最大线性无关组

第十二讲 向量组的最大线性无关组

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．

考试要求

（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组； （2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；

（3）理解向量组等价的概念；

（4）了解内积的概念，了解规范正交基；

（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．

二、知识要点

引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．

向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．

复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。

线性表示：??k1?1?k2?2???km?m，对k1,k2,?km没有要求，且

R(A)?R(A,b)?(?)m

线性相关：k1?1?k2?2???km?m?o，存在k1,k2,?km不全为零； 线性无关：k1?1?k2?2???km?m?o，k1,k2,?km只能全为零．

1

n维向量组?1,?2,?,?m???R(A)=m,m?n?线性无关:Ax=o有唯一零解???A?0,m?n? ???R(A)

定义1 设有向量组（I）：?1,?2,??r,?,?m，满足

（1）有r个向量线性无关，不妨设向量组T：?1,?2,??r线性无关； （2）向量组（I）中任意r?1个向量（若有的话）都线性相关．

称向量组T是向量组（I）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向量组）．最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩，记作R或R(?1,?2,?,?m)．

例：向量组??，??，??是线性相关的．

?0??1??3??1??0??0??1??0??1??2??3??1??0??2??3??1??0??2?但T1：??，??；T2：??，??；T3：??，??都是线性无关，都是最大无关组．

定义1有等价的描述形式如下：

定义1? 设有向量组（I）：?1,?2,??r,?,?m，满足

（1）有r个向量线性无关，不妨设向量组T：?1,?2,?,?r线性无关； （2）向量组（I）中任一向量都能由向量组T线性表示； 称向量组T是向量组（I）的一个最大线性无关向量组．

证明 由定义1证明定义1?．

在向量组（I）中任取一个向量?，若?在?1,?2,??r中，则?可由所在的向量组线性表示，如?r?0?1???0?r?1?1?r．若?不在?1,?2,?,?r中，由?1,?2,?,?r的线性无关性及向量组（I）中任意r?1都线性相关性，知?可由?1,?2,?,?r线性表示．

由定义1?证明定义1自己证明．

2．注意

2

（1）向量组最大无关组一般不惟一；

（2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一； （3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身； （4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：

① 由Ax?o的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n维向量组?1,?2,?,?m?线性无关:Ax=o有唯一零解 ?线性相关:Ax=o有非零解?② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：

若R(?1,?2,?,?m)?m，向量组线性相关；若R(?1,?2,?,?m)?m，向量组线性无关．

（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵A与矩阵B行（或列）等价，则A的行（或列）向量组与B的行（或列）向量组等价。

3．性质

（1）单位坐标向量组e1,e2,?,en是Rn的一个最大无关组；

证明 e1,e2,?,en线性无关，而Rn中的任意n+1个n维向量一定线性相关，由定义得证．

另外，除单位坐标向量组是最大无关组外，Rn还可以有多个最大无关组．如A1：??，

?0??0??0??2??1??2?2AA；：，；：????????，??都是R的最大无关组． 23?1??1??3??0??3??1?（2）向量组（I）与它的最大无关组T是等价的；

证明 设（I）：?1,?2,??r,?,?m有一个最大无关组T：?1,?2,?,?r． 由定义知向量组（I）中每个向量可由T线性表示．

再证明向量组T中每个向量可由（I）线性表示．由于T中每个向量可由T线性表示，?1?0?2???1??0?如?r?0?1???0?r?1?1?r，则?r?0rr1????0?m，向量组T

中每个向量可由（I）线性表示．

（3）同一向量组的任意两个最大无关组是等价的；

3

证明 设T1，T2是向量组T的两个最大无关组，T1?T，T2?T，故由等价的对称性和传递性，有T1?T2．

（4）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同；

证明 设向量组（I）：?1,?2,?,?s与（II）：?1,?2,?,?t都线性无关，R(A)?s，

R(B)?t．

（II）可由（I）线性表示，则R(B)?R(A)（见第十讲的注意2），s?t． （I）可由（II）线性表示，则R(A)?R(B)（见第十讲的注意2），t?s． 所以s?t．

（5）等价的向量组具有相同的秩；

证明 设向量组（I）有一最大无关组T1，向量组（II）有一最大无关组T2，且（I）?（II）．

由性质（2）知（I）?T1，（II）?T2，又（I）?（II），所以T1?T2（传递性）． 由性质（3）知R(T1)?R(T2)，所以R（I）=R（II）（最大无关组定义）． （6）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．

证明 A=(?1,?2,?,?m)，R(A)=r，知A中有一r阶子式Dr?0，所有r?1阶子式均为零．

由本节的复习知，Dr所在的r列线性无关（添分量仍无关）；

再证明A的任意r?1列向量线性相关．反证法，假使A中有r?1列向量线性无关，必有r?1阶子式不为零（见复习），又由A中所有r?1阶子式均为零，矛盾，假使不成立．

三、基础及综合训练

??1??2??1???????例12.1 判断向量组?1=?3?，?2=?1?，?3=?4?是线性相关还是线性无关．

?1??0??1????????121014?0，R(A)=2<向量组中向量个数，向量1解 记A?(?1,?2,?3)，由于A=31 4

组线性相关．

?1??1??1???????例12.2 问t为何值时，向量组?1=?1?，?2=2，?3=3线性无关．

?????1??3??t???????解 存在数k1,k2,k3，使得k1?1?k2?2?k3?3?o

1123t13=t?5?0

当 11即t?5时，k1?2?k2?2?k3?3?o只有零解，故?1,?2,?3线性无关．

例12. 3 对任意数a,b,c,线性无关的向量组是 .

（A）(a,1,2), (2,b,c), (0,0,0); （B）(b,1,1), (1,a,3), (2,3,c), (a,0,c); （C）(1,a,1,1),(1,b,1,0),(1,c,0,0); (D) (1,1,1,a),(2,2,2,b),(0,0,0,c).

解（C）正确。因为（A）中有零向量，必线性相关；（B）中有4个3维向量，必线性

相关；对（C）中向量，有

?1?A?1??1?111010??1?0,即R(A)?3，从而向量组线性无关; 0abc1101??0 ?0??而A中有一个3阶子式11对(D)中向量，有

?1?B?2??0?120120a??1??b?0???c???0100100??b?2a

?c??a可见R(B)?2，从而向量组线性相关．

TTTT?3?（1，1，2，3），?2?（1，2，1，4），?4?（0，1，2，4），（1，3，0，5），例12.4 求向量组?1?

?5?（1，?3，0，?1）的秩和它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组表示．

?1??3解 (?1,?2,?3,?4,?5)=?0??5?1214112301241??1???3?r?0??0?0???0?1???1?11?11?22?201241???6? 0???6??T 5

?1?r?0??0??0?11?1012?2002131??1??0?r?0??6??0???0???00100?120000010??0? ?1?0???1,?2,?4,?5为一个极大线性无关组，?3???1?2?2，R（A)?4．

例12.5 设向量组（II）：?1,?2,?,?t能由向量组（I）：?1,?2,?,?s线性表示，且它们的秩相等，求证向量组（I）与向量组（II）等价．

证 记A=(?1,?2,?,?s)，B?(?1,?2,?,?t).

设B?AK，故R(A)?R(A,B)，由已知R(A)?R(B)，故

R(A)?R(B)=R(A,B)

由第十讲的注意2中的（2），知向量组（I）与向量组（II）等价．

例12.6（数一，00，3分）设n维列向量组?1,?,?m(m?n)线性无关，则n维列向量组?1,?,?m线性无关的充分必要条件为（ ）．

（A）向量组?1,?,?m可由向量组?1,?,?m线性表示 （B）向量组?1,?,?m可由向量组?1,?,?m线性表示 （C）向量组?1,?,?m与向量组?1,?,?m等价 （D）矩阵A?(?1,?,?m)与矩阵B?(?1,?,?m)等价

（D）正确。（A），（B），（C）均不是?1,?,?m线性无关的必要条件．例如：?1???，

?0??0??1???，则?1?o线性无关，但（A），（B），（C）均不成立．

1???1?例12.7 （数二，00，7分）已知向量组

?0??a??b????????1?1,?2?2,?3?1

????????1??1??0????????1??3??9?????????2,??0,??6与向量组 1??2??3??

??3??1???7??????? 6

具有相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表示,求a,b的值.

解 已知向量组?1,?2,?3的秩为2，由于?1,?2的对应坐标不成比例，故线性无关，是向量组?1,?2,?3的一个最大无关组;

由于?1,?2,?3与?1,?2,?3的秩相同，故其秩为2,从而 (?1,?2,?3)?0，即

0a21b1=0 （12.1） 0 1?1又?3可由?1,?2,?3线性表示,从而可由?1,?2线性表示,所以?1,?2?3线性相关,于是(?1,?2,?3)?0，即

1301b1=0 （12.2） 0 2?3联立（12.1）、（12.2）式得a?15,b?5.

例12.8（数三，97，3分）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （A）?1??2,?2??3,?3??1 （B）?1??2,?2??3,?1?2?2??3 （C）?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1

（D）?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3

解 （C）正确．这一类题目，把观察法与(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)C两种技巧相结合来求解．

?2)?(?2??3)?(?3??1)?0对于（A），(?1?

?2)?(?2??3)?(?1?2?2??3)?0对于（B），(?1?所以（A）、（B）均线性相关．

对于（C）简单加减得不到0，没法直接观察．而

1C?2002310?12?0 3 7

所以（C）组线性无关．

例12.9 (数一,04,4分)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

解 要用到向量组的秩与向量组线性相关之间的关系，所以要用秩的性质：若

Am?nBn?l?O，则R(A)?R(B)?n．

由题设AB?O，知R(A)?R(B)?n． 又A,B是两个非零矩阵，所以有

R(A)?0，R(B)?0

得R(A)?n，R(B)?n，故A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．

例12.10（数三，99，3分）设向量?可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，但不能由向

,2,?,?量组（I）：?1?1m?,2,?,?,1m?线性表示，记向量组（II）：?1??1，则（ ）

（A）?m不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示 （B）?m不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示 （C）?m可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示 （D）?m可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示

解 （B）正确．提示：由题设存在k1,k2,?,km，使得??k1?1?k2?2???km?m，这里km?0，否则与?不能由?1,?2,?,?m?1线性表示矛盾．从而有

?m?1km??k1km?1???km?1km?m?1

即?m可由?1,?2,?,?m?1,?1线性表示，可排除（A），（D）．若?m可由（I）线性表示，即存在l1,l2,?,lm?1，使得?m?l1?1???lm?1?m?1，则有

??k1?1???km?1?m?1?km(l1?1???lm?1?m?1)

=(k1?kml1)?1???(km?1?kmlm?1)?m?1

8

即?可由?1,?2,?,?m?1线性表示，矛盾，可排除（C）．

例12.11 （数二，02，3分）设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线性表示，则对于任意常数k必有（ ）.

（A）?1,?2,?3,k?1??2线性无关 （B）?1,?2,?3,k?1??2线性相关 （C）?1,?2,?3,?1?k?2线性无关 （D）?1,?2,?3,?1?k?2线性相关

解（A）正确.由题意，?1?l1?1?l2?2?l3?3；因为?2不能由?1,?2,?3线性表示，所以?1,?2,?3,?2线性无关.设

k1?1?k2?2?k3?3?k4(k?1??2)?o

将?1?l1?1?l2?2?l3?3代入上式得

(k1?k4l1k)?1?(k2?k4l2k)?2?(k3?k4l3k)?3?k4?2?o 由?1,?2,?3,?2线性无关得

k1?k4l1k?0，k2?k4l2k?0，k3?k4l3k?0，k4?0

即对于任意常数k都有k1?k2?k3?k4?0，故?1,?2,?3,k?1??2线性无关.

对于向量组?1,?2,?3,?1?k?2，当k?0时是线性相关的；而当k?0时，可证明它是线性无关的.

例12.12 已知向量组 (I): ?1,?2,?3的秩为3，向量组 (II): ?1,?2,?3,?4的秩序为3,向量组 (III) ：?1,?2,?3,?5的秩为4．证明向量组?1,?2,?3,?5??4的秩序为4.

证 方法1只要证明向量组?1,?2,?3,?5??4线性无关.

由于R(?1,?2,?3)=3=向量的个数，故向量组(I)线性无关,而向量组(II)线性相关，从而?4可由?1,?2,?3线性表出，即存在一组数l1,l2,l3，有

?4?l1?1?l2?2?l3?3 （12.3）

又设有一组数k1,k2,k3,k4,使

k1?1?k2?2?k3?3?k4(?5??4)?o

9

将?4?l1?1?l2?2?l3?3代入上式并整理得

(k1?l1k4)?1?(k2?l2k4)?2?(k3?l3k4)?3?k4?5?o

由于?1,?2,?3,?5线性无关，所以

k1?l1k4?0,k2?l2k4?0,k3?l3k4?0,k4?0

由此可得k1?k2?k3?k4?0.故?1,?2,?3,?5??4线性无关，即它的秩为4.

方法2 利用初等变换不改变矩阵的秩，直接计算.

由方法1中的式（12.3）知，对(?1,?2,?3,?5??4)进行初等列变换有

(?1,?2,?3,?5??4)c4?l1c1?l2c2?l3c3?(?1,?2,?3,?5)

即 R(?1,?2,?3,??5?4=)R(?1,?2,?3,?5)=4

?2，?3到基?1，?2，?3的过渡矩阵为P，且 例12.13 已知线性空间R3的基?1，?1?????0?，??1????0?????1?，??0????1??2?????2?；P??3?2??4???223 ?1231???2? 0??试求出在基 ?1,?2,?3与?1,?2,?3下有相同坐标的全体向量．

解 设A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3),则B?AP．

设所求向量的坐标为x ，则Ax?APx，即A(P?E)x?o。 因为A为可逆矩阵，得(P?E)x?o，由

?1?(P?E)?3??4?2131??1???2?0????1???0010?1??1 ?0??TT1，3）． －1，1），故??k(?1??2??3)?k(2，得x?k(1，例12.14 设R3的两个基

?1?????1?，??0????12?2?????1?，??1???3?2??1???????2?；?1??0?，??2??0?????2?1??1???????1??3??1? ?0??1????? （1） 求由基 ?1,?2,?3到?1,?2,?3的过渡矩阵P； （2） 已知向量

10

???1??2??3，求向量?在基?1,?2,?3下的坐标；(3) 求在基

?1,?2,?3和?1,?2,?3下有相同坐标的所有向量．

解 (1) 记A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3),(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)P ?0??1 P?AB??1??1/2?1000??0? 1/2?? (2) 由于???1??2??3=(5,4,3)T，并设?在基?1,?2,?3下的坐标为

x?(x1,x2,x3)，故有(?1,?2,?3)x??，即

T?1?0??0?1101??x1??5??x1?1??????1x2?4， 得?x2?1 ??????????x?31??3??x3??3?坐标x?(1,1,3)T，???1??2?3?3． (3) 设??(?1,?2,?3)x?(?1,?2,?3)x ?0?则 ((?1,?2,?3)?(?1,?2,?3))x?1??0?1011??1x?o ?1??T解得x?(1,1,?1)T，故???1??2??3?k(1,0,?1)．

TT?2?(2,2?a,2,2)， 例12.15（数三，02年，13分） 设4维向量组?1?(1?a,1,1,1)，

?3?(3,3,3?a,3),?4?(4,4,4?a,4),问a为何值时，?1,?2,?3,?4线性相关？当

TT?1,?2,?3,?4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线

性表出．

解 方法1 由于向量组所含向量的个数等于向量的维数，故可以各向量为列构成矩阵，然后通过矩阵的行列式为零时向量组线性相关求出常数a．记A?(?1,?2,?3,?4)，则

1?a22?a22333?a34444?a?(a?10)a

3 A?111 于是当a＝0或a??10时，?1,?2,?3,?4线性相关．

11

当a＝0时，?1为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?2?2?1， ?3?3?1,,?4?4?1．

当a??10时，对A施以初等行变换，有

??9?1?=A?1??1??9?1???1??12?8222?10033?7330?104???9??410???4??10???6??104??0??01???0??1???1??10?1002?100000?1030?1004??0? 0???10?0??0??(?,?,?,?)

12340???1?由于?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4， 故?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4．

方法2 将构成的矩阵作初等交换化成阶梯形矩阵后求解。记A?(?1,?2,?3,?4)，对A施以初等行变换，有

?1?a?1A???1??122?a22333?a3??1?a??4?a???4???a??4?a???a42a0030a04??0??B 0??a? 当a＝0时，A的秩为1，因而?1,?2,?3,?4线性相关，此时?1为?1,?2,?3,?4

的一个极大线性无关组，且?2?2?1,?3?3?1,,?4?4?1．

当a≠0时，再对B施以初等行变换，有 ?1?a??1? B???1???1210030104??a?10??0?1???0???1??1???1010000100??0??C?(?,?,?,?)

12340??1?如果a??10,C的秩为4，从而A的秩为4，故?1,?2,?3,?4线性无关． 如果a＝?10,C的秩为3，从而A的秩为3，故?1,?2,?3,?4线性相关．

由于?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4．于是?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4．

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