辽宁省鞍山市2022届新高考第一次大联考数学试卷含解析

辽宁省鞍山市2021届新高考第一次大联考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若1tan 2α=

，则cos2=α( ) A ．45- B ．35 C ．45 D ．35

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．

【详解】

∵1tan 2

α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 5

14ααααααα-

--====+++， 故选D

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

2．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）

A ．2y x =+

B ．y sinx =

C ．3y x x =-

D ．2x y = 【答案】C

【解析】

【分析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；

B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；

C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；

D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；

故选：C .

【点睛】

本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）

A ．m n =

B ．2m n =+

C ．m n <

D ．8m n +<

【答案】A

【解析】

【分析】 根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项.

【详解】

如下图所示，CE ?平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，

易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，

∴4m =，

∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，

∴结合四个选项可知，只有m n =正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 4．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=

对称，为了得到函数2()3g x m x

=+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ）

A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变

B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变

C ．先向右平移3

π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移

3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12

，纵坐标保持不变 【答案】D

【解析】

【分析】 由函数()f x 的图象关于直线3x π

=对称，得1m =，进而得

()

cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ????=+=+=- ? ????

?，再利用图像变换求解即可 【详解】

由函数()f x 的图象关于直线3x π

=对称，得3f π??= ???322m +=1m =，

所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ????=+=+=- ? ????

?，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移

3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可.

故选：D

【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题 5．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）

①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2

π；

②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是?；

③若DP =

，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 【答案】C

【解析】

【分析】

①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②

当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为63最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，可得正切值取值范围是6[

,2]；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．

【详解】

如图：

①错误， 因为()222211312D P DP DD =

-=-= ，与点D 距离为3的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242

?π?=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63

最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2?????；

③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即22

2x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之

()

2222112112222622y x y x ??+++++++≤+= ? ???，当且仅当P 在1O 时取等号. 故选：C .

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．

6．设椭圆E ：()222210x y a b a b

+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ）

A ．23

B ．12

C ．13

D ．14

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OM ，OM 为ABC ?的中位线，从而OFM

AFB ??，且12OF FA =，进而12

c a c =-，由此能求出椭圆的离心率.

【详解】

如图，连接OM ， 椭圆E ：()22

2210x y a b a b

+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限，

直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点

∴OM 为ABC ?的中位线，

∴OFM AFB ??，且12

OF

FA =， 12

c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13

c e a =

=. 故选：C

【点睛】 本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其

主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）

A ．2550100,,777

B ．252550,,1477

C ．100200400,,777

D ．50100200,,777

【答案】D

【解析】

【分析】

设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.

【详解】

设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a =

=++,2110027

a a ==,23120027a a ==. 故选:D.

【点睛】 本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

8．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ?的取值范围是（ ）

A ．11[,]216-

B ．1(,]16-∞

C ．1

[,0]2- D ．(,0]-∞

【答案】A

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-

设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =，找出m 与n 的关系．

通过数量积的坐标表示，将DE DF ?表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ?的取值范围．

【详解】

以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，

设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-

设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤

所以(,3),(1,1))AE m m CF n n ==--

由||2||AE CF =得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ，

所以2271

3(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ?=-+-=-+-=--+，

由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得1

12n ≤<，由二次函数271

4()816y n =--+的图像知，

1

1

[,]216y ∈-，所以DE DF ?的取值范围是1

1

[

,]216-．故选A ．

【点睛】

本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．

9．己知a =544log 21b =， 2.9

13c ??

= ???，则（ ）

A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．b c a >>

D ．c a b >>

【答案】B

【解析】

【分析】 先将三个数通过指数，对数运算变形1

04661a ==>=，

2.9

5544411log log 10,012133b c ??

??

=<=<=<

= ? ?????再判断.

【详解】 因为104661a ==>=， 2.90

5544411log log 10,012133b c ??

??

=<=<=<= ? ???

??，

所以a c b >>，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 10．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *

()n N ∈中最小的是（

） A ．7S 或8S B ．12S C ．13S D ．14S

【答案】C

【解析】

【分析】

设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a

d =-，可得1

(554)51n n a

a -=.

令 554051

n -<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的.

【详解】

解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ，

则()()113479a d a d +=+，解得 1451

a d =-， 11(554)(1)51

n n a a a n d -∴=+-=. 令 554051n -<，可得54

5n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和()*n S n N

∈中最小的是13S .

故选：C.

【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 11．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 【答案】C

【解析】

【分析】

画出函数sin y x =π和12(1)y x =-

-的图像，sin y x =π和12(1)

y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案.

【详解】 2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)

x x π=--， 画出函数sin y x =π和12(1)

y x =--的图像， 易知：sin y x =π和12(1)

y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点， 故所有解之和等于428?=.

故选：C .

【点睛】

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()

1,0中心对称是解题的关键.

12．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.

【详解】

“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，

利用列举法，可得下表，

原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”

∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨

可知需要的次数为4次.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数x，y满足约束条件

320

20

440

x y

x y

x y

--≥

?

?

+-≤

?

?++≥

?

，则2

z x y

=+的最大值为________.

【答案】3 【解析】

【分析】

作出可行域,可得当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,z 取得最大值,求解即可.

【详解】

作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020

x y x y --=??+-=?,可求得点()1,1A , 当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,max 1213z =+?=.

故答案为

:3.

【点睛】

本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.

14．已知函数2()log f x x =，在区间1,22

??????上随机取一个数0x ，则使得0()f x ≥0的概率为 ． 【答案】

23 【解析】

试题分析：2()log 0f x x =≥可以得出1x ≥，所以在区间1

[,2]2

上使()0f x ≥的范围为[1,2]，所以使得0()f x ≥0的概率为212.1322

P -==- 考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.

点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.

15．若向量()

()221a x b x ==，，，满足3a b ?<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1-

【解析】

【分析】

根据题意计算223a b x x ?=+<，解得答案.

【详解】

()

()221a x b x ==，，，，故223a b x x ?=+<，解得31x -<<.

故答案为：()3,1-.

【点睛】

本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.

16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与C 的交点为,A B ，若||||5AF BF +=，则直线l 的方程为___________．

【答案】220x y --=

【解析】

【分析】

设直线l 的方程为2y x t =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线C 的方程，得到A ，B 点横坐标的关系式，代入到4AF BF +=中，解出t 的值，即可求得直线l 的方程.

【详解】

设直线()()1122:2,,,,l y x t A x y B x y =+．

由题设得()1,0F ，故122AF BF x x +=++， 由题设可得123x x +=．

由22,4y x t y x

=+??=?可得()224410x t x t +-+=， 则121x x t +=-，

从而13t -=，得2t =-，

所以l 的方程为22y x =-,

故答案为：220x y --=

【点睛】

本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()x f x ae x =-.

（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围.

（2）当1a ≥时，证明：23()12f x x x +-

. 【答案】（1）2a

e （2）证明见解析 【解析】

【分析】

（1）()20x f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，2x x a e =，设2()x x g x e =，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.

（2）证明23()12f x x x +-，只需证22312x e x x x -+-，记21()12x h x e x x =+--，求导得到函数的单调性，得到函数的最小值，得到证明.

【详解】

（1）由题可得，()20x f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，

则2x x a e =，令2()x x g x e =，22()x x g x e

-'=， 当1x <时，()0,()'>g x g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.

所以1x =是()g x 的最大值点，所以2a

e . （2）由1,x x a ae e ∴，所以2()x

f x e x -，

要证明23()12f x x x +-

，只需证22312x e x x x -+-，即证21102x e x x +--. 记21()1,()1,()2

x x h x e x x h x e x h x ''=+--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '>单调递增.

所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =，则21102x e x x +--， 故23()12

f x x x +-. 【点睛】 本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.

18．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππω?ω??

?

=+>>-<< ???的最小正周期是π，且当6x π

=时，

()f x 取得最大值2．

（1）求()f x 的解析式；

（2）作出()f x 在[]0,π上的图象（要列表）．

【答案】（1）()2sin 26f x x π??=+

???；（2）见解析. 【解析】

【分析】

（1）根据函数()y f x =的最小正周期可求出ω的值，由该函数的最大值可得出A 的值，再由26f π??= ???，结合?的取值范围可求得?的值，由此可得出函数()y f x =的解析式；

（2）由[]0,x π∈计算出26x π+

的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象.

【详解】

（1）因为函数()y f x =的最小正周期是π，所以22πωπ=

=． 又因为当6x π=

时，函数()y f x =取得最大值2，所以2A =， 同时()2262k k ππ?π?

+=+∈Z ，得()26k k π?π=+∈Z ， 因为22π

π

?-<<，所以6π=?，所以()2sin 26f x x π??=+ ??

?； （2）因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ??+

∈????， 列表如下：

描点、连线得图象：

【点睛】

本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.

19．已知椭圆E ：22

221x y a b

+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点（异于A 、B 两点）

，当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1． （1）求椭圆的方程；

（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）22

143

x y += （2）是为定值，Q 的横坐标为定值4-

【解析】

【分析】

（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.

（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-.

【详解】

（1）依题意可知2

12262b a a

??=，解得23b =，即3b =12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22

143

x y += （2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．

由221,3412,

x my x y =-??+=?消去x 并整理得()2234690m y my +--=，∴122634m y

y m +=+，122934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122y y x x =

++，直线BD 的方程为：()2222y y x x =--． 联系方程，解得122112

4263my y y y x y y +-=+，又因为()121223my y y y -=+． 所以()1221121212

626124433y y y y y y x y y y y -++---===-++．所以Q 的横坐标为定值4-． 【点睛】

本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .

（1）求线段AG 的长；

（2）求二面角B MG N --的余弦值.

【答案】（1）1AG =（25 【解析】

【分析】

（1）先证得1AB GN ⊥，设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ?中解直角三角形求得1,BE A E ，由此求得AG 的值.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面BMG 和平面NMG 的法向量，计算出二面角B MG N --的余弦值.

【详解】 （1）由题意，11 A B MNG A B GN GN MNG ⊥??⊥???

平面平面， 设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ?中，可求得55BE =，则1655A E =，

可求得13A G =，则1AG =

（2）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴，

建立空间直角坐标系.

(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N

(2,2,0)BM =-，(1,0,2)BG =-，易得平面BMG 的法向量为1(2,2,1)n =.

(0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =，易得平面NMG 的法向量为2(2,0,1)n =-.

设二面角B MG N --为θ，由图可知θ为锐角，所以 121

2||5cos ||||35n n n n θ?===??. 即二面角B MG N --的余弦值为

5.

【点睛】

本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21．曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ???=????=+??

（?为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.

(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；

(2)若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率3[3]3

k ∈时，求1OA OB +的最小值.

【答案】（1）1C 的极坐标方程为sin ρθ=；曲线2C 的直角坐标方程23x y =.（2

）3

【解析】

【分析】

(1)消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程220x y y +-=，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.

(2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程，求得2OA t =，

再把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程，得2OB t =，得出21cos sin 3sin OA OB ααα

+=+，利用基本不等式，即可求解；

解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=，分别代入曲线1C ，2C 的极坐标方程，得sin OA α=，

23sin cos OB αα

=，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，即可基本不等式，即可求解. 【详解】

(1) 由题曲线的参数方程为1cos 21122x y sin ???=????=+??

（?为参数），消去参数， 可得曲线1C 的直角坐标方程为221

1()24

x y +-=，即220x y y +-=， 则曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=，

又因为曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，

根据cos sin x y ρθρθ

=??=?，代入即可求解曲线2C 的直角坐标方程23x y =. (2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，

则直线l 的参数方程为cos x t y tsin αα=??=?

（α为参数，63ππα≤≤）， 把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程得：2sin 0t t α-=， 解得10t =，2sin t α=，2sin OA t α∴==，

把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程得：22cos 3sin t t αα=， 解得10t =，223sin cos t αα=，223sin cos OB t αα

∴==， 21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，

3

[,3k ∈，即tan 3α∈，63ππα≤≤，1sin 22

α∴≤≤，

1

2sin sin αα∴+≥=

当且仅当

12sin sin αα=，即sin 2α=时取等号，

故1OA OB +. 解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=(63π

π

α≤≤），

代入曲线1C 的极坐标方程，得sin ρα=，sin OA ρα∴==，

把直线l 的参数方程代入曲线2C 的极坐标方程得：2cos 3sin ρθα=， 23sin cos αρα∴=，即23sin cos OB αρα==，21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，

曲线1C 的参3[,k ∈，即tan α∈，

63π

π

α≤≤，1sin 2α∴≤≤12sin sin αα∴+≥=

当且仅当12sin sin αα=，即sin 2

α=时取等号，

故1OA OB +的最小值为3

. 【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

22．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=1．

（I ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n }满足：12222b b ++…1()2

n n n b a n N *+=+∈，求{b n }的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +-

【解析】

【分析】

【详解】

（Ⅰ）设等差数列

的公差为4，则依题设2d =． 由

,可得2n c =． 由，得，可得． 所以

． 可得

． （Ⅱ）设，则. 即

， 可得2n c =，且

． 所以，可知． 所以

， 所以数列

是首项为4，公比为2的等比数列． 所以前n 项和．

考点：等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．

23．如图所示，在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，2CBA CBD π∠=∠=，点E

为AD 中点．

（1）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；

（2）若点F 为BD 中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）答案见解析．（2531 【解析】

【分析】

（1）通过证明BC ⊥平面ABD ，证得BC AD ⊥，证得BE AD ⊥，由此证得AD ⊥平面BCE ，进而证得平面ACD ⊥平面BCE .

（2）建立空间直角坐标系，利用平面BCE 和平面ACF 的法向量，计算出平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值.

【详解】

（1）因为2CBA CBD π

∠=∠=，所以BC ⊥平面ABD ，

因为AD ?平面ABD ，所以BC AD ⊥．

因为AB BD =，点E 为AD 中点，所以BE AD ⊥．

因为BC BE B =，所以AD ⊥平面BCE ．

因为AD ?平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCE ．

（2）以点B 为坐标原点，直线,BC BD 分别为x 轴，y 轴，过点B 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立

空间直角坐标系，则()0,0,0B

，(0,A -，()2,0,0C ，()0,2,0D

，10,22E ?? ? ???，()0,1,0F ，

()2,0,0BC =

，10,22BE ??= ? ???，()2,1,0CF =-

，(AF =，

设平面BCE 的一个法向量()111,,n x y z =，则0,0,n BC n BE ??=??=?

即1

1120,10,2

2x y z =???+=?? 取11z =，则10x =

，1y =()

0,3,1n =-， 设平面ACF 的一个法向量()222,,m x y z =，则0,0,m AF m CF ??=??=?

即222220,20,y x y ?=??-+=??

取22z =

，则22x =-

，2y =3,3,22m ??=-- ? ???

， 设平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角为θ，

则

cos cos 31n m θ

=?==． 所以平面BCE 与平面ACF ．

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cbfl.html