高三数学总复习第13讲

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高三数学第13讲(151016)

抽象函数的性质

一、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法解决)

例1.设函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

例2、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),且当x?1时f(x)?0,f(2)?1,

(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式f(2x2?1)?2

例3、定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1.

(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.

二、奇偶性问题

例4:已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足?1?f(x?y)?求证:f(x)是奇函数。

f(x)f(y)?1,(2)存在正常数a,使f(a)=1.

f(y)?f(x)

例5:设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(??,0)上是增函数,又f(2a2?a?1)?f(3a2?2a?1)。求实数a的取值范围

例6.(1)若f(x)是奇函数,判断:(A)f(x-a)= - f(-x-a), (B) f(x-a)= - f(a-x)的真假,其中a?0; (2)若f(x)是偶函数,判断:(A)f(x-a)= f(-x-a), (B) f(x-a)= f(a-x)的真假,其中a?0; (3)若f(x+a)是奇函数,判断:(A)f(x+a)= - f(-x-a), (B) f(x+a)= - f(-x+a)的真假,其中a?0; (4)若f(x+a)是偶函数,判断:(A)f(x+a)= f(-x-a), (B) f(x+a)= f(-x+a)的真假,其中a?0;

三、周期性与对称性问题(由恒等式简单判断:同号看周期,异号看对称) ...编号 周 期 性 对 称 性 1 f?x?a??f?x?a?→T=2a f?x?a??f??x?a?→对称轴x?a?y?f?x?a?是偶函数; f?x?a???f??x?a?→对称中心(a,0)?y?f?x?a?是奇函数 f?a?x??f?b?x?→对称轴x?a?b; 22 f?a?x??f?b?x?→T=b?a f?a?x???f?b?x?→对称中心(3 a?b,0); 2f(x)= -f(x+a)→T=2a f(x)= -f(-x+a)→对称中心??a?,0? ?2?4 f?a?x???f?b?x?→T=2b?a f(x)=±f?a?x???f?b?x?→对称中心??a?b?,0? 2??5 f(x)=1-6 1→T=2a ??fxf(x)= b-f(-x+a)→对称中心??ab?,? ?22?1?f(x)?0?→T=3a f?x?a? 结论:(1) 函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x?b?ab?a,0)对称 对称;y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(22 (可以简单的认为:一个函数的恒等式,对应法则下的两式相加和的一半为对称轴:两个同法则不同表达式的函数,对应法则下的两式相减等于0,解得的x为对称轴)

总规律:定义在R上的函数y?f?x?,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。

例7:①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x),则f (6)的值为( )

A. –1 B. 0 C. 1 D. 2

②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x),则f(2x)的图像关于 对称。

例8. 已知函数y=f(x)满足f(x)?f(?x)?2002,求f?1?x??f?1?2002?x?的值。

例9. 奇函数f (x)定义在R上,且对常数T > 0,恒有f (x + T ) = f (x),则在区间[0,2T]上,方程f (x) = 0根的个数最小值为( )

A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个

例10.① f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调。

求a的值。

②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,

且当x [2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)(a为常数且a R) (1)求f(x);

(2)是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上? 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

3

四、综合问题

例11. 定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总0

例12.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

有,且当x>0时,

,若 A?B??,

1(1)解不等式f(3x?x2)?4,;(2)解方程[f(x)]2?f(x?3)?f(2)?1.

2

抽象函数练习题(2151016)

姓名:

一.填空选择题(每题6分)

1、函数y?f(x?1)是偶函数,则y?f(x)的图象关于 对称。 2、函数y?f(x)满足f(x?3)??1)? 。 ,且f(3)?1,则f(2010f(x)12123、函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(?x)?f(?x),则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)? 4、已知函数y?f(2x?1)是定义在R上的奇函数,函数y?g(x)是y?f(x)的反函数,若x1?x2?0则

g(x1)?g(x2)?( )

A)2 B)0 C)1 D)-2

5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= 6.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)= . 7、 f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.4 B.5 C.6 D.7

8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式为 .

9、(09山东)已知定义在R上的奇函数

f(x),满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程

f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________.

10.已知函数f(x)是定义在(-∞,3]上的减函数,已知f(a?sinx)?f(a?1?cosx)对x?R恒成立,那么实数a的取值范围为 。

二、简答题(每题10分)

1.已知函数f(x),当x,y?R时,恒有f(x?y)?f(x)?f(y). (1)求证: f(x)是奇函数;

(2)若f(?3)?a,试用a表示f(24).

2. 已知函数f(x)对任意

,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f22(3)=5,求不等式的解。

3. 设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。

4.设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x),且在闭区间[0,7]上,只有

f(1)?f(3)?0.

(1)试判断函数y?f(x)的奇偶性;

(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.

(3)=5,求不等式的解。

3. 设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。

4.设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x),且在闭区间[0,7]上,只有

f(1)?f(3)?0.

(1)试判断函数y?f(x)的奇偶性;

(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/cbh5.html

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