第2章一维随机变量及其分布

概率论

★第一节 随机变量

★第二节 离散型随机变量★第三节 连续型随机变量 ★第四节 随机变量函数的分布

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第二章 一维随机变量及其分布

基本要求1.掌握随机变量的概念,熟悉一维离散型和连续型随机变量; 2.会求简单的一维离散型随机变量的分布律; 3.熟记并能应用分布律和分布密度的性质; 4.深刻理解分布函数的定义和性质; 5.在已知分布律或分布密度的条件下,能熟练地求出分布函数和 有关的概率; 6.记住几个常用分布, 熟悉它们的特性.

重 难

点 点

分布律和分布密度. 分布函数的求法 8返回

学时数

第二章 一维随机变量及其分布

第一节 随机变量与分布函数一、一维随机变量的定义定义1 设 { }为随机试验E的样本空间, ( )(或X ( ))是 定义在 上的单值实函数, 如果对任意实数x,{ ( ) x}是 一随机事件, 则称 ( )为随机变量.记为 或X .

例2.1 E为" 抛硬币" , 正面记1, 反面记0, 则

1 ( ) 0

出现正面 出现反面返回

第二章 一维随机变量及其分布

例2.2 各面涂漆的正方体,将每条棱10等分,锯成1000个 小正方体,观察每个小正方体涂漆的面数. 解： 表示涂漆的面数, 则 设 0 各面都不涂漆 1 只有一面涂漆 2 只有两面涂漆 3 有三面涂漆

{ξ 2} {涂漆面数不多于2} {涂漆面数为0或1或2}{ξ 5} {涂漆面数不多于5} Ω{ξ 1} {涂漆面数不多于 1} Φ返回

第二章 一维随机变量及其分布

例2.3 测试灯泡寿命.解： 设 表示灯泡寿命, 则

t (t 0)

100 { 100} {灯泡寿命不超过 }

{ 16} {灯泡寿命不超过 16} ;

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第二章 一维随机变量及其分布

例2.4 袋中有红球二个, 黄球四个, 它们的标号是1, 2, 3, 4, 5, 6. 现从中任取一个球, E1: 观察标号数; E2: 观 察颜色. 解： 在E1中，样本空间S1 {1,2,3,4,5, 6}

可定义X X (i) i i 1,2,3,4,5,6 可见，X是定义在S1上的随机变量

在E2中，样本空间S2 {红，黄}设A {取得的是红球},则A {取得黄球}

1 可定义，X 0

A发生

A发生返回

则X是定义在S2上的随机变量

第二章 一维随机变量及其分布

注意: 随机变量是定义在样本空间上的实值函数, 它与 普通的实函数有本质的区别: (1)它的取值是随机的, 因而它取每一可能值都有一定 的概率; (2)它的定义域是样本空间S, 而S不一定是实数集; (3)对任意实数x, 概率P{X≤x}存在. (4) 每一个事件都可以用一个随机变量来描述, 称为 事件的数量化.返回

第二章 一维随机变量及其分布

二、随机变量的概率分布

设X是随机变量, 则它的取值规律(即可

能取哪些值, 取这些值的概率分别是多少？)称为X的概 率分布(简称分布). 通常用分布函数, 分布律或分

布密度来描述随机变量的分布.

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第二章 一维随机变量及其分布

三、随机变量的分布函数 1.分布函数的定义定义1 设X为随机变量，x为任意实数，称

F ( x ) P( X x )为随机变量X的分布函数。

x R

注 意: (1)F (x) 是一普通实函数, 它的定义域是实数集, 故求分布函数时, 要 x 就落在整个数轴上讨论.

(2)( x1 X x2 ) ( X x2 ) ( X x1 )

P( x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )返回

第二章 一维随机变量及其分布

(3) { x}表示随机事件 1 { x} { ( x )} n n 1 { x} { x} { x} 都是随机事件 {x1 x2 } { x2 } { x1} { x} { x} { x} { x}

只要有事件{ x}的概率(即已知分布函数), 就可计算 其它事件的概率.返回

第二章 一维随机变量及其分布

例2.5 设袋中有标号为-1, 1, 1, 2, 2, 2的六个球,

从中任取一个球, 求所取得的球的标号数函数, 并画出函数图象. 解:

X 的分布

X是一维随机变量, 它的可能取值是-1, 1, 2.. -1 . 0 . 1 . 2

x

X 1, 1, 2

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第二章 一维随机变量及其分布

F ( x ) P( X x ) (1).x 1时, ( X x)

x R

F ( x) P( X x) P( ) 0

(2). 1 x 1,

(3) x 2 .1

1 F ( x) P( X x) P( X 1) 6

F ( x) P( X x) P{( X 1) ( X 1)} (4) 2, ( X x) S , .x F ( x) P( X x ) P ( S ) 11 2 1 P( X 1) P( X 1) 6 6 2

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第二章 一维随机变量及其分布

综上所述得:

0, x 1;F(x)=

1 , 1 x 1; 6 1 ,1 x 2; 2 1, x 2.

。 。-1

。1 2返回

第二章 一维随机变量及其分布

例2.6 一均匀陀螺的圆周上均匀的刻有区间[1, 2)上诸数 字, 在桌面上旋转它, 求当它停下来时, 圆周与桌面接触处 的刻度X 的分布函数, 并作出函数图象.

解:

是一维随机变量, 它的可能取值是区间[1, 2)上诸数字. X

F ( x ) P( X x )

x R

(1)当x 1时， x) , F ( x) 0, (X(2).当1≤x< 2时, 由几何概率知:

L( X x ) F ( x) P( X x) L( S )(3).当x ≥2时, (X≤x)=S,

x 1 x 1 2 1 F ( x ) 1.返回

第二章 一维随机变量及其分布

综上所述得:

0,F(x)=

x 1; x 2.

x 1, 1 x 2; 1,

y

1

o

1

2

x返回

第二章 一维随机变量及其分布

例2.7 在半径为2的圆域D中任投一个点,设点落在D 的任何部分区域的概率与该区域的面积成正比,用

表示投入的点与圆心的距离,试求 的分布函数.

解 :由题意 0 2当x ( ,0)

F ( x) P( x)2

x R

F ( x) P( ) 0

x [0,2)

x [2, )

x 1 2 F ( x) P(0 x) 2 x 2 4 F ( x) P( ) 1x ( ,0) x [0,2) x [2, )返回

0 1 2 的分布函数为：F ( x) x 4 1

第二章 一维随机变量及其分布

2.分布函数的性质

( )F ( x)单调递增，即x1 x2 F ( x1 ) F ( x2 ) 1

(2)F ( ) lim F ( x) 0x

F ( ) lim F ( x) 1x

(3)F ( x)右连续，即F ( x 0) F ( x)

(4)

0 F(x) 1 机变量X的分布函数.

x R

注 意: 凡满足(1)—(4)的实函数F(x)一定是某个随

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第二章 一维随机变量及其分布

易证以下关系成立

(5)P( X x) F ( x) F ( x 0)

x R

(6)P( X x) 1 F ( x)

(7)P( X x) F ( x 0)(8)P( X x) 1 F ( x 0)

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第二章 一维随机变量及其分布

证明(3) : 对任意实数a b, 有 P ( a X b) F (b) F (a)

令a x, b x 0得 : 0 F ( x 0) F ( x) 即F ( x 0) F ( x)

1 证明(5) : P( X x) lim P( x X x) n n 1 lim [ F ( x) F ( x )] n n

F ( x) F ( x 0)返回

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