2019年高考数学（理）终极押题卷（新课标卷）（解析版）

秘密★启用前

2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）

理科数学

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的） 1．已知集合

，则A?B?（ ）

A. ??1,0? B. ?0,1? C. ??1,0,1? D. ??1,2? 【答案】B 【解析】

，，则，

故选B.

2．已知i为虚数单位,复数z?1?i,则z?1

z

的实部与虚部之差为( )

A． 1 B．0

C．2?1 D．2 【答案】D 【解析】：

复数z?1?i，∴z?2,z?1?i,?z?11z?2?1?i?2?1?i2,实部2-112，虚部-2，实部-虚部=2 【点睛】：该小题几乎考查了复数部分的所有概念,是一道优秀试题。

3．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n

个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）

下列说法错误的是（ ）

A. 2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9% B. 2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%

C. 2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4% D. 2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点 【答案】C

【分析】对照表中数据逐项检验即可.

【详解】观察表中数据知A,B,D正确，对选项C，2018年2月CPI环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C错误，故选：C

【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.

4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先

锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ） A．

17?87?8?人 B．

17?89?8?人 C．8?17?87?8?人

D．8?17?89?84?人 【答案】D

【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：

8?84?85?86?87?88?8?84?1?85?1?8?8?17?89?84?，故选D．

5．根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用Ai?i?1,2,???,10?表示第i个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（ ）

A．B?B?Ai

B．B?B?A2i C．B??B?A2 D．B?B2?A2i?A? i

【答案】B 22【解析】由s2??x1?x???x2?x???????xn?x?2n

x222?1?x22?????x2n?2?x1?x2?????xn?x?nx2x1?x22?????x2n?2nx2?nxx21?x22?????x2n?n?nn?x2 2循环退出时i?11，知x2???A?222?i?1??．∴B?A1?A2?????A10，

故程序框图①中要补充的语句是B?B?A2i．故选B． 6．函数f?x??sinxx?x2?2x的大致图象为（ ） A．

B．

C． D．

【答案】D

【解析】f?1??sin1?1?2?sin1?1?0，排除B，C，

当x?0时，4π，则2π时，

4π3，π，排除A，故选D． 7．已知函数f?x?是定义在R上的偶函数，且在?0,???上单调递增，则（ ）

A．f??3??f??log313??f?20.6? B．f??3??f?20.6??f??log313? C．f?20.6??f??log313??f??3? D．f?20.6??f??3??f?log313?

【答案】C

【解析】根据题意，函数f?x?是定义在R上的偶函数，则f??3??f?3?，f??log313??f?log313?，有

20.6?2?log313?log327?3，又由f?x?在?0,???上单调递增，则有f?20.6??f??log313??f??3?，故选C． 8. 如图网格纸的最小正方形边长为1，粗线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）

A．32 B．

643 C．

323 D． 8

【答案】B

【解析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，∴该四棱锥的体积为1643?4?4?4?3，故选B．

9. 设点FFx2y21， 2分别为椭圆C:9?5?1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得PF1?PF2?m成立

的点恰好是4个，则实数m的值可以是（ ）

A．

12 B．3

C．5 D．8

【答案】B

【解析】∵点F:x2y21，F2分别为椭圆C9?5?1的左、右焦点；

即F2221??2,0?，F2?2,0?，a?9，b?5，c?4，c?2，

设P?x0,y0?，PF1???2?x0,?y0?，PF2??2?x0,?y0?，

由PF21?PF2?m可得x20?y0?m?4，

又∵P在椭圆上，即x220?y0?1，∴x29m?9950?4， 要使得PF个，则0?9m?91?PF2?m成立的点恰好是44?9，解得1?m?5，

∴m的值可以是3．故选B．

10．若x1是方程xex?1的解，x2是方程xlnx?1的解，则x1x2?（ ）

A．1 B．?1 C．e

D．1e

【答案】A

【解析】：xex?1?ex?1x，xlnx?1?lnx?1x，设y?1x与y?ex和y?lnx分别交于A(x111,x),B(x2,),由对称

1x21性得

k?x?12x1ABx??xxx,故选A 12??1?x12?12?x111. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,9,10,11，已知这组数据的平均数为10，方差为2，

则x?y=（ ） A．1 B．2 C．3

D．4

【答案】D

【解析】：这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有??x?y?20?(x?10)2?(y?10)2?8，按一般同学的常规思路解出x,y，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：x?y?2?x?y2代表直线x?y?20与圆(x?10)2?(y?10)2?8的交点到直线x?y?0的距离的2倍，所以x?y=2x?y2?2r?2?22?4,

故选D。

12. 已知f(x)?e2x+ex?ax，?x?0,均有f(x)?2,则a的取值范围是（ ）

A．(??,3] B．(??,2] C．[2,??)

D．[3,??)

【答案】A 【解析】：

f(0)?2,?据题意有f(x)的最小值为2=f(0)，而

f?(x)?2e2x+ex?a在[0,+?)上单增，?f?(x)?f（?0）?0恒成立?a?3.故选A. 第Ⅱ卷

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

?x?y?013．若实数x,y满足??2x?y?6?0,则z?2x?y的最大值为______________．

??x?1【答案】：2

【解析】：作出线性可行域如图，当y=2x过点A（2,2）时，纵截距最小，此时z最大，最大值为2?2?2?2.

14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：

甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名；

若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确，由此判断获得第一名的同学是______________． 【答案】：乙

【解析】：甲、乙、丙的排名及预测对错如下表：

甲 对、错 乙 对、错 丙 对、错 1 √ 2 × 3 √ 1 √ 3 √ 2 √ 2 √ 1 × 3 √ 2 √ 3 √ 1 × 3 × 1 × 2 √ 3 × 2 × 1ZxxkCom × 所以满足条件的甲、乙、丙排名依次为第三名，第一名，第二名，故答案为乙。

15. 在矩形ABCD中，AB?2，AD?1，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量AP??DB??AD，

则???的最大值为______________． 【答案】2

【解析】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，

则B?2,0?，D?0,1?，E?1,1?，

设P?x,y?，0?x?1，∴DB??2,?1?，AD??0,1?，AP??x,y?， ∵AP??DB??AD，∴?x,y???2?,????，∴??x?2??x????，

???x∴???2，∴????2x?2，故答案为2．?3x

????216．某工厂现将一棱长为3的四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为

______________．

【答案】：2?27 【解析】：如图：圆柱O1O2与正四面体的各面均相切，设与面相切于F点，则E是BC的中点，且A、E、F三点

共线，A,O1,O2三点共线，D,E,O2三点共线，

AE?DE?3sin600?32,O2为正ABC的中心，

?EO?13?DE?13?32?122，而AO2?AE2?EO22?2,设圆柱的底面半径为r,高为h,,则有

r1?2?h2?h?2(1?2r),∴圆柱的体积为2VO1O2??r2h?2?r2(1?2r)??22?r3?2?r2?2?(?2r3?r2)，令

f(r)?2?(?2r3?r2),则f?(r)=2?（-6r2?2r)?22?r(?3r?1),当r?(0,13)时，f?(r)?0,当r?(13,1)时,f?(r)?0∴当且仅档r?12?3时，f(r)最大，即VO1O2最大，最大值为27.

三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）

（一）必考题：共60分。 17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23sin2A2?sinA?3?0． （1）求角A的大小；

（2）已知△ABC外接圆半径R?3，且AC?3，求△ABC的周长． 【答案】（1）A?

π

3

；（2）3?33． 【解析】（1）23sin2A2?sinA?3?0，?23?1?cosA2?sinA?3?0， 即sinA?3cosA?0，?tanA?3， 又0?A?π，?A?π3．……………………………………………………………………………………….6分

（2）

asinA?2R，?a?2RsinA?23sinπ3?3， AC?3?b，∴由余弦定理可得a2?b2?c2?2bccosA，9?3?c2?3c，

∴c2?3c?6?0，∵c?0，所以得c?23，∴周长a?b?c?3?33．…………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．

10表中w?11ix2，w?i10?wi．

i?1（1）根据散点图判断，y?a?bx与y?c?dx2哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归

方程类型?(不必说明理由)

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？ 附：对于一组数据?u1,v1?，?u2,v2?，?u3,v3?，，?un,vn?，其回归直线v????u的斜率和截距的最小二乘估计分

n别为????i?1?vi?v??ui?u??n?，u?u?2???v???u． i?1i

【答案】（1）y?c?dx2更适宜；（2）y??5?20x2；（3）x?2时，煤气用量最小． 【解析】（1）y?c?dx2更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型．…………………4分 10（2）由公式可得：d???i?1?wi?w??yi?y?16.2?10?1?w?i?w?2i0.81?20，

c??y?dw??20.6?20?0.78?5， ∴所求回归方程为y??5?20x2．………………………………………………8分 （3）设t?kx，则煤气用量S?yt?kx??20?20k?5?x2???5kx?x?25kx?20kx?20k，当且仅当5kx?20kx时取“”，即

x?2时，煤气用量最小．………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，AB?PC，AD∥BC，AD?CD，且PC?BC?2AD?2CD?22，PA?2． （1）证明：PA?平面ABCD；

（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M?AC?D的大小为60?？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）见证明；（2）见解析．

【解析】（1）∵在底面ABCD中，AD∥BC，AD?CD，且BC?2AD?2CD?22， ∴AB?AC?2，BC?22，∴AB?AC，又∵AB?PC，ACPC?C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，

∴AB?平面PAC，又∵PA?平面PAC，∴AB?PA，∵PA?AC?2，PC?22，∴PA?AC， 又∵PA?AB，ABAC?A，AB?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA?平面ABCD．………….6分

（2）方法一：在线段AD上取点N，使AN?2ND，则MN∥PA，又由（1）得PA?平面ABCD，∴MN?平面ABCD，又∵AC?平面ABCD，∴MN?AC，作NO?AC于O，又∵MNNO?N，MN?平面MNO，

NO?平面MNO，∴AC?平面MNO，又∵MO?平面MNO，∴AC?MO，又∵AC?NO，∴?MON是二

面角M?AC?D的一个平面角，设PMPD?x，则MN??1?x?AP?2?2x，ON?22AN?22xAD?x，这样，二面角M?AC?D的大小为60?，

即tan?MON?MNON?2?2xx?tan60??3，即PMPD?x?4?23，∴满足要求的点M存在，且

PMPD?4?23．………………………………………………12分 方法二：取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

且由（1）知AP??0,0,2?是平面ACD的一个法向量， 设

PMPD?x??0,1?，则MN??1?x?AP?2?2x，AN?xAD?2x， ∴AM??0,2x,2?2x?，AC??2,2,0?，

设AQ??a,b,c?是平面ACM的一个法向量， 则???AQ?AM?2xb??2?2x?c?0?a??b，∴????AQ?AC?2a?2b?0?2x，

?c?2x?2b令b?2x?2，则AQ???2x?2,2x?2,2x?，它背向二面角，

又∵平面ACD的法向量AP??0,0,2?，它指向二面角， 这样，二面角M?AC?D的大小为60?， 即cosAP,AQ?AP?AQ22xAP?AQ?2???2?2x?2??2?2x?2??2x?2?cos60??12，

即x?4?23，

∴满足要求的点M存在，且PMPD?4?23．……………………………………………….12分

20．（本小题满分12分）

已知△ABC的直角顶点A在y轴上，点B?1,0?，D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹为曲线?，直线BC与?的另一个交点为E．以CE为直径的圆交y轴于M、N，记此圆的

圆心为P，?MPN??，求?的最大值． 【答案】（1）y2?4x?x?0?；（2）

2π3． 【解析】（1）设点C的坐标为?x,y?，

则BC的中点D的坐标为??x?1?2,y?2??，点A的坐标为???0,y?2??．AB????1,?y?2??，AC????x,y?2??，由AB?AC，得

AB?AC?x?y24?0，即y2?4x，经检验，当点C运动至原点时，A与C重合，不合题意舍去．

∴轨迹?的方程为y2?4x?x?0?．………………………………………………4分

（2）依题意，可知直线CE不与x轴重合，设直线CE的方程为x?my?1， 点C、E的坐标分别为?x1,y1?、?x2,y2?，圆心P的坐标为?x0,y0?．

由??y2?4x，可得?x?my?1y2?4my?4?0，∴y1?y2?4m，y1y2??4．……………………………………………….6分

∴x221?x2?m?y1?y2??2?4m?2，∴xx1?x0?2?2m2?1． ∴圆P的半径r?12CE?12?x11?x2?2??2?4m2?4??2m2?2．………………………………………………8分 过圆心P作PQ?MN于点Q，则?MPQ??2．

在Rt△PQM中，cos?PQx2?02m?112r?r?2m2?2?1?2m2?2，………………………………………………10分 当m2?0，即CE垂直于x轴时，cos?1?π2取得最小值为2，2取得最大值为3，

∴?的最大值为

2π3．………………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数f?x??ex?1?a?x?1??lnx（a?R，e是自然对数的底数）．

（1）设g?x??f??x?（其中f??x?是f?x?的导数），求g?x?的极小值； （2）若对x??1,???，都有f?x??1成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）2?a；（2）???,2?． 【解析】（1）g?x??f??x??ex?1?1x?a?x?0?，g??x??ex?1?1x2． 令??x??g??x??ex?1?1x2?x?0?，∴???x??ex?1?2x3?0， ∴g??x?在?0,???上为增函数，g??1??0．

∵当x??0,1?时，g??x??0；当x??1,???时，g??x??0，

∴g?x?的单调递减区间为?0,1?，单调递增区间为?1,???，∴g?x?极小?g?1??2?a．………………….6分 （2）由（1）知，f??x?在?1,???上单调递增，在?0,1?上单调递减，∴f??x??f??1??2?a． 当a?2时，f??x??0，f?x?在?1,???上单调递增，f?x??f?1??1，满足条件；………………8分 当a?2时，f??1??2?a?0． 又∵f??lna?1??elna?a?1lna?1?1lna?1?0，∴?x0??1,lna?1?，使得f??x0??0， 此时，x??1,x0?，f??x??0；x??x0,lna?1?，f??x??0，………………………………………………10分 ∴f?x?在?1,x0?上单调递减，x??1,x0?，都有f?x??f?1??1，不符合题意．

综上所述，实数a的取值范围为???,2?．……………………………………………….12分

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为??x?tcos?（t为参数，0???π）．以坐标原点为极点，x?y?tsin?轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?2?4?4?cos??2?sin?． （1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为25，求直线l的普通方程．

【答案】（1）?x?2?2??y?1?2?9；（2）y?34x和x?0．

【解析】（1）将??x??cos??y??sin?代入曲线C极坐标方程得：

曲线

C的直角坐标方程为

x2?y2?4?4x?2y，即

?x?2?2??y?1?2?9．………………………………………………5分

（2）将直线l的参数方程代入曲线方程：?tcos??2?2??tsin??1?2?9， 整理得t2??4cos??2sin??t?4?0，

设点A，B对应的参数为t1，t2，解得t1?t2?4cos??2sin?，t1t2??4， 则AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2??4cos??2sin??2?16?25?3cos2??4sin?cos??0，

∵0???π，∴??π2和tan??34，∴直线l的普通方程为y?34x和x?0．…………………………………….10分

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23. 已知函数f?x??x?m?2x?1，m?R． （1）当m?1时，解不等式f?x??2；

（2）若不等式f?x??3?x对任意x??0,1?恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）???x0?x?4?3??；（2）?m0?m?2?．

?1?2?3x,x??2【解析】（1）当m?1时，f?x??x?1?2x?1，∴f?x????x,1?x?1， ?2??3x?2,x?1?

f?x??2即求不同区间对应解集，∴

f?x??2的解集为

??x0?x?4??．……………………………………………….5分

?3?（2）由题意，f?x??3?x对任意的x??0,1?恒成立， 即x?m?3?x?2x?1对任意的x??0,1?恒成立， ?1令g?x??3?x?2x?1???x?2,0?x??2?1， ??4?3x,2?x?1∴函数y?x?m的图象应该恒在g?x?的下方，数形结合可得0?m?2．…………………………………………10分

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