2018春中考数学《矩形、菱形、正方形》强化练习

第五单元 四边形

矩形、菱形、正方形

命题点1矩形性质的计算与证明 类型1矩形折叠的计算

1.如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm,把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O.若AO＝5 cm,则AB的长为（ ） A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm

第1题图 第2题图

2.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是( )

A. AB=CD B. ∠BAE=∠DCE C. EB=ED D. ∠ABE一定等于30°

3. 如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( )

A. 6 B. 12 C. 25 D. 45 第3题图 第4题图

1

4. 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ） A. 23 B. D. 6

5.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为. 第5题图 第6题图

33 C. 23

6. 将矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问∠AEF+∠BEG=__________.

7.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是__________.

2

第7题图 第8题图

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OC=3,OA=26,D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD,延长OG交AB于点E,连接DE，则点G的坐标为_________.

第9题图

9. 如图是长为40 cm,宽为16 cm的矩形纸片.M点为一边上的中点，沿过M点的直线翻折.若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上，那么M点在______(填“长”或“宽”)上；若M点所在边的一个顶点能落在对边上，那么折痕长度为________cm. 类型2矩形的证明与计算

10.如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝26，则MF的长是( ) A. 15 B. 1515 C. 1 D. 1015 3

第10题图 第11题图

11.如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6,BC=8,则四边形OECD的周长为__________. 12.如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点. (1)求证：CP＝AQ；

(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积.

第12题图

13. 如图，DB∥AC，且DB＝AC，点E是AC的中点， （1）求证：BC＝DE；

4

12（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？

第13题图

14. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M,交AD于点N. (1)求证：CM=CN;

(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,求

MN的值. DN第14题图

5

命题点2菱形的判定与性质计算 类型1菱形的性质计算

15. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于( )

A．10 B．7 C．6 D．5

第15题图 第16题图

16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2,∠ABC=60°，则BD的长为( )

A. 2 B. 3 C. 3 D. 23 17.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点H为AD

6

边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )

第17题图

A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14

18. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥AB于H，则DH=( )

A.

第18题图

2412 B. C. 12 D. 24 5519. 已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm,则这个菱形面积为___________cm2.

类型2菱形判定的证明与计算20.如图，在件，使

第20题图

ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条

ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )

A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠BAC=∠DAC

21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是边BC，AB的中

7

点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE.连接CE,AF. (1)证明：AF=CE;

(2)当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由.

第21题图

22. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，AB交AC于点F.

8

DE∥AC交AB于点E，DF∥(1)求证：AE=DF；

(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.

第22题图

23.如图，在

ABCD中，BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.

(1)求证：△ABE≌△CDF;

(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.

第23题图

9

24. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；

(2)若AB=2,∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.

第24题图

25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.

(1)证明：四边形ADCE是菱形;

(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高(计算结果保留根号).

第25题图

10

26. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F. (1)求证：△AEF≌△DEB; (2)证明四边形ADCF是菱形；

(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积.

第26题图

27. 如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP+DP

11

最短时，点P的坐标为__________.

第27题图

命题点3正方形的性质计算

28. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

第28题图 第29题图

29. 如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为（ ）

A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54° 30. 如图，在正方形ABCD中，AB=9,点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ） A. 310 B. 103 C. 9 D. 92 12

第30题图 第31题图

31. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD.以AB,BC,DC为边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3.若S1=3,S3=9,则S2的值为( )

A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 32. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6.其中正确结论的个数是( )

第32题图

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 33.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=_______度.

13

第33题图

34.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=__________.

第34题图

35.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. （1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.

14

第35题图

36. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为_______.

第36题图

37. (1)如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，AE⊥BF于点M,求证AE=BF;

(2)如图②，将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2,BC=3,AE⊥BF于点M,探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.

第37题图

15

答案

1. C【解析】由折叠性质得△AOD≌△COE，所以AO＝CO＝5 cm,在Rt△ADO中，由勾股定理得DO＝AO2?AD2＝3 cm,由四边形ABCD是矩形，因此AB＝CD＝CO+OD＝5+3＝8 cm.

2. D【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAE=∠DCE,AB=CD,故A、B

??AEB??CED?正确；在△AEB和△CED中，??BAE??DCE,∴△AEB≌△CED(AAS),

?AB?CD?∴EB=ED,故C正确；由已知条件无法得出∠ABE=∠EBD,∴∠ABE不一定等于30°，故D错误.

3. D【解析】设BE=x，则CE=BC-BE=16-x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16-x，第3题解图在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=(16-x)2，解得x=6，∴AE=16-6=10，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，如解图，过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF-AH=10-6=4，在Rt△EFH中，EF=

16

EH2?FH2=45. 4. A【解析】由折叠性质得OC=BC,∠EOC=90°，由矩形性质得AC=20＝2BC，∠B=90°，∴∠BAC=30°，∵∠EOC＝90°，AO=CO，∴EC=AE,∴∠ACE=∠CAE＝30°，∴∠CEB=60°，∴CE＝

BC3＝＝23.

sin?CEB325. 45°【解析】由折叠的性质可知∠EBA=∠EBD,∠FBC=∠FBD.∵∠

11EBF=∠EBD＋∠FBD,∴∠EBF= ∠ABC= ×90°=45°.

226. 90°【解析】由折叠的性质知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG，∴∠AEF+∠BEG= ∠AEB=90°.

12

第7题解图

7. 10-1【解析】连接CE，可得当点A′在CE上时，A′C的长最小.∵点E是AB中点，∴AE=BE=1，在Rt△CBE中，BE=1，BC=3，根据勾股定理可得CE=10，由折叠的性质可知AE=A′E=1，∴A′C的长的最小值为CE-A′E＝10-1. 8. (

366，)【解析】如解图，过点G作GF⊥x轴于点F，由折叠知，55OG=OC=3,CD=GD=BD＝6，∵∠B=∠DGE=90°，BD=GD，DE＝DE，∴△BDE≌△GDE(HL)，∴EB=EG，设EG=EB=x，则AE=3-x，OE=x+3，在Rt△OEA中由勾股定理得,OE2-AE2＝OA2，∴(3+x)2-(3-x)2=( 26)2,解得

17

x=2，∴AE=3-2=1，OE=3+2=5，易证

GFOGOF△OGF∽△OEA,∴,即GF=＝＝AEOEOAGF=,OF=35366,OF=，∴5566663，∴G(,).

555

第8题解图

9. 宽；105或85【解析】当M在宽上折叠时，不能达到要求，M在长边上，分两种情况考虑：(i)如解图①所示，过M作ME⊥AD于点E，点G在AB上，点B′落在AE上，可得四边形ABME为矩形，∴EM=AB=16 cm，AE=BM，又∵BC=40 cm，M为BC的中点，∴由折叠可得：B′M=BM=

1BC=20 cm，在Rt△EMB′中，根据勾股定理得B′E= 2B?M2?EM2=12 cm，∴AB′=AE-B′E=20-12=8 cm，设AG=x，则

有GB′=GB=(16-x) cm，在Rt△AGB′中，根据勾股定理得GB′

2

=AG2+AB′2，即(16-x)2=x2+82，解得x=6，∴GB=16-6=10 cm，在Rt

△GBM中，根据勾股定理得GM= GB2?BM2=105 cm；(ii)如解图②所示，过M作ME⊥AD于点E，G在AE上，点B′落在ED上，可得四边形ABME为矩形，∴EM=AB=16 cm，AE=BM，又∵BC=40 cm，M为BC的中点，∴由折叠可得：B′M=BM=BC=20 cm，在Rt△EMB′中，根据勾股定理得B′E=B?M2?EM2=12 cm，∵∠BMG=∠GMB′，又∵AD∥BC，∴∠BMG=∠MGB′，∴∠GMB′=∠MGB′，∴B′G= B′

18

12M=BM=20 cm，∴GE=GB′-EB′=20-12=8 cm，在Rt△GEM中，根据勾股定理得GM=GE2?BM2=85 cm，综上，折痕GM=105 cm或8

5cm．

第9题解图

10. D【解析】∵在矩形ABCD中,BE=3,AE=26,∴CD=AB=15.在△ABE

??B??AME?和△AME中,??BAE??MAE,

?AE?AE?∴△ABE≌△AME(AAS),∴AB=AM=15,∴AM=CD，∵∠ADM+∠EDC=90°,∠ADM+∠DAM=90°,∴∠DAM=∠EDC.在△ADM和△DEC

??DMA??C?中,?AM?CD,

??DAM??EDC?∴△MAD≌△CED(ASA),∴DM=CE.设DM=CE=x,

∴AD=BC=3+x,在Rt△ADM中，由勾股定理得AD2=AM2+DM2，即(3+x)2=(15)2+x2,解得x=1.易证△DMF∽△DCE,∴DMCD=MFEC,即

1MF15?,∴MF=. 1511511. 18【解析】∵OE⊥BC,AB⊥BC,O是AC的中点，∴OE=AB=×6

1212 19

＝3，CE=BC=×8=4,又∵AB=6,BC=8∴AC=10,∴DO=AC=×10=5,∴四边形OECD的周长为3+4+6+5＝18. 12. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FDQ=∠EBP=90°，AD=BC，AE∥CF，(1分) ∴∠E=∠F，(2分) 又BE=DF，

∴△FDQ≌△EBP(ASA)，(3分) ∴DQ=BP，(4分)

又∵AD=BC,∴AD-DQ=BC-BP, ∴CP＝AQ；(5分)

【一题多解】∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠A=∠C=90°,(1分) ∵BE=DF, ∴AE=CF,(2分) 又∵AD∥BC,

∴∠AQE=∠CPF，(3分)

12121212??AQE??CPF?在△AEQ和△CFP中,??A??C，

?AE?CF?∴△AEQ≌△CFP(AAS),(4分) ∴CP=AQ；(5分)

(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∠AEF=45°,

20

第29题解图

30. A【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=9，∵DE=2CE，∴CE=3.∵正方形ABCD关于AC对称，∴点B与点D关于AC对称.如解图，连接BE交AC于点P′，此时DP′+P′E=BP′+P′E=BE，即BE长为PE+PD的最小值，在Rt△BCE中，BC=9,CE=3，根据勾股定理得BE= BC2?CE2?92?32=310.

第30题解图

31. D【解析】过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则四边形AMND是矩形，∴AM=DN，AD=MN，∵BC=2AD，∴BM+CN=AD=MN，∵∠ABC+∠DCB=90°，∠ABC+∠BAM=90°，∴∠ABC=∠CDN，∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴△ABM∽△CDN，∴AB：CD=BM：DN=AM：CN，∵S1=AB2=3，S3=CD2=9,∴AB=3，CD=3，∴DN=3BM,CN=3AM,∵AM=DN，∴CN=3BM，在Rt△CDN中，DN2+CN2=9，∵DN=3BM，CN=3BM，∴（3BM）

2

+（3BM）2=9，∴BM=

333，∴CN=，BM+CN=AD=23，BC=43，∴22S2=（43）2=48.

第31题解图

31

32. D【解析】由折叠性质知：AD=AF=AB，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴∠AFG=∠B＝90°，∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴BG=FG,∴EG=DE+BG，故结论①、③正确；∵AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE，∴CE=4，EF=DE=2，设BG=x,则CG=6-x,EG=x+2,由勾股定理得：(x+2)2-(6-x)2=42，解得x=3，∴BG=GC=3，故结论②正确；由①、②可知，CG=GF=3，∴∠GCF=∠GFC=∠BGA=∠FGA=

180???CGF,由△ABG≌△AFG得

2180???CGF,∴∠FGA=∠GFC,∴AG∥CF,故结论④正

2331确；∵GF∶EF=3∶2,∴S△CGF=S△CGE=××3×4＝3.6，故结

552论⑤正确.

33. 75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE=DF.又∵BC=DC，∴CE=CF.又∵∠C=90°,∴∠CEF=45°，又∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-∠CEF-∠AEF=75°.

34. 12【解析】∵正方形EFGH的边长为2，∴S2=4.记每个小直角三

?4S?S3?S2角形的面积为S，则?，

?4S?S2?S1则S1+S2+S3=4S+S2+S2+S2-4S=3S2=12. 35. (1)证明：在△ABC中， ∵AB=AC，AD⊥BC,CE⊥AN， ∴∠BAD=∠DAC，∠ADC=∠AEC=90°. ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

32

∴∠MAE=∠CAE,

1∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°,

2∴四边形ADCE为矩形；(6分)

(2)解：当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形. 证明：∵∠BAC=90°时， AB=AC,AD⊥BC， ∴∠ACD=∠DAC=45°,

∴DC=AD.由(1)知四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形.(12分)

36. 【解析】设小正方形EFGH的边长为x,则其面积为x2,设DE=y,则AE=y-x.在Rt△AED中，有AD2=(y-x)2+y2=13x2,整理得(2x+y)(3x-y)=0，∵y>x>0,∴2x+y≠0,∴(3x-y)=0，解得y=3x, ∴tan∠ADE=

23AEy－x3x－x2?? =.

3DEy3x37. （1）证明：在正方形ABCD中， AB=BC，∠ABC=∠BCF=90° ∴∠BAE+∠AEB=90° ∵AE⊥BF，

∴∠FBC+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FBC， 在△ABE与△BCF中，

33

??ABC??BCF?90??∴△ABE≌△BCF（ASA） ?AB?BC??BAE??FBC,?∴AE=BF.

（2）解：在矩形ABCD中，

∠ABC=∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90° ∵AE⊥BF，∴∠FBC+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FBC， 在△ABE与△BCF中 ∠ABC=∠BCF=90° ∠BAE=∠FBC, ∴△ABE∽△BCF, ∴AE:BF=AB:BC=.

23 34

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