燕山大学毕业设计：EIT图像重建技术研究

本科毕业设计(论文)

EIT图像重建技术研究

燕 山 大 学

2014 年 6 月

本科毕业设计(论文)

EIT图像重建技术研究

学 院： 专 业： 学生 姓名： 学 号：

燕山大学毕业设计(论文)任务书

学院：电气工程学院 系级教学单位：仪器科学与工程系

学 学生 专 业 号 姓名 班 级 题目名称 题目性质 题目类型 题目来源 主 要 内 容 基 本 要 求 EIT图像重建技术研究 1.理工类：工程设计 ( )；工程技术实验研究型( )； 理论研究型( ? )；计算机软件型( )；综合型( )。 2.文管类( )；3.外语类( )；4.艺术类( )。 题 目 1.毕业设计(? ) 2.论文( ) 科研课题( ) 生产实际( )自选题目(? ) 1. 传输管道的空间三维建模； 2. 图像重建软件算法设计； 3. 仿真结果论证。 1． 按电气工程学院本科生学位论文撰写规范的要求完成设计说明书一份(不少于2.4万字)，A0图纸。说明书及插图一律打印，要求条理清晰、文笔流畅、图形及文字符号符合国家现行标准。 2． 掌握Electrical Impedance Tomography的基本原理。 3． 掌握图像重建基本算法原理及软件实现。 参 1．相关学术期刊 考 2． 资 3． 料 周 次 1—4周 5—8周 9—11周 12—15周 16—18周 查阅相关文献资分析确定设系统软件系系统软件调修改论文， 应 料 计方案，进行统设计 试与实验 准备答辩 完 系统结构设成 计 的 内 容 指导教师： 刘永红 系级教学单位审批： 职称：讲师 2013年11 月7日 年 月 日

摘要

摘要

多相流广泛存在于动力、石油、化工、核能、食品和医学等多个领域。与单相流动相比，多相流动相间存在着界面效应和相间速度，其流动特性更加复杂多变，因此要建立可靠的多相流动力学模型，并对多相流动过程进行预测、设计及控制。电阻抗成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)技术是电学层析成像技术的一种，可以通过非接触的方式，将物体的内部结构特性通过电特性反应出来。本文旨在对于电阻抗层析成像技术的主要原理、图像重建算法进行研究，为电阻抗层析成像技术在多相流检测中的应用提供理论基础。

EIT技术的研究主要分为两方面，即正问题的研究与逆问题的研究。EIT正问题(Forward Problem)采用有限元方法(FEM)求解，基于变分原理，建立有限元方程。EIT逆问题(Inverse problem)是非线性问题，主要工作是对图像重建的研究，EIT技术有多种图像重建算法，本次毕业设计主要通过Matlab仿真软件对Landweber算法、正则化算法、STM算法等进行图像重建。通过图像重建结果，比较不同算法的优缺点。

关键词:EIT技术；正问题；逆问题；有限元法；图像重建

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Abstract

Multiphase flow widely exists in many fields, such as power, petroleum, chemical, nuclear energy, food and medicine etc. Compared with the singlephase, multiphase flow have interface effect and the existence of phase velocity, the flow characteristics is more complex. Therefore, it?s important to establish a reliable multiphase flow dynamics model, so do the multiphase flow process prediction, design and control. Electrical impedance tomography technology(EIT) is a kind of electrical tomography technology, which can react the internal structure characteristics of object through electrical charcterstics by non contact mode. This paper aims to study the main principle of EIT and electrical impedance tomography image reconstruction algorithm what provide a theoretical basis for EIT technology in multiphase flow detection application.

The study of EIT technology is mainly divided into twoaspects, namely the forward problem and inverse problem. The forward problem of EIT was solved by using the finite element method (FEM) solution, which based on the variational principle, and established the finite element equations. The inverse problem of EIT is a nonlinear problem, the main work is the study of image reconstruction. EIT technology has a variety of image reconstruction algorithm. This graduation design mainly study Landweber algorithm, STM algorithm, regularization algorithm through Matlab simulation. Through image reconstruction results, comparing the advantages and disadvantages of different algorithms.

Keywords:Electrical Impedance Tomography; Forward Problem; Inverse Problem; Finite Element Method;Image Reconstruction

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目 录

摘要 ....................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................ II 第1章 绪论 ........................................................................................................ 1

1.1 课题背景知识 ....................................................................................... 1 1.2 EIT图像重建技术研究现状 ................................................................. 1 1.2.1 EIT技术国内外研究现状 .............................................................. 2 1.2.2 EIT技术国内外研究成果 .............................................................. 2 1.3 课题研究内容及论文安排 ................................................................... 4 第2章 电阻抗层析成像技术综述 .................................................................... 5

2.1 引言 ....................................................................................................... 5 2.2 过程层析成像技术简介 ....................................................................... 5 2.3 EIT技术理论基础 ................................................................................. 8 2.3.1 EIT技术生物学基础 ...................................................................... 9 2.3.2 EIT技术基本原理 ........................................................................ 10 2.3.3 EIT技术相关参数介绍 ................................................................. 11 2.4 EIT系统简介 ....................................................................................... 14 2.5 本章小结 ............................................................................................. 15 第3章 EIT技术数学模型及有限元建模 ....................................................... 16

3.1 引言 ..................................................................................................... 16 3.2 传输管道三维建模的EIT技术数学模型 ......................................... 16 3.2.1 EIT技术数学模型理论基础 ........................................................ 16 3.2.2 用于传输管道三维建模的EIT数学模型 .................................. 17 3.3 用于传输管道多相流检测的EIT求解路线 ..................................... 18 3.4 有限元法求解EIT正问题 ................................................................. 19 3.4.1 EIT正问题 .................................................................................... 19 3.4.2 有限元法基本原理 ...................................................................... 21

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3.4.3 有限元模型 .................................................................................. 22 3.4.4 使用EIDORS 3.4进行ERT正问题求解 .................................. 24 3.5 本章小结 ............................................................................................. 25 第4章 EIT技术图像重建算法 ....................................................................... 26

4.1 引言 ..................................................................................................... 26 4.2 EIT逆问题 ........................................................................................... 26 4.3 几种常见的图像重建算法研究 ......................................................... 27 4.3.1 灵敏度系数算法研究 .................................................................. 27 4.3.2 Landweber算法研究 .................................................................... 28 4.3.3 Tikhonov正则化算法研究 .......................................................... 30 4.3.4 不同算法图像重建效果对比 ...................................................... 32 4.4 本章小结 ............................................................................................. 34 结论 .................................................................................................................... 35 参考文献 ............................................................................................................ 35 致谢 .................................................................................................................... 39 附录1 开题报告 附录2 中期报告 附录3 外文文献 附录4 外文翻译

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第1章 绪论

第1章 绪论

1.1 课题背景知识

多相流广泛存在于动力、石油、化工、核能、食品和医学等多个领域。与单相流动相比，多相流动相间存在着界面效应和相间速度，其流动特性更加复杂多变，因此要建立可靠的多相流动力学模型，并对多相流动过程进行预测、设计及控制，必须解决多相流过程中的参数检测问题[1]。而有些成像方式会破坏对象的表面，这样便不能满足多数要求。因此有必要研究一种无损成像方式对多相流进行成像。

层析成像(Tmography)技术也称为计算机层析(断层)成像(Computerized Tomography, CT)技术，是一种无损成像技术[2]。CT技术是指在不损害对象内部结构的条件下，利用某些探测源，用过从对象外部的设备检测得到的投影数据，运用一定的数学模型和重建技术，通过计算机的软件生成被测对象内部的二维或三维图像，实现对象内部特征的重现。CT成像技术与常规的从“图像到图像\的计算机图像处理技术不同，它是由外部测量的投影数据重建反映对象内部特征，这是一种特殊的图像处理技术[3]。如图1-1所示为利用CT技术对人体进行成像。

图1-1 CT技术应用实例

而多相流检测领域中的层析成像技术一般被称作过程层析成像(Process Tomography,PT)技术，它是医学工程中的层析成像技术与工业技术的要求相

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结合而形成的[4]。PT技术是在医学CT技术的基础上发展起来的一种新的层析成像技术。

电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography，简称EIT)技术是一种基于电阻传感机理的PT技术，它通过测量电阻率的分布获得相介质的分布[5]。相比较之下，虽然EIT技术在图像重建的某些方面比不上传统的医学技术，但由于其成本低、对人体无害、无损成像等特点，被当做一种具有广泛应用前景的功能成像技术。

EIT的发展经历了以下几个阶段：

(1) 上世纪20年代，地质学家将电流注入到地层，通过测量地表电压来获得不同底层的导电特性，从而确定地下矿藏的分布，首次涉及到EIT的测量原理[6]。

(2) 上世纪70年代，美国Pennsylvania大学的David B.Geselowitz提出的阻抗电磁理论；

(3) 1978年，美国Wisconsin大学Henderson和Webster做出第一幅阻抗图像；

(4) 1982年，英国She街eld大学Brown和Barber实现第一个手臂的阻抗层析成像；

(5) 90年代以来，EIT技术进入了迅速发展时期。1990年，英国Sheffield大学I LFreeston和R C Tozer提出了感应电流式EIT系统[7]；1995年，希腊Demokritos大学C.S.Koukourlis和Thessaloniki大学的J.N.Sahalos做出了一个32电极数据采集系统[8]；以及后来Cape Town大学的J.Tapson提出了基于频分和码分复用电阻抗成像的电极电路[9]。同时，国外的研究小组还实现了对人体的喉、脑、胸腔以及小腿的电阻抗成像，取得了很好的成果。

1.2 EIT图像重建技术研究现状

1.2.1 EIT技术国内外研究现状

EIT系统具有非侵入性无损成像、功能性成像、设备简单及使用方便等特点，这些特点使得EIT技术引起医学界和工业界的广泛关注，并成为世界各国科学研究工作者研究的热点课题[10]。

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第1章 绪论

当前EIT技术的研究主要集中在以下几个方面：

(1) 对传感器电极阵列的优化设计，主要是克服EIT技术的“软场”问题，尽可能提高敏感场灵敏度分布的均匀性。

(2) 提高数据采集系统硬件电路的性能，主要是提高系统的稳定性、实时性和数据精度。

(3) 图像重建算法的改进，要求开发出质量高、速度快的成像算法，改进非线性算法的收敛性。

(4) 工业领域的应用开发，拓展技术的应用领域，使EIT技术更好地应用于各个领域[11]。

随着电子技术的飞快发展，计算机性能的不断提高，极大的促进了EIT系统性能的提升，基于各种新技术的EIT硬件系统层出不穷，其中基于嵌入式技术的便携式EIT系统是近期研究的热点。目前，EIT系统的硬件平台引入了更多新的数字化技术，大大提升了系统的性能，成像的实时性及成像质量也得到不断提高[12]。

1.2.2 EIT技术国内外研究成果

目前该领域较为先进的是英国的UMIST大学，其主要成果主要有：相继在搅拌器[13]和旋流器[14]等实验装置上进行了实验研究；开发出应用于金属容器的EIT系统，拓宽了EIT技术的使用范围[15]；目前又开发出一套16电极EIT数据采集系统[16]，据报道，该系统数据采集速度可达1000幅/秒。英国Leeds大学的R.A.Williams教授以及Dr.M.Wang等人联合开发出ITS．1000型系统样机，数据采集速度为25幅/秒(38.4kHz电流激励、104点/幅、数字解调)，如果采用模拟解调，其采样速率为7幅/秒[17]。最新开发出一套称为“FIC”的两相流在线数据采集和测量处理双截面EIT系统，采用DSP芯片、IEEE通讯接口等技术，数据采集速度达1164帧/秒，大大提高了系统的性能[18]。

在我国，最早进行EIT技术研究的是80年代后期徐苓安教授带领的天津大学PT研究小组，现已开发出TERT-1、2、3、4型系统样机。浙江大学也曾开发出16电极EIT系统，电路实现简单，但实时性有待提高[19]。清华

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大学、东北大学、中国科学院、北京航空航天大学、浙江工学院也开展了EIT技术的研究[20]。

1.3 课题研究内容及论文安排

在综述了国内外相关文献及资料的基础上，本论文旨在研究电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography，简称EIT)技术在多相流检测中的应用。本文进行了有限元分析，实现空间管道的三维建模，并应用STM算法、landweber算法、正则化算法等实现图像重建。

针对上述工作，具体内容如下： (1) 了解电阻层析成像的基本原理。

(2) 熟悉正问题中有限元法(FEM)，并利用有限元法实现对传输管道的建模，模拟出几种模型，为图像重建做准备。

(3) 了解现有的图像重建算法，并比较不同算法的优势与不足。 (4) 基于MATLAB平台进行图像重建，并且比较各种算法的成像结果。

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第2章 电阻抗层析成像技术综述

第2章 电阻抗层析成像技术综述

2.1 引言

传统的CT成像技术已经十分成熟，但是CT技术主要采用射线、核素等进行成像，这些对人体有一定的伤害。而过程层析成像技术为我们提供了很多其他的选择。其中，EIT技术便是电学过程层析成像技术的一种。

EIT技术通过在体表电极阵列施加电流来提取组织或器官的电特性信息，加之不使用核素或射线、对人体无害、成本低廉、携带方便以及不要求特殊工作环境等特点，它是一种理想的、具有诱人应用前景的无损伤医学成像技术，尤其对发展中的人口大国具有很大的开发价值。

2.2 过程层析成像技术简介

层析成像(Tomography)技术也称计算机层析(断层)成像技术或计算机辅助层析成像(Computer Tomography，简记为CT)技术，是在20世纪70年代初首先在医学上已经成功应用并蓬勃发展起来的一项科学技术[21]。

在图像处理学中，层析成像称为图像重建，它与传统的从图像到图像的处理方法不同，它是一种从测量的多个投影数据重建出目标图像的特殊图像处理方法，即通过物理对象某一截面(断层)得到的一组投影数据，采用合适的图像重建方式及算法，经计算机处理，获得被测对象在该界面的图像。这种图像就被称为重建图像，可以直观地反映出界面内局部区域的相关信息

[22]

。

自20世纪80年代以来，工程技术人员就开始积极探索，试图将医学中的

层析成像技术应用于多相流检测当中。过程层析成像技术(Process Tomography, PT)作为一种新型成像技术，可以实现多相流监测系统所要求具备的以下特性：

(1) 非侵入性，以避免腐蚀传感器和阻碍流动；

(2) 测量的实时性，以瞬时获取过程控制单元所需的反馈； (3) 可靠性，以延长维护周期，降低维护费用； (4) 在线使用；

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(5) 标定简便。

过程层析成像技术可定义为：用层析成像的方法处理来自检测传感器测得的数据以获得不可到达区域内的精确定量(或定性)信息[23]。它是医学工程当中的CT技术为满足工业要求而与之相结合的产物。PT技术的目的是确定多相流在截面内的分相介质分布。

根据不同的敏感场原理，PT技术可分为：核(X射线，γ射线和中子射线等)，核磁共振，光学，电学(电容、电阻、电磁、电荷感应等)，微波，超声等类型。其中，电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)技术是PT技术中目前的研究热点之一。

运用PT技术，可以获得被测多相流体的分相介质分布的二维或者三维的实时信息。这样的信息能够直观的反映出多相流的流型，并可通过选择一定的图像重建算法，重建图像以获取相位分布。通过对重建图像中的像素进行相关分析(需要两个或以上根据相应的相关延时而分置的层析成像装置)，可以获得多相流中各分相的流速及流量。

医学诊断上采用的计算机层析成像技术即CT技术是指一种数字图像重建技术。它根据被成像物体在不同角度下的投影数据，采用基于不同假设所构成的算法重建出该物体的一个横断面图像。要将医学CT技术应用到两相流成像系统中，技术上必须解决如下两个与两相流系统特点有关的问题，也就是成像速度的问题和成像对象特性问题。

PT技术是将医学诊断上已成功实现的断面成像技术应用到两相或多相流系统中来，以得到流体管道横截面上个相位分布的图像。

与医学CT技术相比，PT技术的主要特点如下[24]：

(1) PT技术中的被测物场往往处于高速运动的状态，这一特点使得PT系统不仅要有比医学CT技术高的多的数据采集速度，还要有快速的数据处理能力；

(2) 被测物场往往具有较强的非均匀性，并且这种非均匀性往往处于变化中，难以校正，除此之外许多PT系统的灵敏场为“软场”，造成图像重建困难；

(3) PT系统中所能获得的投影数据是有限的，这增加了图像重建的难

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第2章 电阻抗层析成像技术综述

度；

(4) PT技术中的传感器和数据采集系统要安装在工业现场，这要求它不仅能与过程对象的几何、机械、物理特性相适应，而且还要适应恶劣的现场环境(电磁干扰、震动、电压波动等)。

总之PT技术相对于CT技术有很多优点。它将传统的对过程参数的单点、局部的测量，发展为多点、截面分布式的测量；它在不破坏、干扰流体流动的情况下，获得管或设备内部两相/多相流体的二维/三维分布信息；为在工业条件下对基于热动力学、反应动力学和流体动力学原理建立的过程、设备模型的证实提供一种方便的手段；还可以为优化过程设备及装置的设计、改进过程工艺、实现两相流/多相流体输送，反应复杂生产过程的调节与控制提供全面、准确的信息和辅助的研究手段。

特别是基于电学方法的层析成像(Electrical Tomography，简记ET)技术，由于其结构简单、响应迅速、成本低等特点，取得了较快的发展，目前，已进入到工业应用研究阶段，并在应用于在线监测和环境监测方面等诸多工业过程测量领域取得一些研究成果[25]。

PT技术经十几年的发展，已有多种不同原理的PT系统问世。根据获得被测物场信息所采用的方法不同，可将PT技术主要分为核PT、光学PT、电学PT、微波PT、核磁共振PT及声学PT等[26]。不同的PT方法具有基于不同物理原理的空间传感器敏感阵列，因而具有不同的信息处理系统及图像重建算法。表2-1列出应用于工业过程检测的各种PT系统的基本原理和应用范围。

国内外最新研究进展表明，基于电学和超声等传感机理的PT技术将是今后重点发展的过程层析成像技术，尤其是基于电学原理的各种PT技术，以其成本低、速度快、适用范围广、系统结构简单、安全性能好等特点，近年来已取得了长足的进步，某些研究成果已接近于工业实际应用。核子方法PT技术在图像的空间分辨率和图像质量等方面有其独特优势，但是其成本高，安全性能低。

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燕山大学本科生毕业设计(论文) 表2-1 各种PT系统的基本原理和应用范围 PT方法 类型 透射 被测介质特性参数 衰减系数μ 典型应用 多相流成像，混合过程，流化床 核子工业无损检测和估计，粒子流成像 气液两相流的空隙成像，无损检测 液体研究，燃烧诊断，火焰检测 温度场成像，等离子体诊断 混合过程 油气、气液两相流成像，流化床成像 气液两相流，混合过程，地貌、环境检测 无损检测 核子 辐射 辐射系数e 散射 空隙率β 透射 衰减系数μ 光学 辐射(红外) 温度分布T 干涉 折射率n 介电常数ε或电导率分布σ 介电常数ε或电导率分布σ 磁导率μ或电导率σ 电容ECT 电学 电阻ERT(EIT) 电磁EMT 2.3 EIT技术理论基础

目前比较成熟的成像技术，例如CT技术、核磁共振技术和B超等，由于使用射线、核素，对人体有害，并且其价格昂贵等缺点，从而不能进行长时间、连续监测和临床医学图像监护。特别是在灾难、事故急救和创伤外科中由于缺乏方便、有效的图像监护手段，以致错过抢救时机，导致患者死亡的事例时有发生[27]。与这些成像技术相比，EIT技术在处理类似事件时有很大的优势，主要体现在以下几方面[28]：

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第2章 电阻抗层析成像技术综述

(1) 硬件设备体积小、便于携带。

可将设备送至事故现场，从而为急救节省宝贵时间。

(2) 是一种廉价的医学成像技术。 (3) 对人体无害。

EIT技术不使用射线或核素，对人体无毒害。

(4) 是一种无损伤医学图像检测技术。

EIT是通过给体表配置电极阵列，外加安全的激励电流来提取与人体生理、病理状态相关的组织和器官的电特性信息。

(5) 功能成像。

它是以生物体内组织和器官的电阻抗分布和变化为研究对象，反映的是组织和器官功能状态以及变化规律的功能性图像结果。因此，它能够在组织和器官发生结构性变化之前，及时检测到与疾病相关的组织和器官的功能性变化，提示疾病的发生，跟踪其发展过程，这对相关疾病的普查、预防和早期诊断与治疗是非常有利的[29]。

如上图2-1所示即EIT应用实例，(a)中所示为在盐水溶液中加入具有一定形状的塑料片，然后进行图像重建，(b)中即重建所得的图像。

(a)

图2-1 EIT应用实例

(b)

2.3.1 EIT技术生物学基础

生物体里面的不同组织，不同器官有着不同作用，不同组织、器官在进行正常活动时有不同的电导率(电阻率)。表2-2列出了人体正常组织器官的电阻率值。并且各组织、器官的电导率(电阻率)由于生理和病理的变化，也

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会有不同程度的改变[30]。EIT技术的特点就是反映这些电导率的变化规律，通过给物体注入安全可调的电流，并测量体表的边界电位值，来重建生物体内组织、器官的电导率分布，并以图象的形式显现出来。这是一种能反应生物体内器官功能和组织结构的医学成像技术。在一些病理初期或者恢复期，

表2-2 人体正常组织器官的电阻率值

组织 骨头 脂肪 肺

大脑灰质 大脑白质 纵向心肌 横向心肌

电阻率(Ωm) 166 21-28 7.3-24 2.8 6.8 1.6-5.8 4.2-5.1

组织

纵向骨骼肌 横向骨骼肌 肝脏 血液 血浆 脑髓液

电阻率(Ωm) 1.3-1.5 18-23 3.5-5.5 1.5 0.66 0.65

使用传统的CT检测可以获得体内的组织或者器官的图像，但EIT技术检测到的是组织电导率的变化，即阻抗分布的情况，它能够在组织和器官发生结构性变化之前，及时检测到与疾病相关的组织和器官的功能性变化，提示疾病的发生，跟踪其发展过程。

2.3.2 EIT技术基本原理

用于两相流检测的EIT技术的基本原理是：由于管道或者容器内两相流体各相的组分具有不同的电阻率，因此可以说电阻率的分布和各相组分的分布是一一对应的。在管道某一横截面的边界等间隔的布置多个电极，这些电极在测量过程中分别作为电流激励电极和电压测量电极，轮流对某一电极对施加激励电流作为输入信号，在管道内部建立起敏感场，再测量其他电极对上的电压信号。当管道内两相流流体流动情况发生变化时，电阻率的分布也会变化，电流场的分布也随之变化，从而管道边界上的测量电压也要发生变化。利用边界上电压的变化，通过一系列的成像算法，可以重建出管道内电阻率分布或者反应电阻率分布情况的灰度的变化，从而了解管道内两相流流体的流动情况，实现可视化测量[31]。

由上述原理可知，通过EIT测量得到的是管道某一横截面的两相流分布情况，在管道上不同位置分别进行测量，可以得到多个横截面的两相流分布

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第2章 电阻抗层析成像技术综述

情况，对多个界面进行综合分析，从而可以得到管道两相流流体分布的三维情况，从而实现层析成像。

激励电极对+I-I连续相C2?2?1连续相C1电极v测量电极对图2-2 EIT系统原理图

如图2-2所示，设C1为连续相，C2为离散相。假设连续相的电阻率为

?1，离散相的电阻率为?2，利用EIT系统求解被测物体内不同介质分布的步骤如图2-3：

给任意一对电极施加激励电流测量非激励电极对之间的边界电压被测物体内部介质分布发生变化通过测量电压变化情况计算被测物体内部电阻率分布得到被测物体内部介质分布图2-3 EIT系统测量求解步骤

2.3.3 EIT测量技术相关因素介绍

EIT研究过程中，有几个因素对成像结果有一定影响，具体介绍如下： (1) EIT测量驱动模式

EIT技术测量驱动的模式按照激励源的性质，可以分为电流驱动和电压驱动。

将生物体看成成像目标，在目标边界输入电流，然后测量目标表面的电压，即广泛采用的电流驱动电压测量方式，如图2-4(a)所示。电流驱动的方式可确保输入人体的电流大小符合要求，但高频、高精度的恒流源制作起来比较困难。

在目标边界施加电压，测量成像目标表面电流，即电压驱动电流测量的方式，如图2-4(b)所示。这种方式输入的电流不可控制，易对人体造成伤害，

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同时接触阻抗的影响大，电路的结构比较复杂，因此这种模式使用比较少。

(a) (b)

图2-4 EIT驱动测量模式

目前一般采用电流驱动方式，特殊场合采用电压驱动。 (2) EIT测量电极

电极形状有形点电极、矩形电极、复合型电极[32]，如图2-5所示。 图(a)所示，圆形点电极和矩形电极是激励电极和检测电极共用的线电极。线电极的特点是结构简单，使用方便。

图(b)所示，复合电极由外周的环形激励电极和中心测量电极组成，这种电极将片状电极与点电极结合，片状电极作为激励电极以降低激励电流密度，减小接触阻抗，点电极作为测量电极以获取准确的测量位置。使用复合电极可在激励电极处同时提取测量电压值，从而增加独立测量数。

(a) (b)

图2-5 电极形状

电极是提取信号的关键器件，它必须具有灵敏度高，与皮肤接触阻抗小，

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第2章 电阻抗层析成像技术综述

对皮肤无毒害，同时有利于电流的注入和电压的测量，形状规格化，易于匹配的特点[33]。

EIT系统的电极材料必须具有良好的导电性能，要求电极材料的电导率必须远远高于被测媒质，以保证电极表面为等势面，电流密度垂直于电极表面均匀分布。还要有稳定的化学特性，为了防止电极与被测媒质之间发生化学或电化学反应而腐蚀电极表面，要求电极有稳定的化学特性。此外，从加工成本的方面考虑，希望电极的材料价格便宜，易于获得；同时电极材料需要经过一定的加工才能进行使用，又需要电极材料具有良好的机械加工特性，容易固定及焊接，热应力小等等；在液—固两相流的工业应用中，固相物质会经常对电极造成磨损和冲击，这还要求电极材料要具有一定的耐磨性。常用的电极材料有铂、不锈钢、铜、银、导电陶瓷、钛金属等。

EIT系统电极数目决定了可能的独立测量数目，对定量的图像重建算法而言，其图像的分辨率是由独立测量数决定的，因此电极数目的增加可以提高空间分辨率。如采用相邻激励模式的16电极EIT系统，独立测量数为104个，而48电极系统的独立测量数为1080个。但是，电极数目的增加必然导致相邻两电极之间的距离变小，对于相邻激励模式，会导致敏感场分布的不均匀性加剧。而且，独立测量数的增加还会造成一次激励时所获得的各测量电压之间的差别变小，这就要求数据采集系统具有更高的分辨率。另外，电极数目的增加还会使每帧图像的数据量增大，采集数据的时间增加，系统实时性能降低。

电极的宽度和高度对敏感场的分布也有重要的影响，增加电极的宽度可以减小连接阻抗的阻值，改善敏感场分布的均匀性，但电极的宽度在空间上受到电极数目和管道直径的限制，而且电极加宽使得电极的测量信号不能反映“点\的电位信息。增加电极的高度可以改善轴向各层的场分布情况，使其更接近于平行平面场，但同时会导致敏感场空间分布范围的扩大，从而加剧了所成图像空间物理意义的模糊性。复合电极虽然有矩形电极和点电极的优点，但是其加工、安装难度较大，一般只用于医学领域，工业过程中很少采用。

(3) EIT技术独立测量数

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在电极数目一定的情况下，独立测量数主要由测量驱动模式决定[34]。 测量驱动模式主要有：

相邻驱动模式(Adjacent driven pattem)——由Brown和Seagar提出，将电流通过相邻电极注入，在所有其他相邻的电极对上测量电压。它在硬件上易于实现，适用的重构算法多，是最基本且较为成熟的驱动模式。独立测量次数为N??N?3?/2，其中N为电极数。

相对驱动模式(Opposite driven pattem)——两驱动电极相差180°放置，在相邻电极上进行电压测量。独立测量次数为N??N?4?/2，其中N为电极数。

交叉驱动模式(Trigonometric current pattern)——Avis和Barber发现当在一彼此距离较远的电极上注入电流时，可以获得一种流入人体更均匀的电流分布，因而提出两驱动电极相差90°放置，在相邻电极上进行电压测量的交叉驱动模式。独立测量次数为N??N?4?/2，其中N为电极数。

2.4 EIT系统简介

EIT系统主要由激励测量的电极阵列、数据采集单元、图像重建单元几部分构成[35]。EIT系统的传感器由一个电极阵列等间隔排布在被测管道或过程容器周围，控制单元(计算机)向数据采集单元发出指令，轮流给某一对电极施加激励电流，在过程对象内部建立起敏感场。得到边界上的多组测量电压信号，将得到的测量数据送图像重建单元，以适当的算法重建出对象内部的电导率分布，从而得到媒质分布图像(二维或三维)。最后送图像分析单元，对图像的物理意义加以解释，提取有关的特征参数，为过程控制提供必要的数据。

敏感场阵列将敏感场内的介质分布状况转换成易于测量的电压信号，是信息的最初来源，它的设计对敏感场分布有着重要影响，从而会影响整个系统性能。电极单元的设计参数主要包括电导电极的材料、数目和电极尺寸。

数据采集系统包括多通道的数据采集控制，电流/电压(A/V)转换，A/D转换及通讯接口等。

图像重建单元采用的是PC机，主要负责对外围接口电路发出指令来控制数据采集系统采集数据，并从数据采集系统接收数据，然后采用相应的图

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第2章 电阻抗层析成像技术综述

像重建算法进行图像重建和图像显示[36]。由于应用的环境不同，对图像重建的要求也各不相同，在实时检测中，对图像重建的速度要求较高，重建的速度不低于25帧每秒；在非实时检测中对速度的要求较低，但对精度的要求则要高一些。

2.5 本章小结

本章介绍了电阻抗层析成像的基本原理知识，首先从生物学方面，明确了EIT技术利用的是不同组织器官电阻率的不同。然后从整体介绍了EIT技术成像的基本原理以及驱动模式等相关参数，并分别介绍了系统结构各部分所对应的硬件的相关知识。

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

3.1 引言

电阻层析成像技术是以Radon变换和逆变换为理论基础的，因为它是医学CT应用于工业生产领域中的一种形式。它属于过程层析成像技术的一种[37]。

3.2 传输管道三维建模的EIT技术数学模型

3.2.1 EIT技术数学模型理论基础

函数f(x,y)的Radon变换是在一个二维平面区域内，对f(x,y)沿不同的直线(直线与原点的距离为r，方向角为?作线积分所得到的的像函数

F(r,?)。而在平面区域内任意点(r,?)处函数f(x,y)的极坐标形式f(r,?)的

值都可以由它的无穷多个观测角度?下的线积分值确定，而且是唯一的确定，称为Radon逆变换，用符号f?R?1F表示。

在被测物体周围安置多个传感器件，通过这些传感器件测量被测物体内部的多相流流动信息在各个方向上的投影数据，即将未知的两相流流动信息转换为与之相关的可被测量的数据，实现Radon变换。然后利用这些测量的数据，运用某种图像重建算法，将被测物体内部的多相流流体在某个界面上的分布信息的图像重建出来，即进行Radon逆变换。而后利用所获得的图像可以知道多相流流体的一些特征信息，通过这些信息可以实现对多相流的实时监测以及控制，这就是过程层析成像技术的实质。

对于似稳场的假设，是建立EIT数学模型的另外一个理论基础[38]。似稳场满足：

???H?Jf??E??B?H???????E???t?t (3-1) ????B?0?????D?0式中 H——磁场强度；

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

Jf——电流密度； ?——电导率；

E——电场强度； ?——磁导率； B——磁通量密度； D——电感应强度。

此外，似稳场还遵循静态场的规律，即电位?和矢位A分别满足拉普拉斯方程(3-2)和泊松方程(3-3)：

?2??0 (3-2)

?2A???Jf (3-3)

以下几种电磁场都可以看做是似稳场：

(1) 随着时间的推移，频率基本保持不变，或者频率非常低的电磁场。 (2) 导电介质中的传导电流相对于位移电流非常大，可以假设位移电流不存在的电磁场。

(3) 当电磁场无法满足上述两种条件时，以场源为中心，以小于电磁波波长的六分之一的距离为半径的空间区域即场源近区部分可以看做是似稳场。

3.2.2 用于传输管道三维建模的EIT数学模型

如前所述，使用EIT技术测量传输管道两相流时产生的电磁场可以看做似稳场。当在微通道某个测量截面上施加正弦交流激励电流时，由于管道直径非常微小，因此可以认为场域内的各处的电场是同时变化的，可以忽略电流在其内部的流动时间。另外由于电流激励只施加在通道某一测量截面边界的电极上，在其内部没有任何电流源，所以不会有由于内外电流源相互作用而产生的涡流效应。因而电流在传输管道内部的各个地方的散度都是零。根据这些条件及方程组(3-1)可知，对于应用EIT进行传输管道两相流测量时产生的敏感场内的任何一个位置，都有：

J???E (3-4) ??J?0 (3-5)

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式中 J——传输管道内的电流密度；

?——传输管道内流体各相的电导率； E——传输管道内部的电场强度。 又由于：

E???? (3-6)

式中 ?——传输管道内的电势分布

则?在传输管道被测场域内满足：

??(????)?0 (3-7)

等式(3-7)的边界条件为：

????J 在??上 (3-8) ?n式中 n——传输管道边界的法线向量；

??——传输管道截面边界； J——电流密度，它分别为

I/A 在???上

J= ?I/A 在???上 (3-9) 0 在除???和???的??上 式中 ???——电流的流入电极表面；

??——电流的流出电极表面； A——电极的表面积； I——电流大小。

将式(3-7)展开：

?????????2??0 (3-10)

假设传输管道中的两相流介质各相同性的，则在某一时刻，?为常数，则??=0，(3-10)可以简化为：

?2??0 (3-11)

3.3 用于传输管道多相流检测的EIT求解路线

应用EIT技术检测微通道两相流的求解过程包括求解正问题(Forward

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

Problem)与求解逆问题(Inverse Problem)两部分。如图3-1所示。

正问题已知注入电流I0已知注入电流I0逆问题已知电导率分布σ边界电压U未知有限元法电导率分布σ未知测量边界电压U图像重建算法计算边界电压U得到微通道敏感场信息计算电导率分布σ图像重建实现可视化图3-1 EIT技术中的正问题和逆问题

其中，已知传输管道两相流电导率?的分布或者电导率?的变化??及注入电流的大小，求电极对之间电势V或者电势变化?V，最终得到传输管道某一测量截面的敏感场信息，称作求解EIT正问题。

根据在某个测量截面上测量的电压VM及通过正问题求解得到的该测量截面的敏感场信息，求解两相流电导率分布?，从而得到传输管道内部不同介质的分布情况，进行图像重建，实现可视化，称为EIT的逆问题求解。

3.4 有限元法求解EIT正问题

3.4.1 EIT正问题

用EIT系统分析传输管道两相流流动情况的测量过程是施加激励电流测量边界电压，它的正问题属于Neumann边值问题。设被测传输管道截面中心O点的坐标为(x0,y0)，将O点作为电势参考点，电势在O点为0。由式(3-7)及其边界条件(3-8)，EIT正问题的数学模型可以写作下面的形式[39]：

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?内???(????)?0，在传输管道场域??????J，在电流注入电极???n?? (3-12) ???????J，在电流流出电极??n????(x0,y0)????(x0,y0)?0，式中 ?——梯度算子；

?——传输管道两相流电导率分布函数； ?——被测传输管道横截面场域；

??——场域边界；

J——电流激励电极上注入的边界电流密度； ?——传输管道截面场域内的电势；

??/?n——场域内电势沿边界法线方向的导数。

通过对方程组(3-12)求解，可以得到传输管道横截面边界电压V与两相流电导率?之间的关系式：

V?F(?) (3-13)

其中函数F称作?与V之间的正向操作函数。

式(3-13)可以看做是EIT正问题的求解函数。由方程组(3-12)到式(3-13)的数学物理模型推导过程是非常复杂的。因此通常用有限元法(Finite Element Method,简称FEM)对EIT正问题进行分析。

在EIT中，在给出电导率?的分布的情况下，通过有限元法可以得到一个对于电势的估计值：

VFEM?FFEM(?) (3-14)

其中FFEM称作FEM中?与V之间的正向函数。通常假设电导率分布在每个网格单元中为一个常数。每个单元的值对应于图像中的某一个像素，图像中像素颜色的深浅表示单元的值的大小。

在图像重建中，为了减小测量误差带来的影响，通常采用动态方法进行图像重建。随着传输管道两相流流体电导率分布变化????而产生的测量电极上的电压变化V??V可以由泰勒展开式表示：

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

?V??F(??)?O((??)2) (3-15) ???V?S?? (3-16)

忽略上式右半部分的第二项，等式(3-15)可以简化为线性形式： 应用有限元法将传输管道两相流电导率分布变化??剖分为m个离散值，每个离散值与图像中的一个单元像素相对应，设可以获得n个电压测量值，则此时S??F(?)/??为一个n?m的矩阵，这个矩阵称作雅克比矩阵(Jacobian matrix)，在有的文献中也称作灵敏度矩阵(sensitivity matrix)。应用有限元法求解EIT正问题的最终目的就是求解出雅克比矩阵S，从而获取敏感场信息，以此来进行逆问题的求解[40]。

3.4.2 有限元法基本原理

有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具[41]。有限元法的思想最早由Courant于1943年提出。50年代初期，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析中最早得到应用。有限元法这个名称则由Clough于1960年首先提出。1965年Winslow首先将有限元法应用于求解工程电磁场问题。1969年Silvester将有限元法推广到时谐电磁场问题。有限元法在原理上是有限差分法和变分法中里兹法的结合。有限元法的主要思想是将所要分析的连续场分割为很多较小的区域(称为单元和元素)，这些单元的集合体就代表原来的场，然后建立每个单元的公式，再组合起来，就能得到连续场的解答，这是一种从部分到整体的方法，使分析过程大为简化，从数学角度来说，有限元法是从变分原理出发，通过区域剖分和分片插值，把二次泛函的极值问题转化为普通多元二次函数的极值问题，而后者又等价于一组多元线性代数方程的求解。有限元法是将所考虑的连续场分割为有限个单元，然后用比较简单的函数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的解都满足边界条件，而是在求得集合体的代数方程之后，再引进边界条件，因为边界条件不进入单个有限单元的方程，所以对内部和边界上的单元能够采用同样的函数，把边界条件引入集合体的方程，这一过程也比较简单，因为在变分法中自然边界条件隐含地得到满足，只需要考虑强迫边界条件。在有限元法中，最终求解的是多元函

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数的极值方程，因此它的系数矩阵总是对称的，对于正定的变分问题，有限单元离散化后保持了正定性。而且有限元法的系数矩阵是稀疏的。下面按照二维有限元分析计算过程的步骤来简要介绍有限单元这一方法。 FEM分析步骤一般包括：

(1) 根据实际问题定义求解域，该求解域是连续的。

(2) 区域剖分，即将求解域离散为具有不同大小和形状的有限个单元，使求解域变为离散的。

(3) 选取单元内的场变量插值函数。

(4) 定状态变量及控制方程，即将包含问题状态变量边界条件的微分方程化为等价的泛函形式。

(5) 根据有限元剖分方式，将建立的单元方程进行再组合，形成整体方程，从而可以得到连续场域的离散解。

3.4.3 有限元法模型

如前所述，如果使用有限元法手动去逐步对EIT正问题进行求解，整个过程是相当复杂的，因此在本文中利用EIDORS 3.5(Electrical Impedance Tomography and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software)软件在Matlab环境下对传输管道进行有限元建模并对EIT正问题进行求解。

EIDORS 3.5是一个用于电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)和散射光学层析成像(Diffuse Optical Tomography, DOT)图像重建的软件包。它具有可自由编程、操作简单、易于修改等很多优点。该软件包括二维网格剖分、求解正问题和图像重建及显示等Matalab程序包。

使用EIDORS 3.5软件包对传输管道某一测量截面进行有限元建模。首先在Matlab中输入run path\\eidors\\startup.m，运行EIDORS 3.5软件包的运算准备函数，其中path代表EIDORS 3.5软件包的存储路径。然后新建一个M文件，在其中输入如下语句：

imdl_2d=mk_common_model(?c2s?,16); show_fem(imdl_2d.fwd_model);

其中函数mk_common_model()函数为构建一个点电极有限元模型。其

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

中参数c2s的含义为：“c”代表剖分的单元密度，a为最稀疏，按字母表顺序依次越来越稠密，g为最稠密；“2”代表二维有限元模型；“s”代表所显示的有限元模型为矩阵模型，圆形模型为c。函数mk_common_model()的另一个参数“16”为构建的ERT有限元模型的点电极数目。

mk_common_model()函数中不同参数所构建的EIT有限元模型如图3-2所示：

?b2c?,16 ?c2c?,8 ?d2c?,16

?b2s?,16 ?c2s?,8 ?d2s?,16

图3-2 不同参数所对应的EIT有限元模型

从这些图可以可能出通过改变函数mk_common_model()中的参数可以很方便的控制有限元模型的形状、电极个数及网格细分程度。

本文中所选取的传输管道有限元模型如图3-3所示。构建该有限元模型的函数及参数为：mk_common_model(?e2s?,16)。忽略电极形状和大小，选取点电极模型。电极编号从上半部分开始按顺时针顺序依次进行编号。将传输管道有限元模型剖分成64?32?2048个单元。单元的编号从最下面的一

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行的左起第一个单元开始，然后在该行中往右依次编号。当整行都编号完毕时，从上面一行的左起第一个单元继续进行编号，直到所有的单元都编号完毕。

116234(2047)(2048)515614713(1)(2)12111098图3-3 本文选取EIT有限元模型

3.4.4 使用EIDORS 3.5进行EIT正问题求解

使用EIDORS 3.5对EIT正问题进行求解，对传输管道有限元模型进行单元数目、电导率值、形状及电极数目进行设置以后，只需要一个calc_jacobian()函数即可计算出代表微通道敏感场信息的雅克比矩阵S。计算过程简单快速，而且程序的参数易于修改。

在该有限元模型中，代表边界测量电压的参数vh.meas和vi.meas为208×1的矩阵，代表传输管道有限元模型各单元电导率分布的参数img.elem_data为2048×1的矩阵，改变该矩阵中的元素值可以传输管道内电导率的分布进行修改。计算得到的雅克比矩阵S为一个208×2048的矩阵，它代表电导率分布于边界测量电压之间的关系，如下式所示：

vi.meas=S*img.elem_dat (3-17)

由此可见有限元法可以将电导率分布和边界电压测量值之间的关系转换为相对运算方便的线性关系。

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

按前边设定的条件，通过Matlab仿真，可得到208×2048的灵敏度矩阵，图3-4为其中一部分。

图3-4 EIT正问题求解得灵敏度矩阵

3.5 本章小结

本章主要对用于传输道多相流检测的电阻抗层析成像技术的数学模型和正问题求解方法进行了介绍。首先给出了建立EIT数学模型的理论基础，并对检测传输管道多相流的EIT技术的数学模型进行了描述。然后介绍了求解EIT问题的求解路线。而后引出了求解EIT最常用的方法——有限元法，并对其求解EIT的步骤进行了分析。为了建立准确的电极模型，得到更加精确的图像，接下来又对如何能够减小电极与微通道两相流体之间的接触阻抗的影响进行了研究。最后利用EIDORS软件构建了微通道测量截面的有限元模型并对EIT正问题进行了求解。

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第4章 EIT技术图像重建算法

4.1 引言

如前所述，应用于传输管道多相流检测的电阻抗层析成相的逆问题可以描述为，通过注入激励电流，对微通道周围的电极上产生的电压进行测量，然后根据这些电压及正问题所求解获得的微通道测量截面的敏感场信息进行图像重建，来估计微通道某个测量截面上的多相流分布情况，以图像的形式直观的显示多相流的流动过程，最终实现可视化测量。但是，EIT的逆问题的存在很严重的病态性，没有办法直接得到逆问题的解。因此，需要采用合适的重建算法，来减轻逆问题的病态程度，获得较为精确的电导率分布图形。

4.2 EIT逆问题

EIT逆问题是指从测量得到的边界电压出发，通过图像重构算法，重建出生物体内电导率的分布和变化的过程。

由等式(3-13)可得，EIT的逆问题就是找出正向操作F的反函数：

??F?1(V) (4-1)

在通过有限元法简化的线性形式中，EIT逆问题的计算可以表示为求解敏感矩阵的逆矩阵：

???S?1?V (4-2)

一般情况下，所求解的微通道内两相流的电导率分布几乎都是不均匀的，求解电导率?的分布是一个非常困难的逆问题。其求解的难点在于：

(1) 欠定性：在实际的测量中，由于电极的数目有限，而且电流的注入模式也是有限的，因此将微通道进行剖分的单元个数远远多于所测量的电压个数，即未知的微通道测量截面上两相流的电导率分布值远远多于已知的测量电压值，因此雅克比矩阵S不是一个方阵，逆问题的解不唯一。

(2) 非线性性质：通过推导不难得知，微通道测量截面上的测量电压本身就是微通道两相流电导率分布的函数，所以在微通道各截面上的电压已知的情况下，对微通道两相流各相电导率的分布进行求解的问题是非线性的。

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第4章 EIT技术图像重建算法

(3) 病态性。虽然矩形区域内介质的分布有位置、电导率或者个数的变化，边界上的电位能等位线分布变化程度却很小。因此求解EIT逆问题最大的困难就是边界电压的变化对传输管道内部电导率的变化不敏感。反过来讲，当进行EIT逆问题求解时，测量的电压值产生微小的变化都有可能导致求解出的微通道两相流电导率分布有很大的变化，使所得到的图像远远偏离真实的图像。

在这些前提下，只能通过一些数学方法对F?1或者S?1进行一些近似估计，从而进行EIT逆问题的求解，这使得EIT图像重建既具有挑战性又具有局限性。各种图像重建算法对于S?1都有各自的近似估计。

根据S-1的不同处理方式，有多种算法，如表4-1所示。

表4-1 S-1的近似法

算法 S-1 ST ST STM Landweber Tikhonov (SST??I)?1ST 4.3 几种常见的图像重建算法研究

4.3.1 灵敏度系数算法研究

1972年，灵敏度原理由Lehr根据互易性原理推导而出。该原理的内容为，当被测场域内部的电导率变化的时候，边界阻抗会随之而变。1985年，日本富士大学的Yukio Kagawa和Tadakuni Murai通过分析灵敏度原理及其在电阻层析成像算法里的应用提出了灵敏度系数算法(Sensitivity Theorem Method, STM)。

如前所述，根据正问题的分析过程，微通道测量截面的边界测量电压变化?V与微通道两相流流体在测量截面上的电导率分布变化??有如下关系：

?V?S?? (4-3)

对上式应用有限元法之后，测量电压变化值?V转化为一个N×1的矩阵，电导率分布变化值??转化为一个M×1的矩阵。其中N是所得到的测

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量的电压个数，M为将微通道测量截面剖分之后单元的个数。则灵敏度矩阵S是N?M的矩阵。显然这个矩阵不是方阵，它的逆矩阵没有办法直接获得。

灵敏度矩阵是随着电导率变化而变化的，因此当电导率未知时，灵敏度系数矩阵会有一些未知因素，不便于求解。因此，通常假设电导率分布的变化较小的情况下，其场内电导率分布于测量的边界电压之间的灵敏度关系是近似不变的，也就是说可以把灵敏度矩阵看做是近似不变的，因此在求解过程中首先根据有限元软件求得该敏感场的灵敏度矩阵，然后就可以利用它得到不同的电导率分布图像，省略了每次电导率发生变化就需要重新计算灵敏度矩阵的繁琐的过程。在灵敏度系数算法中，用ST作为S的逆矩阵S?1的近似估计。即：

???ST?V (4-4)

灵敏度系数算法的优点在于其计算简单，只需计算一次灵敏度矩阵的转置及与测量电压矩阵的积即可得到所需要的结果，无需复杂的数学运算，因此其计算速度快，实时性能佳。然而，灵敏度系数算法的缺点也是很明显的，由于该算法只是很简单的将灵敏度矩阵的转置近似的视为其逆矩阵，没有经过任何的迭代及正则化处理，因此得到的图像只是对被测对象的一个很粗糙的模拟，无法对被测物体进行较为准确的分辨，重建出来的图像的质量和分辨率都较差，并且十分模糊。例如，用灵敏度系数算法重建多个相互距离比较近的物体时，所得到的图像是多个物体连接到一起的一个较大的模糊图像，无法将这几个物体的具体位置及个数分辨出来，因此用灵敏度系数算法进行图像重建难以区分被测物体的细微变化。该算法通常应用于需要快速成像、对成像精度要求不高的场合[42]。

4.3.2 Landweber算法研究

通过单步重建算法对图像进行重建，虽然成像的速度较快，但是只能得到不是很精确的模糊的重建图像，因此，如果需要得到高精度、分辨率高、重建的图像形状更逼近原型的图像，且对成像速度要求不高时，需要通过迭代算法来获得。

在各种迭代算法中，应用较为广泛的是迭代Landweber算法。迭代

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第4章 EIT技术图像重建算法

Landweber算法就是通过雅克比矩阵S求取其广义逆矩阵ST的迭代算法。

假设雅克比矩阵的广义逆矩阵是ST，用Ak(k?1,2,?)作为它的近似估计，则它的近似程度可以用残差：

Rk?I?SAk (4-5)

来进行衡量，很明显，当Ak?ST时，Rk?0。

应用迭代Landweber算法进行迭代运算时，首先应该选定ST的估计矩阵的初始矩阵A0，然后选取迭代公式：

Ak?1?Ak?A0Rk (k=0,1,2,…) (4-6) 或者将其表示为：

Ak?1?Ak?A0(I?SAk) (k=0,1,2,…) (4-7) 如果迭代到第k+1步时，Ak?1已经与S?1已经非常接近，那么此时有：

??k?1?Ak?1?V (4-8)

如果选择一个合适的初始矩阵A0进行Landweber迭代运算，最终使

Ak?ST，则可以获得一个较为精确的电导率分布??k?1。为了验证存在这种初始矩阵A0，进行以下证明。

由式(4-6)可得：

SAk?1?SAk?SA0Rk (4-9)

由式(4-5)可得：

SAk?1?I?Rk?1 (4-10)

将(4-9)和(4-10)综合到一起可以得到：

SAk?SA0Rk?I?Rk?1 (4-11)

则：

Rk?1?I?SAk?SA0Rk?Rk?SA0Rk?(I?SA0)Rk?R0Rk (4-12) 由(4-12)可知：

23k?2 (4-13) Rk?R0Rk?R0Rk?1?R0Rk?2???R0将上式代入式(4-6)则有：

Ak?1?Ak?A0Rk?Ak?A0R0k?1?Ak?1?A0R0k?A0R0k?1???A0(I?R0?R??R

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20k?10) (4-14)

因此如果想要使得Ak?ST成立，只需要证明Ak是收敛的，也就是证

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2k?1明I?R0?R0是收敛的即可。由矩阵分析中的理论可以知道：??R02k?1可以收敛，其收敛的条件为： I?R0?R0??R0R02?1 (4-15)

在本文中，应用迭代Landweber算法求解逆问题时，选择A0?ST，根据EIDORS软件对传输管道测量截面进行有限元建模及求解正问题的结果所得的雅克比矩阵S，将其代入R0?I?SA0，并求R02

的值，得

R02=0.9858<1。因此当选择A0?ST时，经过一定的迭代运算，可以得到Ak?ST。

Landweber迭代算法以迭代的方法求解Ak，使其逐渐接近于雅克比矩阵的广义逆矩阵ST，与灵敏度系数算法用ST近似代替S?1相比，具有更高的精度。而且整个迭代过程可以在测量时提前进行，当测量时，只需进行Ak与测量的电极上的电压的变化?V之间的矩阵运算，因此运算速度快，可以实现实时测量。然而，Landweber迭代算法的半收敛性质是它的一个严重的缺点。在迭代运算中，只有最初的几步具有较快的收敛速度，然而当迭代过程的继续进行时，迭代次数不断增加，收敛的速度会大大降低，到后来几乎不发生变化。因此，在一系列迭代运算中，图像的失真程度即误差刚开始改善的很明显，但当其误差下降到最低点以后，如果继续进行迭代运算，图像的效果反而会恶化。因此，盲目的增加迭代的次数，然而不会得到理想的图像。使用迭代Landweber算法求解逆问题时，需要选择合适的迭代次数。需要确定一些参数，如残差的范围，来决定迭代过程在何时终止[43]。

4.3.3 Tikhonov算法研究

根据最小二乘法原理可以求解EIT中雅克比矩阵的逆矩阵，在此基础上对其进行改进，可以推导出能够得到更为稳定的解的广义逆算法，即Tikhonov正则化[44]，该算法在医学CT中、数值运算及其他不适定问题求解中都有广泛的应用，其基本原理如下：

假设方程(4-3)左端无法得到精确的测量电压变化?V，只有一个与?V~就范数的意义而言相差不大于?的测量电压变化?V，即测量的电压变化与真实的边界电压变化存在一个不超过?的扰动，则式(4-3)可以转化为式(4-5)：

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第4章 EIT技术图像重建算法

~~S????V，?V??V?? (4-16) Tikhonov正则化算法的出发点是对EIT正问题的求解做出了一个新的解释，它考虑了测量电压向量?V的不确定性(从实际测量角度而言就是考虑了测量的电压变化与实际电压变化之间测量误差的影响)。

~该算法将满足不等式S????V??的所有电导率分布变化向量??中

~都看作是式(4-16)的解。也就是需要在该不等式具有最小二范数的向量??成立的条件下求式(4-17)的二次泛函：

H(??)??? (4-17)

~22如果有0???0?min??，其中?????Rn;S????V??(其中

????~n为经过有限元剖分后单元的个数)，且?0?S????V??,则当下式成立

2??时：

?????0??min?1,??S???对于???(1??)??0，有：

??? (4-18) ??~~S????V?(S??0??V)??S??0~?S??0??V??S??? (4-19)

??2并且??2~因此，满足条件S????V??的电导率分布变化向量??0不可能是既

~是集合?????Rn;S????V??中的元素，而且还满足二次泛函H的

?(1??)2??0???0。

2??及消化问题的解(即??0不可能为极小二范数解)。

因此，提出下面极小化问题：

?????~minH(??)，??????Rn;S????V?? (4-20)

??而这个求极小化的问题可以看转化成对如下泛函式进行求解：

~2~22J?S????V??H(??)?S????V???? (4-21) 的极小化的问题，?是一个大于0的常数。对泛函式(4-10)的极小化的问题进行求解等价于求解：

~(STS???I)???ST?V (4-22)

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~对于一切式(4-22)中I为与STS阶数相同的单位矩阵，式(4-11)的解??正?存在且唯一，因此有：

~~~?(STS???I)?1?ST?V???S*??V (4-23) 上式中S*?(STS???I)?1?ST是Tikhonov正则化逆矩阵，?称作正则化参数。

Tikhonov正则化算法将测量电压扰动的影响纳入了其考虑的范围，因此在对不适定问题进行求解的时候，可以获得相对较为稳定的解。Tikhonov正则化方法对雅克比矩阵的广义逆矩阵加入了正则化修正，而不是像灵敏度系数法那样单纯的以ST作为S的逆矩阵，通过选择合适的正则化参数?可以得到较为精确的传输管道内电导率分布变化的图像。而且在应用Tikhonov正则化算法实现EIT求解时，仅仅比灵敏度系数算法多了几个矩阵的乘法及求逆，这些运算在Matlab中占用的运算时间是微不足道的，因此同样可以满足实时性的要求[45]。

4.3.4 不同算法图像重建效果对比

为了对比不同的重建算法所重构出来的图像的效果，从而选择一种成像效果较好，适合进行微通道两相流图像重建的算法，本文基于EIDORS软件包采用上述三种算法分别对不同的电导率分布模型进行了图像重建。为了从数值上更清楚的对比各重建图像的效果，引入了相对残差Re来评价所重建的图像的精确度：

~????? (4-24) Re???~为经过EIT逆问题求解之后所得其中??为真实的电导率分布的变化，??的电导率分布的变化。

假设各模型初始的电导率分布均为单相流均匀分布，即没有杂质掺入，以下对比图中的均为电导率发生变化之后的模型，灰度较深的单元即为掺入的具有另一种电导率的离散相。电导率分布模型及采用不同算法进行逆问题求解得到的图像如图4-1所示，其中Tikhonov正则化参数?定为0.001，迭代Landweber算法进行了30次迭代运算。

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第4章 EIT技术图像重建算法

模型1 模型2 模型3

STM

Tikhonov

Landweber

图4-1 各算法得到的图像效果对比

表4-2为采用以上几种重建算法对不同的模型进行重建所对应的相对残

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差值：

表4-2 各算法对模型进行重建对应的相对残差值

重建算法 模型1 模型2 模型3

灵敏度系数算法

1.0003 1.0002 0.9977

Tikhonov正则化算法

0.9895 0.9844 0.8910

迭代Landweber算法

0.9979 0.9955 0.9534

通过对比图4-1中各算法重建出来的图像效果及表4-2中个算法重建之后与原始电导率分布的相对残差值，可以发现，无论是对于哪种模型，Tikhonov正则化算法得到的图像的效果都是最好的。使用灵敏度系数算法进行图像重建，虽然运算过程相对简单，但是重建出的图像几乎分辨不出离散相的形状及位置。迭代Landweber算法经过一系列的迭代运算对雅克比矩阵的广义逆矩阵进行了近似估计，相对于灵敏度系数算法，重建的图像效果要好很多，基本上能够分辨出离散相的大体位置，但是无法分辨出离散相的大体形状及大小，尤其是使用该算法对模型3进行图像重建所的的图像，根本无法分辨出离散相的环形形状。

通过对比可以发现，Tikhonov正则化算法在不需要迭代的情况下就比其他两种算法得到的图像效果好很多。使用该算法重建的图像相对于原始模型的电导率分布的相对残差也是最小的。能够基本上分辨出离散相的位置及形状。但是，如果需要比较高的图像精度的话,Tikhonov正则化算法将无法满足要求。因此，需要在该算法的基础上，采用一定的迭代因子进行迭代运算，通过不断的迭代对运算的结果进行修正，从而使重建出来的图像更为精确。

4.4 本章小结

本章主要研究的是EIT成像问题中的逆问题。EIT的逆问题主要就是图像重建算法的研究，因此本章介绍了目前常用的几种图像重建算法，并且对不同的流型进行重建，通过比较不同算法的重建图像，分析了各种算法的优缺点。

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结论

结论

本文主要针对EIT技术中的静态成像部分进行了深入的研究。首先利用数值计算方法中的有限元法(FEM)来求解EIT正问题，完成的主要工作有：建立EIT正问题数学模型，在Matlab环境下编写有限元剖分程序，然后分析讨论EIT逆问题中的几种图像重构算法，并在此基础上研究了STM算法、Landweber算法、Tikhonov正则化算法。最后基于Matlab仿真软件，验证EIT成像过程。

在正问题求解过程中，通过研究我们发现，有限元剖分对成像分辨率的影响主要体现在两个方面：一是由于中心区域和边界区域对磁场的敏感程度不同，在对区域模型进行剖分时，不同区域的疏密程度会对成像结果产生一定的影响；二是剖分单元数，单元数越多，仿真的结果越准确，但同时会增加计算量，减慢成像速度。

对于图像重建部分，主要完成的工作包括：研究了非迭代算法与迭代算法的成像模型，具体介绍了STM算法、Landweber算法及Tikhonov正则化算法，并对三种不同的流型进行成像，得出了这三种常用算法的特点。

目前，国内对于单频、二维EIT的研究已经比较成熟，而从事多频以及三维EIT的研究小组还比较少。随着人们对EIT技术研究的深入，很容易发现，当电流通过生物组织时，其传输路径和射线不同，它并不在一个平面上传输，而是分布在一个三维空间内。目前，三维EIT主要以圆柱体为研究对象，电极阵列为全电极模型。正问题一般采用四面体基于一阶或二阶函数的有限元法，逆问题求解算法正则化和高斯一牛顿型一次性迭代法、各向异性成像算法及Gap模型与NORSE算法相结合的方法。

与二维EIT相比，三维EIT研究的困难在于：一是对计算速度和存储容量的要求要远远高于二维情况；二是如何选择合适的重建算法和如何选择与人体复杂的组织结构更为接近的图像重构模型。虽然如此，由于三维EIT的研究更具意义，更能体现生物体阻抗特性的变化和分布，相信不久的将来，随着三维EIT技术的成熟，该技术在临床应用中可以为医生提供更多的诊断依据。

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致谢

致谢

经过了将近四个月的时间终于将这篇论文完成了，在整个毕设的过程中以及最后论文写作的过程中，我遇到了很多的困难和障碍，都在老师和同学的帮助下度过了。特意在这里向他们献上感谢。

首先，要感谢的是我的指导老师——刘永红老师。刘老师从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我进行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的给我指出错误。他对图像重建的专业研究和对该课题深刻的见解，使我受益匪浅。刘老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格给我留下深刻的印象。在此向刘老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

此外，感谢学校给我们提供的这次机会，通过这次毕设熟练掌握了Matlab软件。感谢我的父母，给予我的支持。感谢我的舍友，无微不至的关怀。感谢在毕设期间曾帮助过我的伙伴们。

最后，我再一次真诚地向帮助过我的老师和同学表示感谢！

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附录1 开题报告

燕 山 大 学

本科毕业设计(论文)开题报告

课题名称： EIT图像重建技术研究 学院(系)： 电气工程学院 年级专业： 10检测1班 学生姓名： 翟倩 指导教师： 刘永红 完成日期： 2014年3月27 日

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cb2o.html