华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总 - 图文

华南师范大学考研数学分析试题

2000年华南师范大学数学分析

一、填空题（3*10=30分） 1.设an?(?1)n?sin2.设f(x)??n?,n?1,2,?,则liman?_______,liman?_______；

n??n??4?x, x为有理数 x?R,则f(x)在x?____处连续；

?x, x为无理数?nx3.limdx?_____; ?0n??1?x14.lim(sinx?cosx)?_________;

x?01x5.方程x?3x?c?0(c为实常数)在区间[0,1]中至多有_________个根； 6.设In?2dx_______;?(x2?a2)n(n?1,n为自然数)，写出In?1的递推公式In?1?__________7.设u(x,y)??sinx?cosy0f(t)dt,f(t)是可微函数，则du?___________;

8.设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;

______________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：sinx?__________10.曲线x?acost,y?asint,0?t?2?的弧长s=___________________.

二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或

x???233最小值.

三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程x?y?z?yf()所确定，其中f是可微函数，试证：

222zy(x2?y2?z2)

?z?z?2xy?2xz. ?x?y1

华南师范大学考研数学分析试题

四、（12分）求极限：lim(n??12n????).

n2?n?1n2?n?2n2?2n

（a?1）?(b?1)五、（12分）已知a,b为实数，且1

六、(12分)计算曲面积分：I?的外侧.

七、(10分)设un(x)?0,在[a,b]上连续，n=1,2,…,

?lnblna.

22223x?y?z?1其中S是球面xdydz?ydzdx?zdxdy.??S?u(x)在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证

nn?1?明：

?u(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).

nn?12

华南师范大学考研数学分析试题

2003年华南师范大学数学分析

一、(12分)求极限lim(n??111????). 1?33?5(2n?1)(2n?1)二、(12分)设D??(x,y):?1?x?1,?1?y?1?,求积分

三、(12分)证明

??Dy?x2dxdy.

nx在[a,b]上一致收敛(其中，0

四、(12分)求第二型曲线积分

231322L:x?2y?1，，其中，取逆时针方向。 ?ydx?xdy?L33五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果lim?f(x)和limf(x)都存在(有限)，

x?ax???那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反

例。

六、(15分)设

???a而且，对于每个固定的y?[c,d]，f(x,y)f(x,y)dx关于y?[c,d]一致收敛，

关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x???时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于y?[c,d]一致地收敛于0.

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华南师范大学考研数学分析试题

2004年华南师范大学数学分析

1.(12分)设an?(1?),n?1,2,?,证明数列?an?严格单调增加且收敛。

n1n

1?2?xsin, x?02.(12分)求函数f(x)??的导函数，并讨论导函数的连续性。 x??0, x?0

[2?(?1)n]n1(x?)n的收敛半径和收敛域。 3.(12分)求幂级数?n2n?1?

4.(12分)求函数f(x)???1, ???x?0的Fourier级数，并由此求数列级数：

0, 0?x???1111?????(?1)n??的和。

352n?1

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0

6.(15分)Br(M0)是以M0?(x0,y0,z0)为心，r为半径的球，?Br(M0)是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：

f?(?)(b?a)。

lnb?lnadf(x,y,z)dxdydz???f(x,y,z)dS ???drBr(M0)?Br(M0)

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华南师范大学考研数学分析试题

2005年华南师范大学数学分析

一、计算题（4*8=32分）

cos(sinx)?cosx1.求lim. 3x?0sinx2.求?sec3xdx.

x2y23.求lim.

(x,y)?(0,0)x2?y24.求?xdy?ydx.其中L：x2?(y?1)2?R2,0?R?1,取逆时针方向。 22L4x?y

二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对?a,b?R,ea?b2?1a(e?eb)； 22.设liman?0，证明：limn??a1?a2???an?0；

n??n

3.设f(x)在(0,1)上连续，lim?f(x)?lim?f(x)???，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.

x?0x?1

三、讨论题（2*8=16分）

111111.讨论级数1?1?1?1?1?1???1(2n?1)12?1(2n)13??的敛散性。

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324352632.设??0,??0，讨论???0sinx?dx的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。 ?x

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