中考二轮复习 第8讲 代数几何综合题

第三章 综合题型

第8讲 代数/几何综合题

? 【专题精讲】

1、 代数综合题

代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．

解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的． 2、 几何综合题

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答． 解几何综合题，

一要注意图形的直观提示；

二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；

同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点：

⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．

⑵ 掌握常规的证题方法和思路．

⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论等）

? 【典例精析】

例1、如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a

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的异侧，BM?直线a于点M，CN?直线a于点N，连接PM、PN；

（1） 延长MP交CN于点E（如图2）。? 求证：△BPM?△CPE；? 求证：PM = PN； （2） 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3） 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

例2、如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC＝CD，OD＝2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为试解决下列问题：

（1）填空：点D坐标为____________；

（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简； （3）等式BO＝BD能否成立？为什么？

（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．

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A N P M a

A N a A N a

M B P C

B C B

M P C

图1 图2 图3

1． 2y B D F E O A M C x

例3、如图1，若四边形ABCD和GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE． （1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M． ①求证：AG⊥CH；

②当AD＝4，DG＝2时，求CH的长．

例4、已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点，连结AC，BD交于点P．

（1）如图1，当OA＝OB，且D为OA中点时，求（2）如图2，当OA＝OB，且

AP的值； PCG A G F

D E

A F E D

A G H F M D E B 图1

C

B 图2

C

B 图3

C

AD1＝时，求tan∠BPC的值； 4AO

（3）如图3，当AD :AO :OB=1 :n :2n时，直接写出tan∠BPC的值．

B

P C

图1

A D O

B

P A D

P A D

C 图2

O B

C 图3

O

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例5、已知：在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM． （1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为__________________； （3）在（2）的条件下，延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝27，求

tan∠ACP的值．

例6、在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．

求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求

M D 2

O A N

O 1 图15-1

B

N A

1 C 图15-2

A

E F A

E M

C

F M

C

B D （图1）

B D

（图2）

BD的值． ACD 2 O 1 C

B

图15-3

M

D 2 B

M A N

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? 【巩固演练】

1、已知A（8，0），B（0，6），C（0，－2）连接A D，过点C的直线l与AB交于点P． （1）如图⑴，当PB=PC时，求点P的坐标；

5（2）如图⑵，设直线l与x轴所夹的锐角为α且tanα= ,连接AC，求直线l与x轴的交点

4E的坐标及△PAC的面积．

2、如图1，在矩形ABCD中，AB=10。cm，BC=8cm．点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止，若点P、点Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点

2

P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为d cm/s，图2是点 P出发x秒后△APD的面积S（1cm）

与x（s）的函数关系图象；图3是点Q出发xs后面AQD的面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象．

⑴ 参照图1-3，求a、b及图中c的值； ⑵ 求d的值；

⑶ 设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点 P、Q改变速度后，y1、y2与出发后的运动时间x（s）的函数解析式，并求出P、Q相遇时x的值．

⑷ 当点Q出发_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．

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3、如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（3，3），AD为斜边上的高．抛物线y＝ax＋2x与直线y＝

2

1x交于点O、C，点C的横2坐标为6．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S． （1）求OA所在直线的解析式． （2）求a的值．

（3）当m≠3时，求S与m的函数关系式．

（4）如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN＝m的取值范围． O

P D 图① 3．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时2y A E C y A Q E R O P M N D 图② C B x B x - 6 -

4、已知抛物线y＝－＋1）．

（1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线y＝－

2212

x＋bx＋4上有不同的两点E（k＋3，－k＋1）和F（－k－1，－k2

12

x＋bx＋4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB2

的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式． （3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

Q P B M C A O D x y - 7 -

5、如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置． （1）求C′ 点的坐标；

（2）求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式；

（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；

（4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF :S△OAB＝16 :3？若存在，请求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由．

(D) B G F O (C) 图③

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y (E) B G O (C) 图① (D) x A y (D) B G O (C) 图② C′ A (E) x y C′ A (E) x

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