2020-2021学年北京市通州区高一上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年北京市通州区高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝（）

A．?B．R C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x≤2} 2．下列各角中与60°终边相同的角是（）

A．﹣300°B．﹣240°C．120°D．390°

3．已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是（）

A．sinθ＞0B．cosθ＞0

C．sinθ?tanθ＞0D．sin2θ?tanθ＞0

4．已知函数：①y＝tan x，②y＝sin|x|，③y＝|sin x|，则其中最小正周期为π的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③

5．已知函数，在下列区间中包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．已知函数f（x）＝ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）（）

A．是奇函数，且在（0，1）上单调递增

B．是奇函数，且在（0，1）上单调递减

C．是偶函数，且在（0，1）上单调递增

D．是偶函数，且在（0，1）上单调递减

8．为了得到函数y＝cos2x的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（）

A ．向右平移个单位长度

B ．向左平移个单位长度

C ．向右平移个单位长度

D ．向左平移个单位长度

9．函数f（x ）＝（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）

1

A．（1，+∞）B．（0，1）C ．D ．

10．如果f（x）是定义在R上的函数，使得对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数y＝f（x）是“X﹣函数”．若函数y＝sin x+cos x+a是“X﹣函数”，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]

二、填空题（共6小题）.

11．sin ＝．

12．已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为；面积为．

13．若sinα＝，α是第二象限的角，则tan2α＝．

14．果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为；x的取值范围是．15．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的实数x恒成立，且当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x．

则①当1≤x≤3时，f（x）＝；

②f（2021）＝．

16．已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r．给出下列四个结论：

①；②；③；④．

其中正确结论的序号是．

三、解答题（共6小题）.

17．已知函数．

（Ⅰ）写出函数f（x）的振幅、周期、初相；

（Ⅱ）用“五点法”作出f（x）在一个周期内的图象（先列表，再画图）．

2

18．已知锐角α、β的终边与单位圆的交点分别为，．（Ⅰ）求tanβ及cos（π+α）的值；

（Ⅱ）求sin（α﹣β）．

19．（1）若，求的值；

（2）已知锐角α，β满足，若，求cosβ的值．20．已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）在[0，m]上单调递增，求实数m的取值范围．

21．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．

（Ⅰ）求f（0）；

（Ⅱ）写出f（x）的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；

（Ⅲ）求函数f（x）在[0，上的最大值和最小值．

22．已知函数．

（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；

（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（﹣1，0）上的增函数；

（Ⅲ）求满足不等式f（cos x）＞f（sin x）的x的范围．

3

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝（）

A．?B．R C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x≤2}解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，

∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．

故选：C．

2．下列各角中与60°终边相同的角是（）

A．﹣300°B．﹣240°C．120°D．390°

解：对于A，﹣300°＝﹣1×360°+60°，与60°是终边相同的角；

对于B，﹣240°＝﹣1×360°+120°，与60°不是终边相同的角；

对于C，120°，与60°不是终边相同的角；

对于D，390°＝1×360°+30°，与60°不是终边相同的角．

故选：A．

3．已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是（）

A．sinθ＞0B．cosθ＞0

C．sinθ?tanθ＞0D．sin2θ?tanθ＞0

解：∵θ为第三象限角，

∴tanθ＞0，sinθ＜0，cosθ＜0，故A，B错误；

sinθ?tanθ＜0，故C错误；

sin2θ?tanθ＝2sinθcosθtanθ＞0，故D正确．

故选：D．

4．已知函数：①y＝tan x，②y＝sin|x|，③y＝|sin x|，则其中最小正周期为π的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③

解：①y＝tan x的周期T＝π，满足条件．

②y＝sin|x|是偶函数，图象不具备周期性，不满足条件．

③y＝sin x的周期T＝2π，则y＝|sin x|的周期T＝π，满足条件，

故选：B．

4

5．已知函数，在下列区间中包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

解：函数是连续增函数，又f（2）＝ln2﹣＜0，

f（3）＝ln3﹣1＞0，

可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数的零点在（2，3）内．故选：C．

6．“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解：sinα＝等价于或，

所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．

故选：A．

7．已知函数f（x）＝ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）（）

A．是奇函数，且在（0，1）上单调递增

B．是奇函数，且在（0，1）上单调递减

C．是偶函数，且在（0，1）上单调递增

D．是偶函数，且在（0，1）上单调递减

解：f（x）＝ln（1+x）+ln（1﹣x）＝ln（1﹣x2），

则f（﹣x）＝f（x），

故f（x）为偶函数，

当0＜x＜1时，f（x）＝ln（1﹣x2）单调递减，

故选：D．

8．为了得到函数y＝cos2x的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（）

A ．向右平移个单位长度

B ．向左平移个单位长度

C ．向右平移个单位长度

D ．向左平移个单位长度

解：因为函数y＝cos2x＝sin（2x +），所以可由y＝sin2x 的图象，向左平移个单位

5

长度，得到函数y＝sin[2（x +）]＝sin（2x +）＝cos2x的图象．

故选：B．

9．函数f（x ）＝（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A．（1，+∞）B．（0，1）C ．D ．

解：若函数在R上为减函数，

则满足，即，

得0＜a ≤，

故选：D．

10．如果f（x）是定义在R上的函数，使得对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数y＝f（x）是“X﹣函数”．若函数y＝sin x+cos x+a是“X﹣函数”，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]

解：根据题意，设f（x）＝sin x+cos x+a，则f（﹣x）＝sin（﹣x）+cos（﹣x）+a＝﹣sin x+cos x+a，则f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2a，

若函数y＝f（x）是“X﹣函数”，即f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2a＝0无解，

又由cos x∈[﹣1，1]，必有a＜﹣1或a＞1，

即a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

故选：A．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11．sin ＝．

解：sin＝sin（π﹣）＝sin＝．

故答案为：．

12．已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为1；面积为1．

6

解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，

所以该扇形的半径为r ＝＝＝1；

面积为S扇形＝|α|?r2＝×2×12＝1．

故答案为：1，1．

13．若sinα＝，α是第二象限的角，则tan2α＝．

解：因为α为第二象限的角，又sinα＝，所以cosα＝﹣，

∴tan＝，

tan2α＝＝，

故答案为：．

14．果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为y＝3000﹣2.5x；x的取值范围是[100，1200]．

解：由题意可得x与y之间的函数关系为y＝3000﹣2.5x，

由题意可知，最少买100千克，最多买千克，

所以x的取值范围为[100，1200]．

故答案为：y＝3000﹣2.5x；[100，1200]．

15．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的实数x恒成立，且当﹣1≤x≤1时，f（x）＝x．

则①当1≤x≤3时，f（x）＝2﹣x；

②f（2021）＝1．

解：①，根据题意，f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（x）＝f（2﹣x），

当1≤x≤3时，﹣1≤2﹣x≤1，则有f（2﹣x）＝2﹣x，

则f（x）＝2﹣x，

②根据题意，f（x）＝f（2﹣x），

又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），则有f（x+2）＝﹣f（x），

故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，

7

则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝1，

故f（2021）＝1，

故答案为为：①2﹣x，②1．

16．已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r．给出下列四个结论：

①；②；③；④．

其中正确结论的序号是①③．

解：如图，AB 为正n边形的边长为，O为正n边形的中心，其外接圆的半径为OB＝R，内切圆的半径为OP＝r，AB＝a；

θ＝∠POB＝∠AOB＝?＝；

对于①，＝，所以①对；

对于②，由①知，②错；

对于③，

r＝R cosθ?R+r＝R（1+cosθ）＝＝，

所以③对；

对于④，由①知，④错．

故答案为：①③．

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．已知函数．

（Ⅰ）写出函数f（x）的振幅、周期、初相；

（Ⅱ）用“五点法”作出f（x）在一个周期内的图象（先列表，再画图）．

8

解：（Ⅰ）由于，

可得函数f（x）的振幅为2、周期为π、初相为．

（Ⅱ）列表如下：

0π2πx

f（x）020﹣20 f（x）在一个周期内的图象如图所示：

18．已知锐角α、β的终边与单位圆的交点分别为，．（Ⅰ）求tanβ及cos（π+α）的值；

（Ⅱ）求sin（α﹣β）．

9

解：由已知可得：，

（Ⅰ）tan，cos（π+α）＝cos （）＝﹣cos，

故tanβ＝1，cos（π+α）＝﹣；

（Ⅱ）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin

＝，

故sin（α﹣β）＝．

19．（1）若，求的值；

（2）已知锐角α，β满足，若，求cosβ的值．解：（1）因为tan，

则＝；

（2）因为锐角α，β满足，，

则，，

则sin（α+β）＝，cos（α﹣β）＝，

所以cos2β＝cos[（α+β）﹣（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）＝﹣＝，

所以cosβ＝．

20．已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）在[0，m]上单调递增，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）f（x）＝2（cos x +sin x）sin x＝sin x cos x +sin2x

＝sin2x +×＝sin2x ﹣cos2x +＝sin（2x ﹣）+，

10

即函数的周期T ＝．

（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，由2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，

即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）当k＝0时，函数的递增区间为[﹣，]，

若函数f（x）在[0，m]上单调递增，

则0＜m ≤，即实数m的取值范围是0＜m ≤．

21．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．

（Ⅰ）求f（0）；

（Ⅱ）写出f（x）的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；

（Ⅲ）求函数f（x）在[0，上的最大值和最小值．

解：若取①ω1＝1，ω2＝2：

（Ⅰ）f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝sin（2x +）+1，

∴f（0）＝+1＝+1＝2；

（Ⅱ）∵f（x ）＝sin（2x +）+1，

∴f（x）的最小正周期T ＝＝π，

一条对称轴方程为x ＝．

（Ⅲ）∵0≤x ≤，∴≤2x +≤，

∴函数f（x）在[0，上的最大值为：+1＝+1，

函数f（x）在[0，上的最小值为：+1＝0．

若取②ω1＝1，ω2＝1：

（Ⅰ）f（x）＝2cos2x+sin x＝2﹣2sin2x+sin x ＝﹣2（sin x ﹣）2，

11

∴f（0）＝﹣2×（0﹣）2＝2；

（Ⅱ）∵f（x ）＝﹣2（sin x ﹣）2，

∴f（x）的最小正周期T＝2π，一条对称轴方程为x ＝．

（Ⅲ）∵0≤x ≤，∴0≤sin x≤1，

∴函数f（x）在[0，上的最大值为：，

函数f（x）在[0，上的最小值为：﹣2×（1﹣）2＝1．

22．已知函数．

（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；

（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（﹣1，0）上的增函数；

（Ⅲ）求满足不等式f（cos x）＞f（sin x）的x的范围．

【解答】证：（I）f（﹣x ）＝＝＝f（x），

故f（x）为偶函数，

（II）﹣1＜x＜0时，＝＝﹣，

设﹣1＜x1＜x2＜0，

则f（x1）﹣f（x2）＝＝＜0，

所以f（x1）＜f（x2），

所以f（x）是（﹣1，0）上的增函数，

（III）由（II）及偶函数的对称性可知，f（x）在（0，1）上单调递减，

由f（cos x）＞f（sin x）得，|cos x|＜|sin x|，

平方得，cos2x﹣sin2x＝cos2x＜0，

解得，，

故，k∈Z，

故x的范围{x |，k∈Z}．

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