2011-2012-2概率统计试题及答案

2011/2012 学年 2 学期 概率论与数理统计（A卷 ）课程考试试题

拟题学院（系） : 数理学院 拟题人: 张菊芳 全校 适 用 专 业: 校对人:

（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．A与B是两个事件，若P(A)?0.6,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，则P(A|B)?_______. 2. 盒子中有3个红球与2个白球，不放回地取球两次，每次任取一球，则第一次取到红球、第二次取到白球的概率为_______.

?1000,x?1000?1?3．设X的分布函数为F(x)??，则X的概率密度函数f(x)?_______. x?x?1000?0,4. 设二维随机向量(X,Y)服从区域G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}上的均匀分布,则概率

P{X?Y?1}?_______.

5. 设X1,X2,X3是总体X~N(0,3)的一个样本，要使c(X1?X2?X3)~?分布，则常数

2222c?________.

二、选择题（每小题3分，共15分）

1．设有3个人都以相同的概率进入6间房的每一间，每间房可容纳人数不限，则某指定的3间房中各有一人的概率为（ ）.

33A6C63!1A．3； B．3； C．； D.3 .

66262.设随机变量X 与随机变量Y 的联合分布律为:

P{(X,Y)?(1,2)}?1/2，P{(X,Y)?(2,1)}?P{(X,Y)?(2,2)}?1/4，则有（ ）.

A．P{X?Y}?1/2； B．P{min(X,Y)?1}?1/4； C．P{X?Y?3}?3/4； D. P{X?Y}?1/2 .

3. 设随机变量X~N(0,4),Y~N(0,9),?XY?0.5，则Var(X?Y)?（ ）. A．?11； B．7； C．13； D. 19. 4.设X,Y相互独立，则下列不正确的是（ ）.

A.E(XY)?E(X)(EY)； B.E(X?Y)?EX?EY；

C.Var(XY)?Var(X)Var(Y)； D.Var(X?Y)?VarX?VarY.

5.X1,X2,?,X9是总体X~N(?,?)的样本，X与S分别为样本均值和样本方差，则下列正确的是（ ）. A．

22X???~N(0,1) ； B．

3(X??)~t(8)； SC．

3(X??)3(X??)~t(10)； D．~N(0,1). SS三、计算下列各题（每小题8分，共24分）

1.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人。（1）求此人是色盲患者的概率；（2）若此人是色盲患者，求他是男性的概率. 2. 某大楼有3个不同类型的供水设备，假设在同一时刻每个设备是否被使用是相互独立的，且在任一时刻每个设备被使用的概率均为0.1，用X表示同一时刻被使用的供水设备数.求：（1）X的分布律；（2）在同一时刻至少有2个设备被使用的概率。 3.设随机变量X服从U(0,1)分布，求Y?X?1.的概率密度. 四、计算下列各题（每小题14分，共28分） 1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??3?Ax(1?x),0?x?1.求：

0,其他?（1）常数A；（2）X的分布函数；（3）概率P{X?1/2}.

2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)???3x,0?y?x?1 .

?0,其他（1)求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（2）判别X与Y是否独立；（3）求E(XY). 五、计算下列各题（每小题6分，共12分）

1．已知总体X服从正态分布N(15,2)，设X1,X2,?,X16是它的一个样本，求样本均值位于区间（14,16）内的概率（已知?(2)?0.9772，?(0.5)?0.6915）.

2???x??1,0?x?12. 设总体X的概率密度为f(x)??，其中?（??0)是未知参数，

0,其他??X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本，求参数? 的极大似然估计量.

?2x?,0?x??,六.证明题（6分） 设总体X的概率密度为f(x)???2??0,其他参数，X1,X2,X3是来自X的一个样本，证明：Y?

其中?(??0)是未知

1(X1?X2?X3)是?的无偏估计量. 2

2011-2012 学年 2 学期 概率论与数理统计（A） 试题标准答案 拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 张菊芳 适用专业： 全校 书写标准答案人： 张菊芳 （答案要注明各个要点的评分标准）

一、填空题（每小题3分，共15分）

?1000,x?1000?1．1/4；2. 0.3；3. f(x)??x2；4. 1/2；5. 1/3。

?x?1000?0,二、选择题（每小题3分，共15分）

1．B ；2. C；3.B；4.C；5.B。

三、计算下列各题（每小题8分，共24分）

1.解：(1)A={任选一人为男性}，B={此人为色盲患者}，则A和A是样本空间的一个划分，且

P(A)?P(A)?1，P(B|A)?5%,P(B|A)?0.25%…………………2分 2由全概率公式，有P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ……………..………4分

11??5%??0.25%?2.625% ……………..………5分 22

(2) P(A|B)?

P(AB)P(A)P(B|A) …………..………7分 ?P(B)P(B)120 …………..………8分 ??5%/2.625%?2212.（1）X~B(3,0.1),P{X?k}?C30.1?0.9列表：

kk3?k,k?0,1,2,3 ………………2分

X pk 分

0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 ………………6

(2)P{X?2}?P{X?2}?P{X?3}?0.028 ………………8

分

3. 解：X的概率密度为fX(x)??32?1,0?x?1 …………..……1分

0,其他?函数y?x?1,y??3x?0,单调增，且1

?1?x?h(y)?y?1,h(y)?(y?1)3 …………..……3分

332Y?X3?1的概率密度为：

?f[h(y)]|h?(y)|,1?y?2fY(y)??X …………..……6分

其他?0,2??1?(y?1)3,1?y?2??3 …………..……8?0,其他?分

四、（每小题14分，共28分） 1.（1）

????f(x)dx??Ax(1?x)dx?1， ……..………1分

01x2x31A即A(?)|0??1得：A?6 …………..………3分

236（2）F(x)??x??f(x)dx …………..……5分

x?0?0,??x???6x(1?x)dx,0?x?1 …………..………8

0?x?1??1,分

x?0?0,???x2(3?2x),0?x?1 ………..………10?1,x?1?分

111?1?1111（3）P{X?}??26x(1?x)dx?或P{X?}?F()???(3?2?)? ……14

022?2?22222分

2. 解：（1）fX(x)?????x???03xdy,0?x?1 …………2f(x,y)dy???,其它?0分

?3x2,0?x?1?? ………4?0,其它分

fY(y)??分

????13xdx,0?y?1?3(1?y2),0?y?1????2 ………8f(x,y)dx???y??,其它,其它?0?0（2）因为f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立 . ..............10分

（3）E(XY)?分

????xyf(x,y)dx??3xdx?ydy ..............12

0012x?3 ..............1410分

五、计算下列各题（每小题6分，共12分） 1．解：因为X?15~N(0,1)，即2(X?15)~N(0,1).........2分

2/16P{14?X?16}?P{?2?2(X?15)?2}??(2)??(?2).........4分

?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544 ........6分

2.解：对于给定样本值x1,x2,?,xn，当0?xi?1时，似然函数为 L(? )=

?(i?1n?xi??1)??(x1x2?xn)n2??1 ..............2分

nn lnL(?)?ln??(??1)?(lnxi)

2i?1ndlnL(?)n1?1???2?(lnxi)＝0 ........4分

d?2?2i?1??得极大似然估计值为?n2(?lnxi)2i?1n ，

??极大似然估计量为?n2(?lnXi)2i?1n ………6分

六．证明：E(X)?2dx?? .......2分 ???0?232E(X1)?E(X2)?E(X3)?E(X)?? ........3分

3??xf(x)dx??x?2x

12E(Y)??3????

231所以Y?(X1?X2?X3)是?的无偏估计量. ........6分

2

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