn22∴{bn}是公比是的等比数列。 =?bn?n?N*?，

ana1a12>1，于是b1

即a1? 若a1?2，则

又由an?1?an?bnan?bn22a1?bna12?bn2，得bn=a1?a122?a12a12?1。

∴b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1

∴bn=2????2?222?2??22=2。

?1 ∴ a1=b2=2。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设an?1?22an?bnan?bn22和bn?1b?b?b?1?n，求出n?1?1??n?，从而an?1an?an?2?b??b?证明?n?1???n??1而得证。

?an?1??an? （2）根据基本不等式得到1

从而得到an?a1?n?N*?的结论，再由bn?1?2?数列。最后用反证法求出a1=b2=2。

]数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4 - 1：几何证明选讲] （2012年江苏省10分）如图，AB是圆O的直径，D,E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD?DC，连结AC,AE,DE． 求证：?E??C．

an?bnan?bn22?2，用反证法证明等比数列{an}bn22的等比=?bn知{bn}是公比是

ana1a1

【答案】证明：连接AD。

∵AB是圆O的直径，∴?ADB?900（直径所对的圆周角是直角）。 ∴AD?BD（垂直的定义）。

又∵BD?DC，∴AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义）。 ∴AB?AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 ∴?B??C（等腰三角形等边对等角的性质）。 又∵D,E为圆上位于AB异侧的两点，

∴?B??E（同弧所对圆周角相等）。 ∴?E??C（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证?E??C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到?B和?E是同弧所对圆周角，相等；另

一方面由AB是圆O的直径和BD?DC可知AD是线段BC的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到?B??C。从而得证。 本题还可连接OD，利用三角形中位线来求证?B??C。

?13????44?1B．[选修4 - 2：矩阵与变换] （2012年江苏省10分）已知矩阵A的逆矩阵A???，

11????2??2?求矩阵A的特征值．

【答案】解：∵A?1A=E，∴A=A?1???1。

?13????2 3?44?，∴?1?1 ∵A?1??。 A=A???????2 1??1?1??2?2?????2 ?3?2 ∴矩阵A的特征多项式为f???=??=??3??4。 ?2 ??1 ??，?2=4。 令f???=0，解得矩阵A的特征值?1=?1【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值。 C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆C经过点

P?2，??3??，圆心为直线?sin??????与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

3?24????3?【答案】解：∵圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点，

32????3?∴在?sin??????中令?=0，得??1。

3?2? ∴圆C的圆心坐标为（1，0）。

∵圆

2C经过点P?o2，s?4?，∴圆C的半径为

PC???22?1???21?42。 c=1 ∴圆C经过极点。∴圆C的极坐标方程为?=2cos?。 【考点】直线和圆的极坐标方程。

??3?【解析】根据圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C经

32??过点P?2，?求出圆C的半径。从而得到圆C的极坐标方程。 4?D．[选修4 - 5：不等式选讲] （2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：

|x?y|?115求证：|y|?． ，|2x?y|?，3618【答案】证明：∵3|y|=|3y|=|2?x?y???2x?y?|?2x?y?2x?y， 由题设|x?y|?111155∴3|y|

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．．

出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（2012年江苏省10分）设?为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当

??0；?的值为两条棱之间的距离；??1．两条棱相交时，当两条棱平行时，当两条棱异面时，

（1）求概率P(??0)；

（2）求?的分布列，并求其数学期望E(?)．

【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

∴共有8C32对相交棱。

8C328?34?。 ∴ P(??0)=2?C126611 （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，

∴ P(??2)=661??2C126611，

P(??1)=1?P(??0)?P(??2)=1?416?=。 111111 ∴随机变量?的分布列是：

? P(?)

0 1

2

6 11616?2 ∴其数学期望E(?)=1??2?=。

111111【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

4 111 11【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率P(??0)。 （2）求出两条棱平行且距离为2的共有6对，即可求出P(??2)，从而求出

P(??1)（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量?的分布列，求出其数

学期望。

2，n}，n?N*．记f(n)为同时满足下列23．（2012年江苏省10分）设集合Pn?{1，…，条件的集合A的个数：

①A?Pn；②若x?A，则2x?A；③若x?CpnA，则2x?CpA。

n（1）求f(4)；

（2）求f(n)的解析式（用n表示）．

【答案】解：（1）当n=4时，符合条件的集合A为：?2?，?1,4?，?2,3?，?1,3,4?， ∴ f(4)=4。

( 2 ）任取偶数x?Pn，将x除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过k次

以后．商必为奇数．此时记商为m。于是x=m?2k，其中m为奇数k?N*。

由条件知．若m?A则x?A?k为偶数；若m?A，则x?A?k为

奇数。

于是x是否属于A，由m是否属于A确定。

设Qn是Pn中所有奇数的集合．因此f(n)等于Qn的子集个数。 当n为偶数〔 或奇数）时，Pn中奇数的个数是

nn?1（）。 22

?n2?2?n为偶数?∴f(n)=?n?1。 ?22n为奇数???【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出n=4时，符合条件的集合个数即可。 （2）由题设，根据计数原理进行求解。

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