九年级圆 几何综合单元测试卷附答案

九年级圆几何综合单元测试卷附答案

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.

（1）求证：∠E=∠C；

（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；

（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）

48

5

.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：

∠E=∠C；

（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；

（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.

试题解析：（1）如解图，连接OB，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，

∵AB是⊙O的切线，

∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，

∴∠ABD＝∠CBO.

∵OB、OC是⊙O的半径，

∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.

∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，

∴∠E＝∠C；

（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，

∴AO＝5，∴AB＝4.

∵BD∥OE，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝6，AE=6+4=10

（3）S△AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得

S△ABC = S△AOE==

2．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分

题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.

（1）求的取值范围；

（2）当矩形的对角线长为时，求的值；

（3）当为何值时，矩形变为正方形？

题乙：如图，是直径，于点，交于

点，且．

（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；

（2）当，时，求的面积．

【答案】题甲（1）（2）（3）

题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD 是切线（2）S=【解析】

试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得

（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方

程的两根，则；因为

，所以；解得

由得

（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得

题乙：（1）BD 是切线；如图所示，是弧AC 所对的圆周角，

；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中

，所以OB⊥BD；BD 是切线

（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于

点，F是BC 的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得

OF=；根据题意，，则

，所以，从而，解得DF=，的面积

=

考点：直线与圆相切，相似三角形

点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似

3．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠

BDC+∠ADB＝180°．

（1）如图1，求证：AC＝BC；

（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接

AT，若∠BFC＝∠BDC+1

2

∠ABD，求证：AT平分∠DAB；

（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【解析】

【分析】

（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．

（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．

（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明

Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，

由S△

ADB

=

1

2

?BD?AQ=

1

2

?AD?h+

1

2

?AB?h+

1

2

?DB?h，可得AQ=

5

2

h，再根据

sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

即∠ADB+∠BDC

+∠ABC＝180°，

∵2∠BDC+∠ADB＝180°，

∴∠ABC＝∠BDC，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BAC＝∠ABC，

∴AC＝BC．

（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．

∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，

∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，

∵∠BFC＝∠BDC+1

2

∠ABD，

∴∠ABF＝1

2

∠ABD，

∴BT平分∠ABD，

∵AE＝BE

∴∠ADE＝∠BDE，

∴DT平分∠ADB，

∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．

∴TR＝TL，TR＝TH，

∴TL＝TH，

∴AT平分∠DAB．

（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．

∵AE＝BE

∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，

∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，

∴∠TAE＝∠ATE，

∴AE＝TE，

∵DT＝TE，

∴AE＝DT，

∵∠AGE＝∠DHT＝90°，

∴△EAG≌△TDH（AAS），

∴AG＝DH，

∵AE＝EB，EG⊥AB，

∴AG＝BG，

∴2DH＝AB，

∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），

∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，

设DH＝x，则AB＝2x，

∵AD＝8，DB＝12，

∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，

∴x＝5，

∴DH＝5，AB＝10，

设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，

∵S△ADB=

1

2

?BD?AQ=

1

2

?AD?h+

1

2

?AB?h+

1

2

?DB?h，

∴12AQ＝（8+12+10）h，

∴AQ＝

5

2

h，

∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得

h

m

＝

AP

AD

＝

AP

8

，

sin∠AED＝sin∠ABD，可得

AP

m

＝

AQ

AB

＝

AQ

10

＝

5

2

10

h

，

∴

AP

m

＝

5

28

10

mAP

，

解得m＝42或﹣42（舍弃），

∴DE ＝2m ＝82．

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．

4．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．

（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；

（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．

【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．

【解析】

试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；

（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；

（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.

矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；

（1）等腰梯形是“四边形”；

（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的

“四边形”最多，最多有5个.

考点：动点问题的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

5．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．

(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；

(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范

围.

【答案】（1）8

3

（2）（0≤x≤180）（3）O 2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和

0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交

【解析】

试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,

∴

解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B

∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2×?A=

(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,

∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！

理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度

∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．

还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交

考点：直线与圆的位置关系

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大

6．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝

1

3

，BC＝8．（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径OC；

（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．

【答案】（1）见解析；（2）323

3

2

2

32

【解析】

【分析】

（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得

1

3

OE OC

OC OF

==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；

（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.

【详解】

解：（1）∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，

∴

1

3

OE OC

OC OF

==，

∵∠COE＝∠FOC，

∴△COE∽△FOE，

∴∠OCF＝∠DEC＝90°，

∴CF 是⊙

O 的切线；

（2）∵∠COD ＝∠BAC ，

∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝

13

OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ，

∵BC ＝8，

∴CE ＝4，

∵CE ⊥AD ，

∴OE 2+CE 2＝OC 2，

∴x 2+42＝9x 2，

∴x ＝2（负值已舍去），

∴OC ＝3x ＝32，

∴⊙O 的半径OC 为32；

（3）如图，连结BD ，

由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ，

∴AC AB =，

∴∠ADC=∠ADB ，

∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，

∴△AOF ∽△BDM ；

∵点F 是OC 的中点，

∴AO ：OF=BD ：DM=2，

又∵BD=DC ，

∴DM=CM ，

∴FM 为中位线，

∴322

， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=

； ∵111118(322)4222222

BDM BCD S S BC DE ??==??=???=

∴S△AOF

=

3

42

4

=32；

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.

7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”．

(1)当⊙O的半径为2时

①点M(3

2

，0)⊙O的“完美点”，点(﹣

3

，﹣

1

2

)⊙O的“完美点”；(填

“是”或者“不是”)

②若⊙O的“完美点”P在直线y＝3

4

x上，求PO的长及点P的坐标；

(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．

【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(4

5

，

3

5

)或(﹣

4

5

，﹣

3

5

)；(2)t的

取值范围为﹣1≤t≤3．

【解析】

【分析】

（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.

【详解】

解：(1)①∵点M(3

2

，0)，

∴设⊙O与x轴的交点为A，B，

∵⊙O

的半径为2，

∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，

∴|MA﹣MB|＝|(3

2

+2)﹣(2﹣

3

2

)|＝3≠2，

∴点M不是⊙O的“完美点”，

同理：点(﹣

3

2

，﹣

1

2

)是⊙O的“完美点”．

故答案为不是，是．

②如图1，

根据题意，|PA﹣PB|＝2，

∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，

∴OP＝1．

若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，

∵点P在直线y＝3

4

x上，OP＝1，

∴

43

,

55 OQ PQ

==．

∴P(43

,

55

)．

若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣4

5

，﹣

3

5

)．

综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43

,

55

)或（

43

,

55

--）)．

(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，

∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．

∴CP＝1．

∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．

因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，

当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，

∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，

∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(1

2

，0)，

∴OF＝1

2

，OD＝1，

∵CE∥OF，

∴△DOF∽△DEC，

∴OD OF DE CE

=，

∴

11

2 DE

=，

∴DE＝2，

∴OE＝3，

t的最大值为3，

当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．

同理可得t的最小值为﹣1．

综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.

8．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一

动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝1

3

，试探究四边形

ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是81313

+

，最小值是

81313

-

．

【解析】

【分析】

（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；

（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；

（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】

解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；

（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．

理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，

由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，

∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，

又∵CQ＝CQ'，

∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短． 在Rt △ABC

中22228610AB AC BC =

+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ?=?=?， ∴68 4.810

AC BC CP AB ??===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，

∴22226 4.8 3.6BP BC CP =-=-=． 当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2． （3）△ACF 的面积有最大和最小值．

如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．

∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=

， ∴13

AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，

∴AC ＝GB ＝3，

又∵AD ＝9，

∴

3193AG AD ==， ∴D

AF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，

∴∠FAG ＝∠EAD ，

∴△FAG ～△EAD ，

∴13

FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，

∴FG ＝1，

∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，

连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ?=?=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，

①当F在F1时，△ACF面积最小．理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时△ACF 的边AC上的高最小，所以△ACF面积有最小值，

在Rt△ABC

中，AC===

∴sin

BC

BAC

AC

∠===

在Rt△ACH

中，sin3

GH AG BAC

=?∠==

∴

111

F H GH GF

=-=-，

∴△ACF

面积有最小值是：

1

1127

(1)

22132

AC F H

-

?=?-=；

∴四边形ADCF

面积最小值是：

2781

27

22

--

+=；

②当F在F2时，F2H最大理由：在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，

∴GH＝MN，

在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°，

∴PG＞PN，

又∵F2G＝PG，

∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，

∴F2H是△ACF的边AC上的最大高，

∴面积有最大值，

∵

221

F H GH GF

=+=+，

∴△ACF

面积有最大值是

2

11

1)

22

AC F H

?=?+=；

∴四边形ADCF

面积最大值是

2781

27

22

++

+=

综上所述，四边形ADCF

面积最大值是

81

2

+

，最小值是

81

2

-

【点睛】

本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

9．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有

位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小．

解答问题：

（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C 的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B 时，整个运动停止．

①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？

②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．

【答案】（1）PA+PC的最小值是32）①点M30）时，用时最少；②S与t之间的函数关系式是当3t3S＝3﹣3t；当0＜t3S ＝3t．当3t3S＝﹣3t3

【解析】

【分析】

（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；

②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C3，0）以及到B 的解析式．

【详解】

解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，

则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，

∵AM是直径，∠AOC＝60°，

∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，

∴AC＝

1

2

AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝22

AM AC

＝23．

答：PA+PC的最小值是23．

（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，

∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，

∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，

∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3

在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝

1

2

AP，由勾股定理得：AP＝3，BP＝3，∴点M30）时，用时最少．

②当0＜t3AP＝2t，

∵菱形ABCD，

∴∠OAB＝30°，

∴OB＝

1

2

AB＝3，

由勾股定理得：AO＝CO＝3，

∴S＝1

2

AP×BO＝

1

2

×2t×3＝3t；

③当

33＜t≤43时，AP＝63﹣（2t﹣63）＝123﹣2t，

∴S＝1

2

AP×BO＝

1

2

×（123﹣2t）×3＝183﹣3t．

当43＜t≤63时，

S＝1

2

AB×BP＝

1

2

×6×[23﹣（t﹣43）]＝﹣3t+183，

答：S与t之间的函数关系式是当33＜t≤43时，S＝183﹣3t；当0＜t≤33时，S＝3t．当43＜t≤63时，S＝﹣3t+183．

【点睛】

本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．

10．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．

（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；

（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6

MN

【解析】

【分析】

（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到

2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；

（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；

（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边

形BHOG

=52，可求得a=2，设HF=x ，则BH=2x ，然后证明△GFH ∽△BFG ，由相似三角形的性质可得到HG=2x ，然后依据S △BHG =12

BH?HG=42，可求得x=2，故此可得到HB 、GH 的长，然后依据勾股定理可求得BG 的长，于是容易求得MN 的长．

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠ACB ．

∴∠BAC+2∠C=180°．

∵BD ⊥AC ，

∴∠ADE=90°．

∴∠E+∠CAE=90°．

∴2∠CAE+2∠E=180°．

∵∠E=∠ACB ，

∴2∠CAE+2∠ACB=180°．

∴∠BAC=2∠CAE ．

（2）连接OB 、OC ．

∵AB=AC ，AO=AO ，OB=OC ，

∴△ABO ≌△ACO ．

∴∠BAO=∠CAO ．

∵∠BAC=2∠CAE ，

∴∠BAO=∠CAE ．

在△ABF 和△ACE 中，

ABF ACE AB AC

BAF CAE ∠=∠??=??∠=∠?

， ∴△ABF ≌△ACE ．

∴BF=CE ．

（3）连接HG 、BM ．

∵AB=AC ，∠BAO=∠CAO ，

∴AG ⊥BC ，BG=CG ．

∵BH=DH ，

∴HG 是△BCD 的中位线．

∴HG ∥CD ．

∴∠GHF=∠CDE=90°．

∵OA=OC ，

∴∠OAC=∠OCA ．

∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°， ∴∠FHO=∠AFD=∠HFO ．

∴HO=OF ．

∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°， ∴∠OGH=∠OHG ．

∴OH=OG ．

∴OF=OG ．

∵OM=OC ，

∴四边形MFCG 是平行四边形．

又∵MC 是圆O 的直径，

∴∠CBM=90°．

∴四边形MFGB 是矩形．

∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°．

∵MF ∥BC ，

∴△MFH ∽△CBH ． ∴

12

HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．

∴HF=FD ． 在△ADF 和△GHF 中，

AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠??∠=∠??=?

，

∴△ADF ≌△GHF ．

∴AF=FG ．

∴MB=AF ．

在△MNB 和△NAF 中，

90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=???∠=∠??=?

，

∴△MNB ≌△NAF ．

∴MN=NF ．

设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，

∴S 四边形BHOG

．

∴

．

设HF=x ，则BH=2x ．

∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，

∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x

=． ∴

． ∴S △BHG =

12BH?HG=12

， 解得：x=2．

∴HB=4，

．

由勾股定理可知：

．

∴

．

∴

．

【点睛】

本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．

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