二次函数动点问题（含答案）

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，0)，B(?2，0)，E(0，8)． （1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形

MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位

的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点A(?40，)，点B(?20，)，点E(08，)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，

F(0，?8)．

设抛物线C2的解析式是

y?ax2?bx?c(a?0)，

?16a?4b?c?0，?则?4a?2b?c?0， ?c??8．?，?a??1?解得?b?6，

?c??8．?所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8． （2）由（1）可计算得点M(?3，?1)，N(31)，． 过点N作NH?AD，垂足为H．

2当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t．

根据中心对称的性质OA?OD，OM?ON，所以四边形MDNA是平行四边形． 所以S?2S△ADN．

所以，四边形MDNA的面积S?(8?2t)(1?2t)??4t2?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t?4．

所以，所求关系式是S??4t2?14t?8，t的取值范围是0≤t?4． （3）S??4?t?所以t???7?81（0≤t?4）． ??，

4?4781时，S有最大值． 44提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．

由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD?MN时四边形

MDNA是矩形．

所以OD?ON．所以OD2?ON2?OH2?NH2．

所以t2?4t2?2?0．解之得t1?6?2． ，t2??6?2（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

32x?bx?c与坐标轴交于A，B，C三点，43点A的横坐标为?1，过点C(0，点P是线段BC上3)的直线y??x?3与x轴交于点Q，

4t的一个动点，PH?OB于点H．若PB?5t，且0?t?1．

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y??（1）确定b，c的值：b?_____，c?_____；

（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：

B(___，___)，Q(___，___)，P(___，___)；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

[解] （1）b?y9 4C P A O Q HB x c?3

（2）B(4，0) Q(4t，0) P(4?4t，3t)

（3）存在t的值，有以下三种情况 ①当PQ?PB时

?PH?OB，则GH?HB ?4?4t?4t?4t ?t?1 3 ②当PB?QB时 得4?4t?5t ?t?4 9 ③当PQ?QB时，如图

解法一：过Q作QD?BP，又PQ?QB

BP5?t 则BD?22 又△BDQ∽△BOC

C P D

BDBQ? ? BOBC5t4?4t2 ? ?4532 ?t?

57解法二：作Rt△OBC斜边中线OE

BC5?， 则OE?BE，BE?22O Q

B

此时△OEB∽△PQB

C P BEOB? ? BQPBE 54 ?2?

4?4t5tO Q

B

?t?32 57P 解法三：在Rt△PHQ中有QH2?PH2?PQ2 C ?(8t?4)2?(3t)2?(4?4t)2 ?57t2?32t?0 ?t?O H32，t?0（舍去） 57 又?0?t?1

1432 ?当t?或或时，△PQB为等腰三角形．

3957Q B

解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有

时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析

Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直

接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的0?t?1矛盾，应舍去

11x与抛物线y??x2?6交于A，B两点． 24（1）求A，B两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，

yy请简要说明理由．

3.如图1，已知直线y??

P B B O A 图1

x O A x

图2

12?y??x?6??x1?6?x2??4?4[解] （1）解：依题意得?解之得? ??y1??3?y2?2?y??1x??2 ?A(6 ，?3，)B?(，4 2（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA?35 OB?25 y ?AB?55

?OM?15 AB?OB?22B C Ｅ O D 图1

过B作BE⊥x轴，E为垂足

M A x

OCOM5?，?OC?， 由△BEO∽△OCM，得：

OBOE455??5?? 同理：OD?，?C?，0?，D?0，??

22??4?? 设CD的解析式为y?kx?b(k?0)

第26题

5?0?k?b?k?2???4 ?? ??5

b????5?b??2??25． 2（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交

1点的直线y??x?m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．

2 ?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?1?y??x?m??2 ??

1?y??x2?6??4 ?121x?x?m?6?0 422 ?抛物线与直线只有一个交点，

1?1? ?????4?(m?6)?0，

4?2??m?25?23? ?P?1，? 4?4?

解：（1）令x?0，则y?4；

令y?0则x?3．∴A?3，0?．C?0，4? ∵二次函数的图象过点C?0，4?， ∴可设二次函数的关系式为

y?ax2?bx?4

又∵该函数图象过点A?3，0?．B??1，0?

∴??0?9a?3b?4，?0?a?b?4．

解之，得a??43，b?83． ∴所求二次函数的关系式为y??43x2?83x?4（2）∵y??43x2?83x?4 =?43?x?1?2?163

∴顶点M的坐标为??1，16???3? 过点M作MF?x轴于F

∴S四边形AOCM?S△AFM?S梯形FOCM

=1161?16?2??3?1??3?2???4?3???1?10 ∴四边形AOCM的面积为10

yMCEBAOFDx （3）①不存在DE∥OC

AC?5．∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1?t?2，在Rt△AOC中，

设点E的坐标为?x1，y1?∴∴

x13?12t?124t?4，∴x1? ∵DE∥OC，

55812t?123?t ∴t?

3528∵t?>2，不满足1?t?2．

3∴不存在DE∥OC．

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

3?4?524（秒） ?311?42现分情况讨论如下： ⅰ）当0?t≤1时，S?13?t?4t?3t2； 22ⅱ）当1?t≤2时，设点E的坐标为?x2，y2?

∴

y24?36?16t5??4t?4?，∴y2?

551336?16t1227?t???t2?t 225552436?16tⅲ）当2

yM3t?3y42∴， ?456t?12∴y4?

5∴S?S△AOE?S△AOD

BCEDAOx136?16t16t?12?3???3? 25253372t?=? 55243③S0?

80?

22 7.关于x的二次函数y??x?(k?4)x?2k?2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴

上方．

（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作

x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

?b4ac?b2?参考资料：抛物线y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标是??，?，对称轴是直线

4a??2a2x??b． 2a解：（1）据题意得：k2?4?0，

?k??2．

当k?2时，2k?2?2?0． 当k??2时，2k?2??6?0．

又抛物线与y轴的交点在x轴上方，?k?2．

?抛物线的解析式为：y??x2?2．

函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）

2（2）解：令?x?2?0，得x??2．

不0?x?2时，A1D1?2x，A1B1??x2?2，

?l?2(A1B1?A1D1)??2x2?4x?4．

y 当x?2时，A2D2?2x，

224 3 A2B2??(?x?2)?x?2． ?l?2(A2D2?A2B2)?2x?4x?4． ?l关于x的函数关系是：

当0?x?当x?2D1 C2 C1 ?4 ?3 ?2 ?1 2 1 A1 B2 B1 2时，l??2x2?4x?4；

1 2 3 4 ?1 x

?2 2时，l?2x2?4x?4．

2时，令A1B1?A1D1，

D2 ?3 ?4 （3）解法一：当0?x?A2 ?5 ?6 ?7 （第26题）

得x2?2x?2?0．

解得x??1?3（舍），或x??1?3． 将x??1?3代入l??2x2?4x?4， 得l?83?8． 当x?2时，令A2B2?A2D2，得x2?2x?2?0．

解得x?1?3（舍），或x?1?3．

2将x?1?3代入l?2x?4x?4，得l?83?8．

综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x?3?1时正方形的周长为83?8；当x?3?1时，正方形的周长为83?8． 解法二：当0?x?2时，同“解法一”可得x??1?3．

?正方形的周长l?4A1D1?8x?83?8．

当x?2时，同“解法一”可得x?1?3．

?正方形的周长l?4A2D2?8x?83?8．

综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x?3?1时正方形的周长为83?8；当x?3?1时，正方形的周长为83?8．

解法三：?点A在y轴右侧的抛物线上，

?x?0，且点A的坐标为(x，?x2?2)．

2令AB?AD，则?x?2?2x．

??x2?2?2x，??①或?x2?2??2x??②

由①解得x??1?3（舍），或x??1?3； 由②解得x?1?3（舍），或x?1?3． 又l?8x，

?当x??1?3时l?83?8；

当x?1?3时l?83?8．

综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x?3?1时正方形的周长为83?8；当x?3?1时，正方形的周长为83?8．

8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB

（1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

第26题图

解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

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