2015年江苏省镇江市高考数学模拟试卷

2015年江苏省镇江市高考数学模拟试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．（5分）（2013?崇明县二模）已知a∈R，若（3+2i）﹣ai（3﹣2i）（i为虚数单位）为纯虚数，则a的值等于 ． 2 2．（5分）（2014?崇明县一模）已知全集U=R，A={x|x﹣2x＜0}，B={x|log2x+1≥0}，则A∩（?UB）= ． 3．（5分）（2013?崇明县二模）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从 一批该日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下： X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 0.15 0.1 则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为 ． 2 4．（5分）（2013?崇明县二模）如图所示的算法流程图中，若f（x）=2x+3，g（x）=x，若输入x=e（e=2.7182…）， 则输出h（x）的值等于 ． 5．（5分）（2012?镇江模拟）若，，则与的 夹角为锐角的概率是 ． 6．（5分）（2012?镇江模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S9=72，则a2+a4+a9= ． 7．（5分）（2012?镇江模拟）设向量，，其中0＜α＜β＜π，若 ，则β﹣α= ． （5分）（2012?镇江模拟）椭圆 8．|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 9．（5分）（2015?上海模拟）已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则 的值等于 ． 10．（5分）（2012?镇江模拟）四面体的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，记其中最大的面积为S，则的，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足取值范围是 ． 22 11．（5分）（2014?上海模拟）已知曲线C：x+y=9（x≥0，y≥0）与直线x+y=4相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），

1

则x1y2+x2y1的值为 ． xxxxxx12．（5分）（2012?镇江模拟）问题“求方程3+4=5的解”有如下的思路：方程3+4=5可变为 考察函数f（x）=+6+=1，可知，f（2）=1，且函数f（x）在R上单调递减，∴原方程有唯一解x=2．仿32照此解法可得到不等式：x﹣（2x+3）＞（2x+3）﹣x的解是 ． 13．（5分）（2012?镇江模拟）正项等比数列{an}中，存在两项am，an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则最 小值 ． 22214．（5分）（2012?镇江模拟）正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在线段AB，AD上．若3|MN|+|CM|+|CN|=，则|AM|+|AN|的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）（2012?镇江模拟）在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=，b=3，sinC=2sinA． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求 的值． 16．（14分）（2014?南昌模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD， PA=BC=1，，F是BC的中点． （Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC； （Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A﹣CDG的体积． 17．（14分）（2012?镇江模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140 ＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ （16分）（2012?镇江模拟）已知椭圆G： 18．+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．过点F作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆G于A、B两点，M（2，0）是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为k1． （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出这个常数λ；若不存在，请说明理由．

2

19．（16分）（2012?镇江模拟）设x=m和x=n是函数 a∈R． （Ⅰ） 求f（m）+f（n）的取值范围； （Ⅱ） 若，求f（n）﹣f（m）的最大值． 的两个极值点，其中m＜n，注：e是自然对数的底数． 20．（16分）（2012?镇江模拟）已知数列An：a1，a2，…，an．如果数列Bn：b1，b2，…，bn满足b1=an，bk=ak﹣1+ak ﹣bk﹣1，其中k=2，3，…，n，则称Bn为An的“生成数列”． （1）若数列A4：a1，a2，a3，a4的“生成数列”是B4：5，﹣2，7，2，求A4； （2）若n为偶数，且An的“生成数列”是Bn，证明：Bn的“生成数列”是An； （3）若n为奇数，且An的“生成数列”是Bn，Bn的“生成数列”是Cn，…．依次将数列An，Bn，Cn，…的第i（i=1，2，…，n）项取出，构成数列Ωi：ai，bi，ci，…证明：数列Ωi是等差数列，并说明理由． 三、选做题，在下面21、22、23、24四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． 21．（10分）（2012?镇江模拟）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E， 过E点的圆的切线交CA的延长线于P．求证：PD2=PA?PC． 22．（10分）（2012?镇江模拟）选修4﹣2：矩阵与变换 已知矩阵M （1）求矩阵M的逆矩阵； （2）求矩阵M的特征值及特征向量． 23．（2012?镇江模拟）（坐标系与参数方程选做题） 已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）． （Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程； （Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和． 24．（2014?江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲 若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值． 四、必做题 25．（10分）（2012?镇江模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO． （1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值； （2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．

3

2 26．（10分）（2014?商丘三模）如图，过抛物线C：y=4x上一点P（1，﹣2）作倾斜角互补的两条直线，分别与 抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2） （1）求y1+y2的值； （2）若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值． 4

2012年江苏省镇江市高考数学模拟试卷（5月份）

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1．（5分）（2013?崇明县二模）已知a∈R，若（3+2i）﹣ai（3﹣2i）（i为虚数单位）为纯虚数，则a的值等于 考点： 专题： 分析： 解答： 复数的基本概念． 计算题． 先根据复数的基本运算化成a+bi的形式，然后根据纯虚数的概念建立等式，可求出a的值． 解：（3+2i）﹣ai（3﹣2i）=3﹣2a+（2﹣3a）i ∵（3+2i）﹣ai（3﹣2i）（i为虚数单位）为纯虚数 ．

∴（3+2i）﹣ai（3﹣2i）的实部为0即3﹣2a=0解得a= 故答案为： 点评： 本题主要考查了纯虚数的概念，以及复数的基本运算，属于基础题，容易题． 2

2．（5分）（2014?崇明县一模）已知全集U=R，A={x|x﹣2x＜0}，B={x|log2x+1≥0}，则A∩（?UB）= （0，） ． 考点： 分析： 解答： 交、并、补集的混合运算． 由题设条件先分别求出集合A和B，再由补集的运算求出CUB，然后再求A∩CUB． 2解：A={x|x﹣2x＜0}=（0，2） B={x|log2x+1≥0}=【，+∞） ∴CUB=（﹣∞，） ∴A∩（CUB）=（0，） 故答案为：（0，）． 点评： 本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用． 3．（5分）（2013?崇明县二模）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下： X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 0.15 0.1 则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为 20 ． 考点： 频率分布表． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 通过频率和为1，求出a，然后求出所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数． 解答： 解：因为所抽个体的频率和为1，所以a+0.2+0.45+0.15+0.1=1， ∴a=0.1， 5

所以所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为：200×0.1=20． 故答案为：20． 本题考查分层抽样，频率的应用，考查计算能力． 2

点评： 4．（5分）（2013?崇明县二模）如图所示的算法流程图中，若f（x）=2x+3，g（x）=x，若输入x=e（e=2.7182…），则输出h（x）的值等于 2e+3 ．

考点： 专题： 分析： 解答： 选择结构． 图表型． 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算两个函数值中较大者，代入x=e比较大小函数值的大小，即可得到答案． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 2该程序的作用是计算两个函数f（x）=2x+3，g（x）=x值中较大者的值， 22∵x=e时，f（e）=2e+3，g（e）=e，e＜2e+3 则输出h（x）的值等于2e+3． 故答案为：2e+3 要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题． 点评： 5．（5分）（2012?镇江模拟）若夹角为锐角的概率是 考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的运算；概率的应用． 计算题；平面向量及应用；概率与统计． ，，则与的

．

向量与的夹角为锐角的充要条件是：?＞0，同时与不平行．由此结合题中数据得到x＞y且x+y≠0，再计算出所有（x，y）的取法，和符合条件的（x，y）的取法，用随机事件的概率公式可算出所求的概率． 解答： 解：设∵?=|∴θ∈（0，与的夹角为θ，若|?||cosθ ）时cosθ＞0，得?=||?||cosθ＞0 与的夹角为锐角，即θ∈（0，）， 6

∵， 与不平行，得x+y≠0 ?＞0，夹角θ为锐角 ∴?=x﹣y＞0，同时由以上的讨论，得当x＞y且x+y≠0时，∵x，y∈{﹣2，﹣1，0，1，2} ∴x，y的所有取法有5×5=25种， 其中x＞y且x+y≠0的取法有：（2，﹣1），（2，0），（2，1），（1，﹣2）， （1，0），（0，﹣2），（0，﹣1），（﹣1，﹣2），共8种情况 ∴与的夹角为锐角的概率是P=故答案为：点评： 6．（5分）（2012?镇江模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S9=72，则a2+a4+a9= 24 ．

考点： 等差数列的性质；数列的求和． 专题： 计算题． 分析： 先根据等差中项性质可知S9=9a5，进而求得a5，最后根据a2+a4+a9=（a2+a9）+a4=（a5+a6）+a4=3a5，求得答案． 解答： 解：∵{an}是等差数列， ∴S9=9a5，a5=8 ∴a2+a4+a9=（a2+a9）+a4=（a5+a6）+a4=3a5=24． 故答案为：24 点评： 本题主要考查等差数列中等差中项的性质，即在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等．并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍． 本题以随机事件的概率的计算为载体，考查了向量数量积的计算公式和两向量夹锐角角的充要条件等知识，属于基础题． 7．（5分）（2012?镇江模拟）设向量

，则β﹣α=

考点： 分析： 向量的模． ，

．

，其中0＜α＜β＜π，若

利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积公式求出向量的平方列出方程求出，求出两个角的差． ，， =cos（β﹣α） ；利用向量模的平方等于解答： 解：∵∴∵∴ 7

∴ 即cos（β﹣α）=0； 又有0＜α＜β＜π， ∴故答案为点评： 本题考查向量模的坐标公式、向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方． 8．（5分）（2012?镇江模拟）椭圆

，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足

|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是 [，1） ． 考点： 专题： 分析： 椭圆的简单性质． 计算题． 由椭圆的定义可得 e（x+心率e的取值范围． ）=2?e（﹣x），解得x=，由题意可得﹣a≤≤a，解不等式求得离解答： 解：设点P的横坐标为x，∵|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+∴x=，由题意可得﹣a≤≤a， ）=2?e（﹣x）， ∴≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[，1）， 故答案为：[，1） 点评： 本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+的关键． 9．（5分）（2015?上海模拟）已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则

的值等于 5 ．

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据Rt△AOE中余弦）=2?e（﹣x），是解题的定义，算出=解答： ==8，同理得=（8+2）=5． ==2．再由M是BC边的中点，可得解：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点 可得Rt△AEO中，cos∠OAE== 8

∴=?==8， 同理可得==2 ， =（+）==5 ∵M是BC边的中点，可得∴=故答案为：5 点评： 本题将△ABC放在它的外接圆O中，求中线AM对应的向量与的数量积之值，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题． 10．（5分）（2012?镇江模拟）四面体的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，记其中最大的面积为S，则取值范围是 （，] ． 考点： 专题： 分析： 棱锥的结构特征． 空间位置关系与距离． 的

当四个面面积相等，都为S时，此时体，有轻微隆起，其他3个面的和大于S，取最大值4；当四个面面积不等时，由于是四面取最小值2，确定出的范解答： 围，即可求出所求式子的范围． 解：∵四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，S表示它们的最大值， ∴当S1=S2=S3=S4时，取最大值4，即≤4， ∵棱锥的高趋近0时，S1+S2+S3+S4的值趋近2， ∴S1+S2+S3+S4＞2S，即∴2＜≤4，即＜＞2， ≤， 则的取值范围是（，]， 9

故答案为：（，] 点评： 11．（5分）（2014?上海模拟）已知曲线C：x+y=9（x≥0，y≥0）与直线x+y=4相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1y2+x2y1的值为 9 ． 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 直接利用直线与圆的方程联立方程组，求出点A（x1，y1），B（x2，y2），即可求解x1y2+x2y1的值． 22解答： 解：曲线C：x+y=9（x≥0，y≥0）与直线x+y=4联立方程组，消去y， 此题考查了棱锥的结构特征，找出2

2

的范围是解本题的关键． 可得：x+（4﹣x）=9，即：2x﹣8x+7=0，解得x1=222，y1=，x2=，y2=； 则x1y2+x2y1==9． 点评： 故答案为：9． 本题考查直线与圆的位置关系，基本知识的考查． x

x

x

x

x

x

12．（5分）（2012?镇江模拟）问题“求方程3+4=5的解”有如下的思路：方程3+4=5可变为考察函数f（x）=

+

6

+=1，

可知，f（2）=1，且函数f（x）在R上单调递减，∴原方程有唯一解x=2．仿

3

2

照此解法可得到不等式：x﹣（2x+3）＞（2x+3）﹣x的解是 {x|x＜﹣1或x＞3} ． 考点： 进行简单的合情推理． 专题： 压轴题． 6233分析： 把给出的不等式变形为x+x＞（2x+3）+（2x+3），然后引入函数f（x）=x+x，由函数的单调性把不等式转化为较为简单的不等式，求解不等式得答案． 632解答： 解：把不等式：x﹣（2x+3）＞（2x+3）﹣x变形， 623得到x+x＞（2x+3）+（2x+3）． 3考察函数f（x）=x+x，函数f（x）在R上为增函数， 故f（u）＞f（v）?u＞v． 6232不等式x+x＞（2x+3）+（2x+3）中的x看作u，2x+3看作v． 2则有x＞2x+3，解得x＜﹣1或x＞3． 故答案为x＜﹣1或x＞3． 点评： 本题考查了简单的合情推理，解答的关键是把复杂的高次不等式通过合理变化，转化为较为简单的不等式，这里构造函数且利用函数的单调性进行转化是解答该题的着眼点，此题是中档题． 13．（5分）（2012?镇江模拟）正项等比数列{an}中，存在两项am，an使得小值 考点： 专题： 分析： 解答：

=4a1，且a6=a5+2a4，则

最

．

基本不等式；等比数列的通项公式． 不等式的解法及应用． 利用等比数列的通项公式可得q，进而点到m+n=6，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0． 10

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