复习作业5

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1、正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体.若正方体的边长 为1，则这个美丽的几何体的体积为_______________ A1 C1

D 2、在直三棱柱ABC?ABC中，已知AB＝AC＝AA＝4，

1111

∠BAC＝900，D为B1C1的中点，异面直线AB1与CD所成角的大小为

A B1

C B 3、在一个倒置的正三棱锥容器中，放入一个钢球，钢球恰与棱

锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是

A B C D 4、正四棱锥的底面边长为

5、如图：圆锥的顶点是S，底面中心为O．OC是与底面 直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．设圆锥的高 为4，异面直线AD与BC所成角为arccos积为

2，体积为

23，则它的侧棱与底面所成角的大小为 3S 2，圆锥的体 6D A

C O B

6、（06上海）（理）在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°， 对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60° （1）求四棱锥P-ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. （文）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1. （1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

（2）若直线A1C与平面ABC所成的角为45°，求三棱锥A1-ABC的体积.

7、如图，正三棱锥S-ABC中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点，求 （1）

AM的值； SM（2）二面角S-BC-A的大小； （3）正三棱锥S-ABC的体积.

8、（04上海）如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱

PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC 的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） （1）证明：P-ABC为正四面体； （2）若PD=

1（结果用反三角函数值表示） PA,求二面角D-BC-A的大小；

2（3）（理）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.

（文）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.

复习作业5

1、 2、300 3、B 4、

1616?? 5、V?

336、解 （理）（1）由于底面为菱形，边长为2，且∠BAD=60°，从而得SABCD=2××2×sin60°=23.

1×22显然PO为四棱锥P-ABCD的高.又由于PO垂直于底面ABCD，得PB与平面ABCD所成的角是∠PBO.

∵△ABD为正三角形，∴在△PBO中，BO=PBO=60°，

∴PO=BOtan60°=3.从而得VP-ABCD=（2）令AB的中点为F，连结EF，DF. 由于E为PB的中点，所以EFEF与DE的夹角.

在△POA中，∠POA=90°，AO=

11BD=AB=1，∠POB=90°，∠2211×SABCD×PO=×23×3=2. 331PA.因此，异面直线DE与PA所成的角等于直线263. ×2=3，PO=3，得PA=6，则EF=

223×AD=3.由于△PBD中，BD=PB，∠23×BD=3. 2由于△ABD为正三角形，得DF=

PBD=60°，得△PBD为正三角形，且由于E为PB的中点，得DE=

故在△DEF中，EF=

6，DE=3,DF=3,得 2(cos∠DEF=

62)?(3)2?(3)222?. 462??3222,所以异面直线DE与PA所成的角等于arccos. 44从而得∠DEF=arccos（文）（1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角（或它的补角）.

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴∠ACB=45°， ∴异面直线B1C1与AC所成的角为45°. （2）由于三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则可得直线A1C在平面ABC内的射影为AC，

从而直线A1C与平面ABC所成的角为∠A1CA.在△A1AC中，∠A1AC=90°，∠ACA1=45°?A1A=AC=2AB=2.由于AA1垂直于平面ABC，容易得到VA1-ABC=

2111. ·S△ABC·AA1=×?12?2?63237、解 （1）∵SB=SC，AB=AC，M为BC的中点，

∴SM⊥BC，AM⊥BC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即

AM311?. 3?BC?SM?2?BC?AM，得

SM222（2）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=∵SM⊥BC，AM⊥BC，∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角. 在Rt△SGM中，∵SM=

1AM. 322AM??3GM?2GM，∴∠SMA=∠SMG=60°， 33即二面角S-BC-A的大小为60°. （3）∵△ABC的边长是3，∴AM=

333，GM?，SG?GMtan60°22=

331933931·3?.∴VS-ABC=S△ABC·SG=··?. 22342838、（1）证明 ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.

又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°， ∴P-ABC是正四面体.

（2）解 取BC的中点M，连结PM，DM，AM.

∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角，由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=

3,由D是PA的中点，2得sin∠DMA=

AD3?, AM33. 3∴∠DMA=arcsin（3）（理）解 存在满足条件的平行六面体，且存在满足条件的直平行六面体.棱台

DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V，设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为?,则该六面体棱长和为6，体积为sin??V.

1218∵正四面体P-ABC的体积是构造棱长均为,

22,∴0＜V＜,∴0＜8V＜1.可知?=arcsin(8V),故121212底面相邻两边夹角为arcsin(8V)的直平行六面体即满足要求. （文）存在满足条件的直平行六面体，解析同上.

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