概率与统计检测题答案

天津科技大学概率论与数理统计检测题1答案

一．

1. ABC， ABC， A?B?C， AB?BC?AC；

2. 第一枪中靶， 只有第一枪中靶， 恰有一枪不中靶， 至少一枪不中靶（或三枪不都中靶）； 3. 全院的运动员都是二年级的男生。

二． 1．②； 2．③； 3 ④． 三．

1. ??{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}； A?{2，4，6，8，10，12}； B?{3，6，9，12}. 2. ??{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； A?{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}；

B?{(1,3),(2,4),(3,5),(3,1),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4)}。

3. 令A?{订日报}，B?{订晚报}，则P(A)?0.15,P(B)?0.25,P(AB)?0.08.

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.15?0.25?0.08?0.32；

P(D)?P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB)?0.15?0.25?2?0.08?0.24；

P(E)?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.32?0.68.

4. 由ABC?AB，有0?P(ABC)?P(AB)?0，得P(ABC)?0.

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?0.3?0.3?0.3?0?0?0.2?0?0.7.

P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?0.7?0.3.

1

天津科技大学概率论与数理统计检测题2答案

一．

1．

5848?0.1389； 2．?0.5333； 3．?0.1905； 4．； 5. 0.2. 36152115二．1．④； 2．④； 3．①. 三．

1. 设A?{先由甲组抽取一男生}，B?{再由乙组抽取一男生}.

（1）P(AB?AB)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?（2）P(AB)?P(A)P(BA)?22137?????0.5833. 343412111???0.0833. 34122. 设A?{系统甲有效}，B?{系统乙有效}. 由

0.85?P(BA)?P(AB)P(B)?P(AB)0.93?P(AB)，得P(AB)?0.862. ??P(A)1?P(A)0.08（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988.

（2）P(AB)?P(AB)P(A)?P(AB)0.92?0.862???0.829.

P(B)1?P(B)0.073. 设A?{抽到男人}，B?{抽到色盲患者}.

（1）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.5?0.05?0.5?0.0025?0.02625.

P(AB)P(A)P(BA))0.5?0.95（2）P(AB)????0.4878.

P(B)1?P(B)1?0.026254. 设Ai表示“第i次击中动物”（i?1,2,3 ）.记p1?P(A1),p2?P(A2A1),

p3?P(A3A1A2). 由pi?di?k及d1?100时p1?0.6，得k?60，

进而，d2?150时，得p2?0.4；d3?200时，得p3?0.3. 所以，

P(A1?A2?A3)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)

?1?(1?p1)(1?p2)(1?p3)?1?0.4?0.6?0.7?0.832.

2

天津科技大学概率论与数理统计检测题3答案

一．

1．0.8； 2．0.12486； 3．1?(1?p)n； 4．0.901.

二．1．②； 2．④； 3．③. 三．

1. 用A,B分别表示在甲、乙两批种子中各取一粒能发芽的种子，则它们相互独立.

(1) P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.56,

(2) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.8?0.7?0.56?0.94, (3) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.3?0.2?0.3?0.44.

2. 用A,B,C分别表示元件a,b,c正常工作，则它们相互独立。用D表示系统正常工作，则

D?(A?B)C. 于是，

（1）P(D)?P[(A?B)C]?[P(A)?P(B)?P(A)P(B)]P(C)

?(0.7?0.8?0.7?0.8)?0.9?0.846，

（2）P(ACD)?P(ACD)P(AC)P(A)P(C)0.7?0.9????0.7447.

P(D)P(D)P(D)0.8463. 将每下一盘棋看作一次试验。于是，这是p?0.6的贝努利试验。所以（其中A表示甲取得胜利），

. P(A)?P3(3)?P3(2)p?P4(2)p?0.63?3?0.62?0.4?0.6?6?0.62?0.42?0.6?0.682564. 由P(AB)?P(AB)?1，有P(AB)?1?P(AB)?P(AB)，于是

P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)， ??P(B)P(B)1?P(B)由此，有P(AB)[1?P(B)]?P(B)[P(A)?P(AB)]，得P(AB)?P(A)P(B)， 所以，事件A与B相互独立。

3

天津科技大学概率论与数理统计检测题4答案

一．

1．0.6, 0.1, 0.125； 2．1?4e?3?0.8006； 3．

16； 15X4．

p012； 5. （1?p)kp, (k?0,1,2,?).

0.10.60.3二．1．①； 2．①； 3．④. 三．

1. 随机变量X可以取值1，2，3. P(X?1)?8/10?0.8， P(X?2)? P(X?3)?29??0.18， 1010X2110???0.02. 所以，X的概率分布为101010p1230.80.180.02.

13C3?32?C32?3?C3?137?2. 随机变量X可以取值1，2，3, 4. P(X?1)?, 64431313C3?22?C32?2?C3?119C3?C32?C37P(X?2)??P(X?3)??, , 33646444X11P(X?4)?3?. 所以，X的分布律为

644p1376421964376441. 643. 设同一时刻被使用的供水设备的套数为X. 则X~B(5,0.1)（二项分布）.

k于是，pk?P(X?k)?C5（k?0，1，2，3，4，5），即 0.1k?0.95?k，

XPk012345. 0.590490.328050.072900.008100.000450.00001P(X?2)?p2?0.07290,

, P(X?3)?p3?p4?p5?0.00810?0.00045?0.00001?0.00856P(X?1)?1?P(X?1)?1?p0?1?0.59049?0.40951.

4

天津科技大学概率论与数理统计检测题5答案

一．

1．

1?， 0.5， 0；

0?x?1,?2x,2．1, 0.4, f(x)?? ；

其它.0,?x??1,?0,?1?x?1,?1/2,?3．f(x)?? F(x)??(1?x)/2,?1?x?1,

其它.?0,?1,x?1.?4．e

?1?0.3679, e?34?e?54?0.1859 .

二．1．②； 2．④； 3．②.

三． 1. (1)由1??????f(x)dx??axdx?042axx340?16a3，得a?. 316

于是，随机变量X的概率密度为f(x)???3x/16,?0,0?x?4,其它.

（2）F(x)??x??f(t)dt.

当x?0时，F(x)??x??f(t)dt??0dt?0，

??x??x当0?x?4时，F(x)??f(t)dt??43tttdt?0168x40x0?xx， 8当x?4时，F(x)??x??f(t)dt??3tttdt?0168?1.

x?0,?0,?所以，随机变量X的分布函数为 F(x)??xx/8, 0?x?4,

?1,x?4.?（3）P(X?1)?1?F(1)?1?

5

17?. 88

2. （1）由连续型随机变量的分布函数F(x)在x??1点连续，有

?A??112B?0,A?,B?. 于是， ? 解得，?A?B?1.2?2??0,?F(x)??12??1,?x??1,?1arcsinx, x?1,

x?1.（2）由于在F(x)的可导点F?(x)?f(x)，得随机变量X的概率密度为

1?x?1,,?2f(x)???1?x

x?1.?0.?（3）P(X?0.5)??0.5?0.5f(x)dx??11??0.5?0.511?x?2dx

?arcsinx0.5?0.51??1(?)?. ?663??1?10000e3. （1）随机变量X的概率密度为f(x)???0,???15000x10000, x?0,

x?0.e?x10000（2）P(X?15000)??1f(x)dx?10000???15000dx??e?x10000??15000?e?1.5?0.2231.

（3）用Y表示5个这样独立使用的元件在15000小时后仍能使用的个数， 则Y服从二项分布B(5,e?1.5).于是

P(Y?2)?p5(0)?p5(1)?p5(2)1?1.5?(1?e?1.5)5?C5e(1?e?1.5)4?C52e?3(1?e?1.5)3?0.28303?0.40638?0.23340?0.9228.

6

天津科技大学概率论与数理统计检测题6答案

一．

1．

YX12341141811211620181121163001121164001160， pX123414141414，

Yp125482134837484348，P(X?Y)?111125????； 481216482．a?0.2， b?0.3； 3． f(x)???1/4,(x,y)?D,1?0.2 0.5； 4．(1?e)?0.0906. (x,y)?D.2?0,二．

1. 由已知，有P(X?0)?0.4， P(X?1)?0.6；

P(Y?0)?0.25，P(Y?1)?0.50，P(Y?2)?0.25.

由随机变量X与Y相互独立，有 pij?P(X?i,Y?j)?P(X?i)P(Y?j),(i?0,1 ；j?0,1,2)，所以

Y

p00?0.10,p01?0.20,p02?0.10,p10?0.15,p11?0.30,p12?0.15. 即

X01012

0.100.200.100.150.300.15P(X?Y)?p01?p02?p12?0.20?.010?0.15?0.45.

?2?y?0,?1,0?x?1,?1e,22. 由fX(x)?? ； fY(y)?? 及随机变量X与Y相互独立，

其它.y?0.?0,??0,?2??1e, 0?x?1,y?0, 得f(x,y)?fX(x)fY(y)??2其它.??0,yy22要使二次方程有实根，应有??(2X)?4Y?0，即X?Y?0，所以

7

1?1?2P(X?Y?0)???f(x,y)dxdy??dx?edy???e0020x?y?01xyy2x0dx

??(1?e01x?2)dx?[x?2e1x?x0x?2]10?2e1?2?1?0.2131.3. （1）由1??????dx?????f(x,y)dy?k?dx?xdy?????23k，得k?. 32（2） fX(x)??????f(x,y)dy； fY(y)??f(x,y)dx.

????当x?0或x?1时，fX(x)?当0?x?1时，fX(x)?当y?1时，fY(y)?当y?1时，fY(y)??????f(x,y)dy??x0dy?0，

?????f(x,y)dy??????1y3xdy?3x2. ?x2??????????f(x,y)dx??f(x,y)dx??0dx?0，

1y33xdx?x224?3(1?y2). 42y?1,?3?3x2,0?x?1,4(1?y),所以，fX(x)?? ； fY(y)?? y?1.其它.0,??0,（3）取密度函数的连续点(,111111)，有f(,)?0，而fX()fY()?0，

424242于是f(,1111)?fX()fY()，所以随机变量X与Y不相互独立。

4242（4）P(X?0.5)?x?0.5??f(x,y)dxdy??120.500.531dx?xdy?3?x2dx?；

?x208xP(X?Y?1)?

x?y?1??f(x,y)dxdy??1dx?31353xdy??1(2x2?x)dx?[x3?x2]11?. 1?x2222416x8

天津科技大学概率论与数理统计检测题7答案

一．

1．

Y?1135p0.20.30.40.1X?YpY?XP0120.10.30.3，

Z?103p0.30.60.1；

2．

34；

0.303．

?10123XY?2?1012； .

0.150.300.250.200.10P0.100.200.250.300.15二．

1. 由FY(y)?P(Y?y)?P(lnX?y)?P(X?ey)?FX(ey)，

两边同时对y求导，得fY(y)?fX(ey)ey，对任何y，有e?0，于是

y2eyfY(y)?fX(e)e?, (???y???).

?(1?e2y)yy2. 由X~U(0,1)，有fX(x)??

又 FY(y)?P(Y?y)?P(eX?1,?0,0?x?1,

其它.?y)，

XX当y?0时，事件(e?y)是不可能事件。于是FY(y)?P(e?y)?0，从而fY(y)?0； X当y?0时，FY(y)?P(e?y)?P(X?lny)?FX(lny)，

两边同时对y求导，得

0?lny?1,1?1/y, fY(y)?fX(lny)???lny?0或lny?1.y?0,即 fY(y)??1?y?e,?1/y,

0?y?1或y?e.?0,综上： fY(y)???1/y,1?y?e,

其它.0,?3. （1）由FY(y)?P(Y?y)?P(1?X?y)?P(X?1?y)?1?FX(1?y)，

9

两边同时对y求导，得fY(y)??fX(1?y)?(?1)??0?1?y?1,?2(1?y),

其它.?0, 即 fY(y)??0?y?1,?2(1?y),

其它.0,?2 （2）由于X只在区间(0,1)内取值，所以Z?X也只在区间(0,1)内取值。 于是，当z?(0,1)时，fZ(z)?0； 当z?(0,1)时，由

FZ(z)?P(Z?z)?P(X2?z)?P(0?X?z)?FX(z)?FX(0)，

两边同时对z求导，得fZ(z)?fX(z)?12z?1，

所以，fZ(z)??0?z?1,?1, （即Z~U(0,1)）.

其它.?0,4. 由于Z?X?Y只取正值，于是当z?0时，fZ(z)?0；当z?0时，由

FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)?P(0?X?Y?z)?0?x?y?z??f(x,y)dxdy??dx?0zz?x01(x?y)e?x?ydy2

1zz2?z?x?z??[(1?x)e?(1?z)e]dx?1?(1?z?)e202dz2?z1[1?(1?z?)e]?z2e?z. 两边同时对z求导，得fZ(z)?dz222?zz?0,?12ze,所以， fZ(z)??

z?0.?0,

10

天津科技大学概率论与数理统计检测题８答案

一．

1．1.1, 2.3, 2.09； 2．2； 3．2,

449； 4．4, 0, ； 5. 10. 33二．1．④； 2．①； 3．④.

三．

1. E(X)?D(X)?E(X)?22113??, 由 20410??1?bx2cx31bc21?f(x)dx?(a?bx?cx)dx?[ax??]?a??,0?????02323???11abc?23 ?E(X)?xf(x)dx?(ax?bx?cx)dx???,?????02234???1abc2234?3?E(X2)?xf(x)dx?(ax?bx?cx)dx???.????0?10345??6a?3b?2c?6,?a?0,??有?6a?4b?3c?6,得，?b?6， ?20a?15b?12c?18.?c??6.??x2?y2?1,?1/?,2. 二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)?? 2 20,x?y?1.?E(X)???????????xf(x,y)dxdy?x2?y2??x??1dxdy?0； xyE(XY)???????????xyf(x,y)dxdy?x2?y2?1???dxdy?0；

D(XY)?E[(XY)2]?E2(XY)?E(X2Y2)?0?E(X2Y2)??4??????2????xyf(x,y)dxdy?122x2?y2?1??x2y2?dxdy

4??cos2?sin2?d??r5dr?0?06?21?31?1?(????)?.3?2242224

??20sin2?(1?sin2?)d?11

3. 设每年准备货源y(t),出口X(t),收益为g(X)(元).则

g(X)??2000?X?y,?3X?(y?X),

y?X?4000.?3y,,2000?x?4000,?1/2000又X的概率密度函数为f(x)??

其它.0,?每年平均收益为

40001?yE[g(X)]??g(x)f(x)dx?(3x?y?x)dx??3ydx?????y2000??2000?

11y?[(2x2?yx)2000?3y(4000?y)]?(?y2?7000y?4?106).20001000??由

1dd1(?2y?7000)?0. E[g(X)]?[(?y2?7000y?4?106)?1000dydy1000得, y?3500(t)

所以,每年应组织3500 (t )货源才能使得平均收益最大。

12

天津科技大学概率论与数理统计检测题９答案

?1?,当k为偶数时，一．1．?k(X)??1?k ； 2．9，30； 3．0；

当k为奇数时.??0,二．1．②； 2．③； 三．

1. 由已知，得

XP?1013/82/83/8，

YP?1013/82/83/8，

XYP?1011/42/41/4.

3311E(X)?E(Y)???0??0, E(XY)???0??0.

8844协方差cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0?0?0， 于是，相关系数R(X,Y)?0. 所以，随机变量X与Y不相关。 又由P(X?0,Y?0)?0，而P(X?0)P(Y?0)?1/16，有

P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0). 所以，随机变量X与Y不相互独立。

Y2. 易知，随机变量X与Y的联合概率分布为：

X121021/3，

1/31/3 两个边缘分布及随机变量XY的概率分布分别为：

XPE(X)?E(Y)?12Y，

1/32/3P12XY，

1/32/3P124.

02/31/314518??， E(X2)?E(Y2)???3 33333252D(X)?E(X2)?E2(X)?3??，

992448类似，D(Y)?，E(XY)?0???.

93338551于是，协方差cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)????? ，

3339

13

所以，相关系数R(X,Y)?cov(X,Y)D(X)D(Y)?1??.

22/9?2/9?1/93. 二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

x?y?1,?1/2, f(x,y)??x?y?1.0,?E(X)???????????xf(x,y)dxdy?xdxdy?0，类似可得，E(Y)?0. ??2x?y?1xydxdy?0. ??2x?y?1E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy?于是，随机变量X与Y的协方差cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 所以，随机变量X与Y的相关系数R(X,Y)?0. 4. E(X)?4， ??????0005????1x81482E(Y)???yf(x,y)dxdy??dx?8xydy??xdx?，

????003015????1x12E(X2)???x2f(x,y)dxdy??dx?8x3ydy?4?x5dx?，

????0003????1x11E(Y2)???y2f(x,y)dxdy??dx?8xy3dy?2?x5dx?，

????0003????1x815422E(XY)???xyf(x,y)dxdy??dx?8xydy??xdx?，

????003092162D(X)?E(X2)?E2(X)???，

3257516411D(Y)?E(Y2)?E2(Y)???，

32252254484?于是，协方差cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)???，

9515225????xf(x,y)dxdy??dx?8x2ydy?4?x4dx?1x1所以，随机变量X与Y的相关系数

R(X,Y)?cov(X,Y)D(X)D(Y)?4/2252/7511/225

?466?0.4934.

14

天津科技大学概率论与数理统计检测题10答案

1371?0.514； 3． ； 4．1. 一．1． ； 2．

97212二．1． ④； 2． ③. 三．

1. 由切比雪夫不等式

D(X)70028?1??. P(5200?X?9400)?P(X?7300?2100)?P(X?E(X)?2100)?1?210022100291n1n12. E(X)??E(Xi)?????,D(X)?2ni?1ni?1n1D(X)??in2i?1n???2i?1n?2n?8 . n由切比雪夫不等式P(X???4)?P(X?E(X)?4)?1?2D(X)1?1?.

2n423. 记Yi?Xi，由X1,X2,?,Xn,?相互独立同分布，有Y1,Y2,?,Yn,? 也相互独立同分布，且

E(Yi)?E(Xi2)?D(Xi)?E2(Xi)??2， (i?1,2,?,n,?) D(Yi)?E(Yi2)?E2(Yi)?E(Xi4)??4，(i?1,2,?,n,?).

由E(Xi4)存在且一致有界，有D(Yi)存在且一致有界. 于是

1n21n1n2limP(?Xi????)?limP(?Yi??E(Yi)??)?1 n??n??ni?1ni?1ni?1

15

即P?X???500500500????1.96???X??1.96??0.95， P?X????1.96??0.95 nnn???500?1.96?50?n?384.16，因此，n至少为385. n

要使绝对误差小于50元，则需 26

天津科技大学概率论与数理统计检测题17答案

21. ?12,?2已知，

?1??2的置信水平为100?1???%的置信区间为

22???12?2?12?2?,x?y?u?2??x?y?u?2?

?n1n2n1n2???将数据代入得?1??2置信水平为95%的置信区间为

?64496449?6?1.96?,6?1.96????0.0939,12.0939? ????10151015??2.

2?12??2??2??未知?， ?1??2的置信水平为100?1???%的置信区间为

?1111? x?y?tS?,x?y?tS????2??2???nnnn1212??这里s??2?n1?1?sx2??n2?1?sy2n1?n2?2?54.0043,t0.025?23??2.0687，

得?1??2置信水平为95%的置信区间为

?6?2.06873.

54.0043,6?2.068754.0043???0.2063,12.2063?

??2122??sxsx， ?的置信水平为100?1???%的置信区间为?,22??F?2?n1?1,n2?1?sy?F1??2?n1?1,n2?1?sy??22查表得F0.025?9,14??3.21,F0.975?9,14??因而?1211， ?F0.025?14,9?3.8056.556.5?,?3.80???0.3359,4.0973?

?3.21?52.452.4?2的置信水平为95%的置信区间为??2???SX?????X????t??n?1???1??，即 P???X?4. 由 t??n?1???1??，~t?n?1?，有P?SnnSn??????得?的置信水平为95%的单侧置信下限为??X?St??n?1? n今x?41116.875,s?1346.842,1???0.95,??0.05,t??n?1??t0.05?15??1.7531， 故得?的置信水平为95%的单侧置信下限为??41116.875?

27

1346.842?1.7531?40526 16天津科技大学概率论与数理统计检测题18答案

一、

1. 小概率事件的实际不可能性原理（或小概率事件在一次试验中不可能发生）； 2. 总体均值，总体方差； 3．??二、 1．③； 2．①； 3．②． 三、

1. 由已知要检验的假设是H0:???0?240， H1:???0

由于总体方差未知，故采用t检验，选取检验统计量

2(n?1)S2?20， ?2(n?1)．

t?X??0S/n~t(n?1) 当H0成立时

由已知条件计算可得统计量t的观测值

t?239.5?240??3.75

0.4/3从而|t|?3.75?t0.025(8)?2.31

所以拒绝原假设H0，即认为该厂此类铝材的长度不满足设定要求。

222. 由已知要检验的假设是H0:?2??0 ?0.0052，H0:?2??0由于总体均值未知，故选取检验统计量

??2(n?1)S22?0~?2(n?1) 当H0成立时

由已知条件计算可得统计量?2的观测值

(11?1)?0.0072???19.6

0.005222从而?2??0.05(10)?18.3

所以拒绝原假设H0，即认为这批导线的标准差显著的偏大。

28

3. 由已知要检验的假设是H0:?1??2， H1:?1??2

这里选取检验统计量

t?S?x1?x211?n1n2~t(n1?n2?2) 当H0成立时

由样本数据算得S??1(8?0.1337?7?0.1736)?0.3903

9?8?20.230?0.2690.390311?98??0.2056

从而可得统计量t的观测值 t?对于??0.05，有|t|?0.2056?t0.025(15)?2.1314

所以接受原假设H0，即认为东、西两支矿脉含锌量的平均值可以看作一样。

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