线面积分习题答案

线 面 积 分 习 题

一、填空

1.设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分

? L(x2?y2)ds?（ ? ）.

2. 设C为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)，则

22?C(x2?y2)ds=2?a3

33．L为圆周x?y?2x沿逆时针方向, 计算?xdy?ydx= 。

L??3解：设D:x?y?2x，由格林公式得

2cos??332232d?xdy?ydx?3rdr ?(3x?3y)dxdy??????0??D2L22???12?

2??231?9cos?d??24?2cos4?d??24?????。

042224?4．L为上半圆周y?2ax?x2沿逆时针方向, 计算

?(eLxsiny?2y)dx?(excosy?2)dy= 。

解：记L1为y?0上从x?2a到x?0的有向线段，D:0?y?由格林公式得

2ax?x2，

?L?L1(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy???2dy??a2，

D?所以 ?(e又

L1(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy?0，

xLsiny?2y)dx?(excosy?2)dy??a2。

5. 已知在力F?P i ?Qj?R k的作用下,一质点沿有向曲弧段L的正向从一端移动到另一端所作的功为

W?（ W??Pdx?Qdy?Rdz ）.

L6. 向量场A?(2z?3y) i?(3x?z)j?(y?2x) k的散度和旋度分别为divA?（ divA=0 ）;rotA?（ rotA?2 i?4j ?6k ）.

x2y27. 设C为依逆时针方向沿椭圆2?2?1一周路径，则?(x?y)dx?(x?y)dy= ?2?ab

Cab8. 设?为球心在原点，半径为R的球面的外侧，在

9. 设?是由锥面z???xdydz?ydzdx?zdxdy= 4?R?3

x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整个边界的外侧，则

2)?R3

??xdydz?ydzdx?zdxdy=(2??22k10. 设有力场F?(x?y)(yi?xj)(y?0)，已知质点在此力场内运动时，场力F所作的功与路径的选择无

关，则k= ?1

11. （2006）设?是锥面Z=x?y(0?Z?1)的下侧，则

22??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy??2?

?x2?y2?1解：补一个曲面?1:?上侧 P?x,?z?1?P?Q?R???1?2?3?6 ?x?y?z∴ 而

Q?2y,R?3(z?1)

??????????6dxdydz?6V（V为上述圆锥体体积）?6??1?1?3?2?

???dydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0（∵在??122上：z?1,dz?0）

12. （2004）设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，则曲线积分

3xdy?2ydx? . 的值为 ?L2解： 正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，可表示为

22 ??x?2cos?,?y?2sin?,?20?:0??2.

于是

?xdy?2ydx??L[2cos??2cos??22sin??2sin?]d?

? =??

?2202sin2?d??3?. 213. （2011）设L是柱面方程x?y?1与平面z?x?y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，

2y2dz? . 则曲线积分?xzdx?xdy?L2【答案】 ?

解: 斯托克斯公式法，取绷在L上的曲面为S:x?y?z?0,x?y?1，向上

22则原式=

??Sdydzdzdxdxdy??????ydydz?xdzdx?dxdy

?x?y?zSxz'x'y22因z?x?y,zx?1,zy?1.由转换投影法：

??ydydz?xdzdx?dxdy???S[y?(?1)?x(?1)?1]dxdy?D:x2?y2?1D:x2?y2?1??(?x?y?1)dxdy??.

用参数法来解

?x2?y2?1，参数方程L':x?cost,y?sint,z?0 L在xoy平面上的投影曲线L':??z?0t从0到2?，则L的参数式为L：x?cost,y?sint,z?cost?sint，t从0到2?.于是原式

=

?2?0(sint)2[cost(cost?sint)(?sint)?costcost?(cost?sint)]dt??.

214. （2007）设曲面?:x?y?z?1，则解： 由于曲面?关于平面x=0对称，因此

??(x?|y|)dS= ?43. 3??xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具有轮换对称性，于是

????(x?|y|)dS=??|y|dS=??|x|dS=??|z|dS=

???1(|x|?|y|?|z|)dS 3???=

1341??8?3. =dS3233???15.（2010）已知曲线L的方程为y?1?x,x?[?1,1],起点是(?1,0),终点是(1,0),则曲线积分 0

【解析与点评】令

?Lxydx?x2dy?

?x?t?x?tL1:??1?t?0 L2:?0?t?1

y?1?ty?1?t???Lxydx?x2dy??xydx?x2dy??xydx?x2dy??t?1?t??t2dt??t?1?t??t2dtL1L2?1001

?23t2???t??2??3

二、选择题

1. 设曲线L:y?x2,x?1,则在

(A)(C)0?1?t223?1????t?0?0

?23??Lf(x,y)ds中,被积函数f(x,y)取( C )时,该积分可以理解成L的质量.

x?y?2; x?3.

x?y; (B)x?y?2; (D)2. 已知有向光滑曲线L:x??(t),y??(t)???t???的始点B对应的参数值为?,终点A对应的参数值为?,则

?Lf(x,y)dx?( C )

(A)???f?? (t),?(t)?dt; (B)??f??(t),?(t)?dt;

?(C)????f??(t),?(t)???(t)dt; (D)??f??(t),?(t)???(t)dt.

3. 当表达式Pdx?Qdy中函数P,Q取( A )时,此式在其定义域内必为某一函数的全微分.

(A)P??yxx2?y2,Q?x2?y2;(B)P?yx2?y2,Q?xx2?y2; (C)P?xx2?y2,Q??yx2?y2;(D)P?xx2?y2,Q?yx2?y2

4．已知曲线弧L:y?1?x2(0?x?1)，计算?Lxyds=( )。

(A) 1 (B) 0 (C)

12 (D) ?12 2解： ds?1???dy???x?2?dx??dx?1?????1?x2?dx?1?1?x2dx，

?Lxyds??110xdx?2。

注：计算曲线积分时，对圆弧宜用参数方程。

5．设L是曲线x?t?1,y?t2?1上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算I??L2ydx?(2?x)dy=( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解： I??1[2(t2?1)?(1?t)?2t]dt=?100(2?2t)dt?3。

6. 设?:x2?y2?z2?a2,(z?0),?1为?在第一卦限的部分,则有( C )

(A)??xdS?4??xdS; (B)??ydS?4??xdS;

??1??1(C)??zdS?4??xdS; (D)??xyzdS?4??xyzdS.

??1??17. 曲面积分

??z2dxdy在数值上等于( D ).

?(A) 面密度为z2的曲面?之质量; (B) 向量z2 i穿过曲面?的流量;

(C) 向量z2j 穿过曲面?的流量; (D) 向量z2k 穿过曲面?的流量.

8. 对于格林公式

?QLPdx?Qdy???(??x??P?y)dxdy，下述说法正确的是（ C ） D (A) L取逆时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶偏导数且

?Q??x?P?y (B) L取顺时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶偏导数且

?Q?P?x??y (C) L为D的正向边界，函数P，Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数 (D) L取顺时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数

9. 取定闭曲面?的外侧，如果?所围成的立体的体积是V，那么曲面积分=V的是（ D ） (A) (B) (C)

??xdydz?ydzdx?zdxdy

???(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy

???(x?y?z)(dydz?dzdx?dxdy)

? (D)

???1(x?y?z)(dydz?dzdx?dxdy) 310. C为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线，则

?Cxdy?ydx=（ B ）

x2?4y2 (A) 4? (B) 0 (C) 2? (D) ? 11. 设?为x?y?z?a在z?h(0?h?a)部分，则 (A) (C)

2222??zdS=（ B ）

???2?02?d??d??a2?h20a2?h2a?rrdr (B) ?d??0222?a2?h20ardr

0?a2?hardr (D) ?d??202?a2?h20a2?r2rdr

12. 设A?P(x,y)i?Q(x,y)j,(x,y)?D，其中P，Q在区域D内具有连续的一阶偏导数，又L是D中任一曲线，则下列关于曲线积分的论断，其中不正确的是（ C ） (A) 如果A?dl与路径无关，则在区域D内，必有

L??Q?P? ?x?y (B) 如果A?dl与路径无关，则在区域D内，必存在单值函数u(x,y)，使得

L?du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy

(C) 如果在区域D内，

?Q?P?，则必有?A?dl与路径无关 ?x?yL (D) 如果对D中的每一条闭曲线C，恒有A?dl?0，则A?dl与路径无关

LL??13. L为圆周x?acost,y?asint(a?0,0?t?2?), 求 (A) 2?a2n?1? L(x2?y2)ds( A ).

2n?1n (B) 0 (C) 2? (D) 4?a

解 (方法一)化为定积分

ds?x?2(t)?y?2(t)dt?(?asint)2?(acost)2dt?adt

? L(x?y)ds?22n??(acost) 2? 02?(asint)2? n?adt

?? 2? 0a2n?1dt?2?a2n?1

(方法二)

? L2(x?y)ds? a2nds?2?a2n?1

L222n?14.L是圆x?y?2x(y?0)上从原点O(0,0)到A(2,0)的一段弧, 计算曲线积分ydx?xdy( )。

L? (A) 4? (B) 0 (C) 2? (D) ?

解：由于P?y,Q?x,?Q?P??1,于是此积分与路径无关，故 ?x?y(2,0)(0,0)?ydx?xdy?LOA?ydx?xdy??ydx?xdy??0dx?0.02

?x2?y2?1,15. C是曲线?从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的, 计算曲线积分

?x?y?z?2,C?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz( A )。

(A) ?2? (B) 0 (C) 2? (D) ?

解1：设?表示平面x?y?z?2上以曲线L为边界的曲面，其中?的正侧与L的正向一致，即?是下侧曲面，

?在xoy面上的投影区域Dxy：x2?y2?1.由斯托克斯公式

dydzdzdxdxdy??xz?y??yx?z? ?zx?yC?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz?????2??dxdy??2??dxdy??2?.

?Dxy解2：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设x?cos?,y?sin?,则

z?2?x?y?2?cos??sin?,?从2??0.

C?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

??[(2?cos?)(?sin?)?(2cos??2?sin?)cos??(cos??sin?)(sin??cos?)]d?

2?0??[2(sin??cos?)?2cos2??cos2?]d???[2sin??1?cos2?]d???2?.

002?2?

三、计算题

1．计算曲线积分I??L22?xdy?ydx，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周（R?1），取逆时针方向。 22?4x?y解：取L1:4x?y?1，沿逆时针方向。记D为L与L1所为环域，

y?Py2?4x2 P??，， ?4x2?y2?y(4x2?y2)2x?Qy2?4x2 Q?，， ?222224x?y?x(4x?y)由格林公式得

?Q?P?xdy?ydx?(?)dxdy?0， ?22???x?y?L?L14x?yD?xdy?ydx??xdy?ydx??。 I??224x?y?L1L1

2. 计算e L?x2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?a2,直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

分析 由于曲线L分段光滑,要利用可加性计算. 解 e L?x2?y2ds?e L1?x2?y2ds?e?x2?y2 L2ds?e?x2?y2 L3ds

L1的方程为 y?x,?0?x???2?22?a? ??ds?1?y?(x)dx?2dx

yL1?e L1x2?y2ds??2 a2 0L22e2xdx

OL3ax??2 a2e2xd( 02x)?ea?1

图10-2 L2的方程为：x?acost,y?asint,??0?t?????

4?ds?x?2(t)?y?2(t)dt?(?asint)2?(acost)2dt?adt

?所以

L2ex2?y2ds??4 0 ?aeadt?? a4ea

L3的方程为 y?0,(0?x?a)，ds?1?y?2(x)dx?dx.e?x2?y2 L3ds?? a 0exdx?ea?1

?

Lex2?y2ds?e L1?x2?y2ds?e?x2?y2 L2ds?e?x2?y2 L3ds ?ea?1?? a?? a?ea?ea?1???2?ea?2 4?4?3. 计算

? L(4x3?x2y)ds,其中L为折线段x?y?1所围成区域的整个边界.

2解 : 由于曲线L关于y轴对称,而4x3是关于x的奇函数,故4x3ds?0,又xy是关于x,y都是偶函数,故

? L

? Lxyds?4?xyds?4?x(1?x)2dx?L10221212 3所以

? L(4x3?x2y)ds?12 3y1L2?1注意 一般地,若曲线L关于y轴对称,则有 ?2f(x,y)ds,f(?x,y)?f(x,y)? f(x,y)ds?? L1 L??0, f(?x,y)??f(x,y)其中L1是L在x?0的部分.

??L1OL3若曲线L关于x轴对称,则有

?2f(x,y)ds,f(x,?y)?f(x,y)? f(x,y)ds?? L1 L??0, f(x,?y)??f(x,y)其中L1是L在y?0的部分.

1xL4???1图10-3 4. 计算

? Lx2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?ax?a?0?.

解 (方法一)如图10-4（a）,L的参数方程为x?aa(1?cost),y?sint,?0?t?2?? 22yads?x?(t)?y?(t)dt?dt

222? Lx?yds?22? 2? 0 2?a2tcosd t 22cost?dt??2a2 2?tOa2??2??? ? 0tcosdt?2a2图10-4(a)

x?? ????(方法二) L的极坐标方程为r?acos?,??????

2??2ds?x?2????y?2???d??r2?r?2d??ad?

?22? Lx2?y2ds???a ?2 cos? d??2a2?2 0 ?cos? d??2a2

注意 ① 在方法一中,参数t表示圆心角,而在方法二中,参数?表示极坐标系下的极角,参数的意义不同,一般取值范围也不相同.

②若曲线在极坐标系下的方程为r?r(? ),则ds?r2?r?2d?,可直接引用此式. ③ 该例也可以先利用对称性化简,再化为定积分计算. 5. 计算

? L(x2?2y)dx?(2x?y2)dy,其中L是曲线y?1?1?x对应于x?0的点到x?2的点．

y解 如图10-6，用Green公式

I????(2?2)dxdy??x2dx

D028所以 ?(x?y)dx?(x?y)dy?

L32222L1L2

6. 计算

O1图10-5 2x??xyzdz,其中?是用平面y?z截球面x 2?y2?z2?1所得的截痕,从x轴的正向看去,沿逆时针方向．

解 将y?z代入球面方程x2?y2?z2?1消去z得，x2?2y2?1,令x?cost,y?12sint,并将其代入

y?z得,z?12sint.

12sint,z?12sint,始点参数为0,终点参数为2?.

?:x?cost,y??? xyzdz?1? 2? 0211costsin2t?costdt 221162?82? 2? 0sin2tdt?? 2? 0 (1?cos4t)dt?2? 167. 计算

? Lxy2dy?x2ydx其中L为圆周x2?y2?a2,沿逆时针方向.

??Q?P????x??y??dxdy??? a 0解 由格林公式

? Lxy2dy?x2ydx? 2? a??D 2? 0??D(x2?y2)dxdy

?d? 0?? 0r2?rdr?d???r3dr?1? a4 2注意 ① 利用格林公式计算对坐标的曲线积分时,P,Q不要颠倒了.

② 计算沿闭曲线对坐标的曲线积分时,常利用格林公式简化计算.

8. 已知平面区域D??(x,y) 0?x??,0?y???,L为D的正向边界.试证：

?(2)?(1)

L Lxesinydy?ye?sinxdx?? Lxe?sinydy?yesinxdx;

xesinydy?ye?sinxdx?2?2

证明.(1)根据格林公式,得

??故

Lxesinydy?ye?sinxdx?xe?sinydy?yesinxdx???DD(esiny?e?sinx)dxdy

?siny L??(e??(eD?esinx)dxdy

因为D关于y?x对称,所以

siny?e?sinx)dxdy???(eD?siny?esinx)dxdy

? Lxesinydy?ye?sinxdx?? Lxe?sinydy?yesinxdx.

(2)由（1）知

? Lxesinydy?ye?sinxdx???D(esiny?e?sinx)dxdy

???D(esiny?e?sinx)dxdy???D2dxdy?2?2

9. 计算

? L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy,其中L为上半圆周(x?a)2?y2?a2,y?0,沿顺时针方向.

解 如图10-7,由格林公式

又

? OA??Q?P?mxx2(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy ?????dxdy??mdxdy??? a? L?AO??x?y?????2?D?D(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy?0

m? a2

L2 注意 ① 利用格林公式计算沿非封闭曲线的积分时，常用坐标轴上或平行于坐标轴的直线段作为辅助线.

② 辅助线方向的选取应满足它与原积分曲线组成的闭曲线的正向或负向一致． 所以

?(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy??10. 计算

?ydx?xdy2(x?y)22 L,其中L:(x?1)?y?2,沿逆时针方向.

y22解 如图10-7适当选取r?0,作圆周L1:x?rcost,y?rsint，使 L1包含在L的内部,并取L1的方向为顺时针. L,L1包围区域D，由格林公式

?所以

ydx?xdy2(x2?y2) L?L1???D??Q?P????x??y??dxdy ?????D?x2?y2x2?y2??(x2?y2)2?(x2?y2)2?

??dxdy?0 ??LL1Or1x?ydx?xdy2(x2?y2) L???D??Q?P????x??y??dxdy????ydx?xdy2(x2?y2) L1??12?ydx?xdy(x?y)22 L1??12??(?sin 2 0图10-7 2t?cos2t)dt???

注意 在本例中，若把L换为不过原点的任意分段光滑且无重点的闭曲线，应该分为原点在L所包围的区域内和原点不在这个区域内两种情况进行讨论.对前一种情况，曲线积分利用此例的方法就可以求出.

11. 设函数f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑曲线,其始点为(a,b),

1x终点为(c,d).记I?1?y2f(xy)dx?2y2f(xy)?1dy,

Lyy?????(1)证明曲线积分I与路径L无关.

(2)当ab?cd时,求I的值.(2002年数学考研题)

x?P1?Q1证明(1) 设P?1?y2f(xy),Q?2y2f(xy)?1. ?f(xy)?2?xyf?(xy)?y?y?xyy????在上半平面内处处成立,所以在上半平面内曲线积分I与路径无关.

(2)(方法一) 如图10-10,由于积分I与路径无关,所以

???y?1?yf(xy)?dx?y?y1c????1?bf(bx)?dx??ybyI?2 ?c,b?1x2 a,b2f(xy)?1dy ???1x1?y2f(xy)dx?2y2f(xy)?1dy ?c,b ?yy ?c,d ????? c2 d2 a b2f(cy)?1dy ??c?a?bf(t)dt y? c abf(bx)dx?? d bcf(cy)dy?cc? db?ca??db? bc abf(t)dt?? cd cbf(t)dt ?ca??db? cd ab当ab?cd时,所以I?? cd abf(t)dt?0,

C(c,d)ca?. db(方法二)

dxxdyI??2? LyyA(a,b)B(c,b)??O Lyf(xy)dx?xf(xy)dy

x图10-9 z?ca??db? Lf(xy)?ydx?xdy??ca??db4? Lf(xy)d(xy) ?因为f(t)连续, 所以F(t)?? t 0f(t)dt存在,

0dF(t)?f(t)dt?f(xy)(xdx?ydy)

3? Lc,d)f(xy)d(xy)??F(xy)? (?a,b??F(cd)?F(ab)

y2当ab?cd时,

? Lf(xy)d(xy)?0,由此得I?ca?. dbx图10-10

12. 已知力场F?yz i?zxj?xyk,问质点从原点沿直线移动到曲面

x2a2?y2b2?z2c2?1在第一卦限部分上的哪一

点作的功最大?并求出最大功.

解 设所求点(x0,y0,z0)在椭球面上,原点到该点的直线的参数方程?:x?x0t,y?y0t,z?z0t，t从0到1. W???yzdx?zxdy?xydz ??(yzt?x?zxt?y 1 000200020?x0y0t2?z0)dt

?3x0y0z0? 1 0t2dt?x0y0z0

x2a2?y2b2?z2c2?1下的极值问题.

求最大功的问题,实际上就是求W?xyz在条件

22?x2?yz?,分别对x,y,z,?求偏导,并令偏导数等于0,得 ???1设F(x,y,z,? )?xyz?? ??a2b2c2???yxFx?yz?2?2?0, ①, Fy?xz?2?2?0, ②

baFz?xy?2?zc2?0, ③,

x2a2?y2b2?z2c2?1, ④

?x2y2?①?x?②?y,得 2? ?2?2??0.

?ab???当??0时,解得(x,y,z)为:(0,0,?c)或(0,?b,0)或??a,0,0?;当??0时,解得 ?y2z2?②?y?③?z,得 2? ?2?2??0

?ba???x2a2?y2b2

解得

y2b2?z2c2x22 ?y22于是有 将⑤代入④,得 x?a3a,y?bb?z2c2 ⑤ .

3,z?c3x2y2z23由问题的实际意义知Wmax?即质点从原点沿直线?移动到曲面2?2?2?1在第一卦限部分上abc，

9abc?abc?3?,,的点?作的功最大,且最大功为W?abc. max??9333??

13. 求

?L(x?1)2ydx?xdy,其中L为椭圆曲线?y2?1上在上半平面内从A(?2,0)?B(4,0)的弧。 229x?y222解：添加辅助线 l为x?y??的顺时针方向的上半圆周以及有向线段AC,DB，其中?是足够小的正数，

(x?1)2?y2?1内。由于 使曲线x?y??包含在椭圆曲线

9222??x?yx2?y2 ， (2)?(2)?22222?xx?y?yx?y(x?y)由格林公式，有设y??sin?,??L??AC????lDB?0.

x??cos?,有

?l??2sin2???2cos2?ydx?xdy??d???,222?x?y?

0再由

AC?ydx?xdyydx?xdy ?0,?0.于是 2222?x?yx?yDB?Lydx?xdy?x2?y2?lydx?xdy??.

x2?y2分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在(0,0)点附近P?y?x,Q? 无定义，于是采用在椭圆内部(0,0)附2222x?yx?y近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。

14. 求八分之一的球面x?y?z?R,x?0,y?0,z?0的边界曲线的重心，设曲线的密度??1.

解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为L1,L2,L3,则L的质量为

z L32222m???ds??ds?3?LL2?R3??R. 42L1 1 设边界曲线L的重心为(x,y,z)，则

x

0 y L222R?x112?xds?x1?()dx x??xds?{?xds??xds??xds}??022mL1mmLmL1R?xL2L32RR?2R??xdx?R2?x2m0mR2?x2由对称性可知x?y?z?R02R22R24R???.

3m?R3?24R. 3?分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线L分成三个部分：

L1:y?0,0?x?R,z?R2?x2,L2:z?0,0?x?R,y?R2?x2,

L3:x?0,0?y?R,z?R2?y2.另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可x?y?z简化计算。

15.计算曲面积分

2222x?y?2x内的部分。 其中为锥面在柱体zdS,z?x?y????解：?在xOy平面上的投影区域为D:x?y?2x，曲面?的方程为

22z?x2?y2,(x,y)?D.

因此

??zdS????D2?2x2?y21?(z?2??x2?y2dxdy. x)?(zy)dxdy?D对区域D作极坐标变换??x?rcos?,则该变换将区域D变成(r,?)坐标系中的区域

y?sin?,?D(r,?):??2????22,0?r?2cos?,因此

?22cos???Dx?ydxdy??2?d???20832rdr??2?cos3?d??.

3?292?分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面?投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将?的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即dS?1?(?y?y?z2?z?x?x)?()2dxdy,或dS?1?()2?()2dzdx,或dS?1?()2?()2dxdz.上解中的

?x?z?x?y?y?z投影区域在xOy平面上，因此用代换dS?1?(算。

?z2?z)?()2dxdy,由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计?x?y16. 设半径为R的球面?的球心在定球面x?y?z?a(a?0)上，问R为何值时，球面?在定球面内部的那部分的面积最大？

解：不妨设?的球心为(0,0,a)，那么?的方程为x?y?(z?a)?R,它 与定球面

2222??x?y?z?a,的交线为?即

2222??x?y?(z?a)?R,22222222?2R2(4a2?R2)2x?y?,?2?4a ?2?z?a?R.?2a?R2(4a2?R2),设含在定球面内部的?上那部分球面?1在xOy面上的投影区域为D，那么D:x?y?4a222且这部分球面的方程为

z?a?R2?x2?y2,(x,y)?D.

则?1的面积为

2?2S???dS???1?(z?x)?(zy)dxdy?R???1DDdxdyR?x?y2222

?R?2?0d??R4a2?R22a0rdrR?r22?2?R(?R?r)2R4a2?R22a0

?2?R2?2a?R. 2a2以下只需求函数S(R)?2?R?2a?R在[0,2a]上的最大值。 2a3R24a4a)?0,得唯一驻点R?,且S??()??4??0.由问题的实际意义知S(R)在由令S?(R)?2?(2R?2a33R?4a4a322a?. 处取得最大值。即R?时，?1的面积最大，为

3327分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的

?上那部分球面?1在xOy面上的投影区域D。在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可

解得结果。 17. 计算曲面积分

??(xy?yz?zx)dS,其中?为锥面z??x2?y2被圆柱面x2?y2?2ax所截得的有限部分.

22解 (方法一) 如图10-11,?在坐标面xoy上的投影区域Dxy为: x?y?2ax.因为dS? 所以

2d?

z?Dxy??(xy?yz?zx)dS

?Dxy???2222??xy?yx?y?xx?y??2dxdy ??y?2??xx?ydxdy

Dxy22o图10-11

x

?2??d? ?2 ?2 ? 2acos? 0?r2cos? rdr ?82a?4?2 0 ??42?64cos5? d??82a4????2a4

?53?15 (方法二) 由于?关于xOz面对称,且被积函数xy及yz是关于y的奇函数,故

??xydS?0,??yzdS?0

??于是

??(xy?yz?zx)dS???zxdS?2??x??Dxyx2?y2dxdy

?642a4 15注意 在计算对面积的曲面积分中,经常用对称性来化简运算.但应用这一性质时,不仅要考虑积分曲面的对

称性,同时要考虑被积函数的对称性.

18. 求均匀曲面?:z?a2?x2?y2的重心坐标.

解 已知?是中心在原点,半径为a的上半球面.由于?关于坐标面yoz,zox均对称,故有 x?0,y?0. 设?的面密度为?,?的质量为M?2?? a2.

1z?? z dS

M???曲面?在坐标面xOy上的投影Dxy:x2?y2?a2,则

z?1M12?? a212?? a2???? zdS?12?? a22Dxy???22a2?x2?y2?1?zx?z2y dxdy

?Dxy??? a?x?y?1?2x2?y2a2?x2?y2a2dxdy

?Dxy???a?x?y?222a2?x2?y2dxdy

?12? a2Dxy??adxdy?1a 21??所以曲面?的重心坐标为:?0,0,a?.

2??x2y219. 设?为椭球面??z2?1的上半部分,点P(x,y,z)??,?为?在点P处的切平面,?(x,y,z)为点

22zdS.(1999数学考研题) O(0,0,0)到平面?的距离,试求

? (x,y,z)???解 设(X,Y,Z)为?上任意一点,?在点P处的切平面?的方程为：

x(X?x)?y(Y?y)?2z(Z?z)?0，即

yx?0??0?z?0?122?x??y?2??????z?2??2?22yYxX??zZ?1 22?(x,y,z)??1yx??z244222

x2y2?,则 ?在坐标面xOy上的投影区域记为Dxy:x?y?2,由z?1?22?y?xzx?, zy?,

2222yyxx21??21??222221?2zx?z2y?4?x2?y2?xy??4?1???22???22

所以

???zdS

? (x,y,z)

?Dxy??x2?y2x2y21???1??2244?x2?y2?xy??4?1???22??? 2 022dxdy

11 2 ?22?(4?x?y)dxdy?d? 4D4 0????3(4?r2) rdr??

2xy20. 计算积分

???(x?z)dxdy,其中?为平面x?z?a含在柱面x2?y2?a2内部分的上侧.

解 如图10-12,?在坐标面xOy上 的投影区域为Dxy:x2?y2?a2.

za??(x?z)dxdy???adxdy?a??dxdy?? a??Dxy3.

Dxyy

21.计算曲面积分夹角为锐角。

SaOx图10-12

22z?x?y(0?z?1), 其法向量与z轴正向的其中为有向曲面(2x?z)dydz?zdxdy,S??解1：设Dyz,Dxy分别表示S在yoz平面，xoy平面上的投影区域，则，

??(2x?z)dydz?zdxdy

S?Dyz2222?(x?y)dxdy (2z?y?z)(?dydz)?(?2z?y?z)dydz??????DyzDxy??4??z?y2dydz???(x2?y2)dxdy.

DyzDxy其中

Dyz??z?ydydz??dy??1211y241z?ydz??(1?y2)3dy

3022令y?sint，

Dyz??4431??z?ydydz??2cos4tdt?????,

30342242?又

Dxy??(x?y)dxdy??222?0d??r2?rdr?01?2,

所以

??(2x?z)dydz?zdxdy??4?S?4??2???2.

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里

的“一投”是指将积分曲面?投向单一型中已指定的坐标面。“二代”是指将?的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面?的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当?的定侧向量指向坐标面的上（右，前）方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。

解2:利用dS?dydzdzdxdxdy??化组合型为单一型. cos?cos?cos???(2x?z)dydz?zdxdy???[(2x?z)SScos??z]dxdy. cos?cos???2x, cos?因S的法向量与z轴正向的夹角为锐角,取n?{?2x,?2y,1},故有于是

原式????[(2x?z)(?2x)?z]dxdy

S?因为

x2?y2?1??[?4x2?2x(x2?y2)?(x2?y2)]dxdy.

x2?y2?122?2x(x?y)dxdy?0,所以 ??上式?x2?y2?12?222[?4x?(x?y)]dxdy??

1?4?0d??(?4r2cos2??r2)rdr??.

02?分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式dS?dydzdzdxdxdy??，先化组合型为统一cos?cos?cos?的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。

解3：以S1表示法向量指向z轴负向的有向平面z?1(x?y?1)，D为S1在xoy平面上的投影区域，则

22??(2x?z)dydz?zdxdy???(?dxdy)???.

S1D设?表示由S和S1所围成的空间区域，则由高斯公式得

S?S1??(2x?z)dydz?zdxdy?????(2?1)dv

???3?d??rdr?2dz??6??(r?r3)dr

00r02?111r2r413??6?[?]0???.

242因此

3?(2x?z)dydz?zdxdy????(??)??. ??22S分析：利用高斯公式

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(???P?Q?R??)dxdydz，可将曲面积分化为三重积?x?y?z分求得。但必需满足P,Q,R在闭区域?上有一阶连续的偏导数，?是边界曲面的外侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了S1，使S?S1为封闭曲面，并使S?S1的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。

22. 计算曲面积分

??(y?z)dxdy?(x?2)dydz,其中?是抛物柱面y??x被平面x?z?1和

z?0所截下的那部分的后侧曲面.

解 如图10-13,因为柱面y?x

z1n?Dyz

在坐标面xoy上的投影是一条曲线,由 定义知

??(y?z)dxdy?0

?0?在坐标面yOz上的投影区域

记为Dyz:0?y?1,0?z?1?y2. 由于?取后侧,故

1x图10-13 1y???(x?2)dydz????(y2?2)dydz??Dyz??(y2?2)dydz

???? 0 1dy 1?y2 0(y2?2)dz?? 1? 1 0(y2?2)?(1?y2)dy

1?6?????2y?y3?y5??

5? 05?注意 将对坐标的曲面积分投影到坐标面上时,不要忽视了?侧.

22. 计算曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中?为有向曲面z?x?2?y2(0?z?1),其法向量与z轴正向的夹角

为锐角．

分析 用高斯公式，添加辅助面化为沿封闭曲面的积分.

解 设?1:z?1 (x2?y2?1)取下侧,?与?1所包围的空间区域?:x2?y2?z?1,?1在xoy面上的投影为Dxy:x2?y2?1.

???1??(2x?z)dydz?zdxdy

2? 1 1z?1??3dv??3? d? ? rdr? dz ???? 0 0 r2z3???

2?O??(2x?z)dydz?zdxdy

?1yx图10-16

???zdxdy????dxdy???

?1Dxy所以

??(2x?z)dydz?zdxdy

?????1??(2x?z)dydz?zdxdy????13?(2x?z)dydz?zdxdy ????(??)??

2223. 计算曲面积分外侧.

xyzdydz?dzdx?dxdy,其中r?x2?y2?z2,闭曲面?包含原点且分片光滑,取其333??rr?r解 设?是由?所围成的空间区域,在?内以原点为中心,作球面?1:x2?y2?z2?a2,取其外侧.?与?1yxz所围成的闭区域记为?1,P,Q,R在?1内具有一阶连续的偏导数,由P?3,Q?3,R?3

rrrxr3?x?3r2?Pr2?3x2?Qr2?3y2?Rr2?3z2r???,?， ?x?y?zr6r5r5r5根据高斯公式,得

??P?Q?R?yxz?dydz?dzdx?dxdy???x??y??z??dxdydz 333rrr????????????11????13r2?3r2r5yr3dxdydz?0

于是

??r?x3dydz?dzdx?zrdxdy?0?3??1??rx3dydz?yr3dzdx?zr3dxdy

????1xyzdydz?dzdx?dxdy?4? 333aaa???常见错解 设?是由?所围成的空间区域,根据高斯公式 xyzdydz?dzdx?dxdy 333rrr???????P?Q?R????x??y??z??dxdydz???????3r2?3r2r5dxdydz?0

错误原因 因为P,Q,R及一阶偏导数在(0,0,0)??处无定义,不满足高斯公式的条件,所以直接应用高斯公

式计算这个积分是错误的. 注意 积分

????^?cos??n,r????dS,其中 n为曲面?上在点(x,y,z)处的外法线向量,r为点(x,y,z)的向径,是本题的另2r一种表达形式,这个积分也称为高斯积分.

axdydz?(z?a)2dxdy24. 计算,其中?为下半球面z??a2?x2?y2的上侧,a为大于零的常数.（1998年数

x2?y2?z2?学考研题）

分析 本题可以根据公式分块计算,也可以添加辅助平面z?0与?构成封闭曲面，然后利用高斯公式计算.但应注意,被积函数在（0,0）点没有定义,所以应先根据曲面积分的性质处理,再添加辅助平面z?0.

??

解 将x2?y2?z2?a代入被积函数,

I????axdydz?(z?a)2dxdyx?y?z222?1a??axdydz?(z?a)?2dxdy

.

设?1:z?0 x2?y2?a2,取其上侧,由高斯公式，得

11I?axdydz?(z?a)2dxdy?axdydz?(z?a)2dxdy

a???a????????11??1a????(3a?2z)dxdydz?1a??Da2dxdy

其中?为???1所包围的区域,D为z?0上的平面区域x2?y2?a2，于是

?1?44I???2zdxdydz?2? a?? a?

a????? 01? 2? a4? ??? d? rdr2zdz?? a? 0?a2?r2a? 0???????1???2?a??2??22?? ??a?r?rdr?? a4???a3

0??2? a2225. 已知流体的速度场v (x,y,z)??2x?z? i ?xyj ?xzj试求单位时间内流过立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面的外侧的流量(流体的密度为1).

z解 流量为??(2x?z)dydz?x2ydzdx?xz2dxdy ????(2?x???? a a 0 02?2xz)dxdydz

a? dx?dx 0 a??dy???? a 0 a 0 0(2?x2?2xz)dz

?2(2a?ax2?a2x)dy

n?1x1图10-17

?a(2a?ax2?a2x)dx

O1y?2a4a4??a2?3????a??2a?3?2??a?2?6?.

????

?x2?y2?126.计算曲线积分(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz其中L是曲线?从z轴的正向看去L的方向是顺

L?x?y?z?2时针的.(1997年数学考研题)

解 设?是平面x?y?z?2上以L为边界的有限部分,其法向量与z轴正向的夹角为钝角,?在xOy平面

?上的投影区域为Dxy:x2?y2?1.P?z?y,Q?x?z,R?x?y.则由斯托克斯公式

?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

L?????dydz??xPdzdx??yQDxydxdy???zR???dydz??xz?ydzdx??yx?zdxdy? ?zx?y???2dxdy??2??dxdy??2?

Dxy??dxdy?hx?y22(x?y)dz?0,

???1222(xcos??ycos??zcos?)dS???Dxy222(h?x?y)dxdy ??1??h4 2??(x?12cos??y2cos??z2cos?)dS???z2dS??1Dxy??hdxdy ??h.

2414222 ???h (xcos??ycos??zcos?)dS??2?38．计算曲面积分??(x?y)dxdy?(y?z)xdydz其中Σ为柱面x2?y2?1及平面z?0,z?3所围成的空间闭区域

??的整个边界曲面的外侧.

解答：P?(y?z)x,Q?0,R?x?y,

?P?y?z,?x?Q?0,?y?R?0, ?z原式????(y?z)dxdydz ????(rsin??z)rdrd?dz ????29? 2??z?y?1,1?y?3,39.计算曲面积分I???x(8y?1)dydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy,其中?是由曲?绕y轴

???x?0旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于

?. 2?x2?z2?2,解：设?1:?表示y?3上与y轴正向同侧的曲面，由?和?1所围立体记为?.由高斯公式得

?y?3???1??x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy????dxdydz,

?因此I?2dxdydz?x(8y?1)dydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy. ???????122由于?在xOz面上的投影区域为D:x?z?2.注意到?1在xOz面，yOz面上的投影不构成区域，且在

?1上y?3,从而?:x2?z2?1?y?3,(x,y)?D,

I???(2?x2?z2)dxdz?16??dxdz?18??dxdz???(x2?z2)dxdz

DDDD36??2??34?.

?x2?z2?2,分析：?是旋转曲面y?x?z?1,1?y?3且指向外侧，在?上补上曲面?1:?指向与y?y?322轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分和?1上的曲面积分进行计算。

40.设空间区域?由曲面z?a?x?y与平面z?0围成，其中a为正常数。记?表面的外侧为S,?的体积为V,证明

222??xS2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy?V.

2222证明：设P(x,y,z)?xyz, Q(x,y,z)??xyz, R(x,y,z)?z(1?xyz),则

?Q?P?R??2xyz2,?2xyz2,?1?2xyz. ?y?x?z由高斯公式知

2222xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy ??S????(2xyz2?2xyz2?1?2xyz)dv????dv?2???xyzdv

????V?2???xyzdv.

????xyzdv???[??x?y?a222a2?x2?y20xyzdz]dxdy?2x?y2?a2??xy(a2?x2?y2)dxdy

2??2?0d??2?0a0r3sin?cos?(a2?r2)2dr,

2由于

?sin?cos?d??0,则???xyzdv?0,因此

???xS2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy?V.

分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明。

41．计算曲线积分??zdx?xdy?ydz,其中?是平面x?y?z?1被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.

解答：按斯托克斯公式, 有

?zdx?xdy?ydz ???dydz?dzdx?dxdy由于?的法向量的三个方向余?弦都为正

?再由对称性知 ??dydz?dzdx?dxdy ?3??d?

?Dxy?

?zdx?xdy?ydz ?3 2y2(0?z?1)的上侧。 42. (2007)计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中?为曲面z?1?x?4?2【分析】 本题曲面?不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，

而在添加的平面域上直接投影即可。

y2?1,z?0，取下侧. 则 【详解】 补充曲面：?1:x?42I? =

???1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy

?1???(z?2z)dxdydz???3xydxdy

?D2y2?1. 其中?为?与?1所围成的空间区域，D为平面区域x?4 由于区域D关于x轴对称，因此

??3xydxdy?0. 又

D10???(z?2z)dxdydz?3???zdxdy=3???zdz??dxdy?3?z?2?(1?z)dz??.

Dz01y2?1?z. 其中Dz:x?42

27. 计算I?? L(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz.其中L是平面x?y?z?2与柱面x?y?1的交线,从

z轴的正向看去L为逆时针方向.

分析 若将曲线化为参数方程,根据曲线积分的计算公式应分段进行计算,比较繁琐.利用斯托克斯公式化曲线积分为曲面积分或降低曲线积分的维数进行计算比较简洁.

解 设?为平面x?y?z?2上L所围成部分的上侧,D??(x,y)x?y?1?为?在xOy面上的投影.由斯托

克斯公式,得 I????cos???xy2?z2cos???y2z2?x2cos??dS ?z3x2?y2??333??其中?cos?,cos?,cos????,,?为?的单位法向量.

??333??I??233???(4x?2y?3z)dS??233???4x?2y?3(2?x?y)?dS

???233??(x?y?6)dS

???233??(x?y?6)D1?(?1)2?(?1)2dxdy

??2??(x?y?6)dxdy

D因为D关于两个坐标轴对称,x和y分别为x及y的奇函数,所以I??12??xdxdy?0,??ydxdy?0.于是,有

DD??dxdy??24

D注意 利用斯托克斯公式进行计算时,曲线L的正向与曲面?的侧要符合右手法则.

????x2y2z228. 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2?2?2?1上第一卦限的点

abc?(?,?,?)，问?,?,?取何值时，力F所作的功W最大？并求出W的最大值。 解：原点到点M(?,?,?)的直线段OM为：x??t,y??t,z??t，t从0到1，

功W为 W??OMyzdx?zxdy?xydz??3???t2dt????，

01下面求W????在条件 下的最大值。

?2a2??2b2??2c2?1(??0,??0,??0) （1）

作拉格朗日辅助函数 L(?,?,?)??????(?2a2??2b2??2c2?1)，

2???L?????0??a2?2???L?????2?0建立方程组 ? b?2??L?????0??2c??L??0[即(1)式]解此方程组，得??

29. 计算I?注：由

a3,??b3,??c3，由问题的实际意义知，Wmax?3abc。 922z?1?x?y?，其中为曲面在第一卦限的部分取上侧。 xdydz?ydzdx?2zdxdy?????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS，

??可得公式

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(?P???z?z?Q?R)dxdy。 ?x?y解：?在xOy面上的投影区域为D:0?y?1?x2,0?x?1， 由公式

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(?P???z?z?Q?R)dxdy ?x?y得 I?

22??(2x?2y?2z)dxdy?2??dxdy??D?2。

30. 计算曲面积分I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy, 其中?是曲面 ???z?1?x2?y2(z?0)的上侧。

解：取?1为xOy平面上圆x?y?1的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域

22I????1??2xdydz?2ydzdx?3(z332?1)dxdy???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy

?1由高斯公式知 I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy ???1 ????6(x?12?y?z)dxdydz?6?d??dr?0022?11?r20(z?r)rdz

?12?而

12232[r(1?r)?r(1?r)]dr?2?， ?02332??2xdydz?2ydzdx?3(z?1?1)dxdy??x2?y2?1??(?3)dxdy?3?

因此 I?2??3????。

31. 已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为D的正向边界. 试证： (1) xeL?sinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx; L(2) xeL?sinydy?ye?sinxdx?2?2. 【详解】 方法一：

(1) 左边= 右边=所以 xeL??0?0?esinydy???e?00?sinxdx =??(esinx?e?sinx)dx，

0???e?sinydy???esinxdx =??(esinx?e?sinx)dx，

?0??sinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx. L(2) 由于e xeLsinx?e?sinx?2，故由（1）得

?sinx?sinydy?yedx???(esinx?e?sinx)dx?2?2. 0?方法二： （1） 根据格林公式，得xeL?sinydy?ye?sinxdx???(esiny?e?sinx)dxdy， D?sinysinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy. ???LD因为D 具有轮换对称性，所以 故 xeLsiny?sinx?sinysinx=(e?e)dxdy(e?e)dxdy， ????DD?sinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx. L (2) 由(1)知 siny?sinxsiny?sinxsiny?sinx =xedy?yedx?(e?e)dxdyedxdy?e???????dxdy LDDD=

sinx?sinxsinx?sinx2 （利用轮换对称性）=edxdy?edxdy(e?e)dxdy?2dxdy?2?. ????????DDDD32. 计算曲面积分I?22332z?1?x?y(z?0)的上侧. ?其中是曲面2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy,???【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投

影法求解即可.

【详解】 取?1为xoy平面上被圆x?y?1所围部分的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域，则

22I????13323322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy. ?????1由高斯公式知

???1??2xdydz?2ydzdx?3(z?2?0332?1)dxdy????6(x2?y2?z)dxdydz

? =6而

d??dr?011?r2011(z?r2)rdz=12??[r(1?r2)2?r3(1?r2)]dr?2?.

022??2xdydz?2ydzdx?3(z?133?1)dxdy??x2?y2?1???3dxdy?3?，

故 I?2??3????.

33.（2006）设在上半平面D??(x,y)|y?0?内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意t?0都有

f(tx,ty)?t?2f(x,y)

证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有证：把f(tx,ty)?t?2?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0

f(x,y)两边对t求导得：xfx?(tx,ty)?yfy?(tx,ty)??2tf(x,y)

令 t?1，则xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y)再令 P?yf(x,y),Q??xf(x,y) 所给曲线积分等于0的充分必要条件为

?Q?P? ?x?y今

?P?Q?f(x,y)?yfy?(x,y) ??f(x,y)?xfx?(x,y)?y?x要求

?Q?P?成立，只要xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y) ?x?y?Q?P?，于是结论成立。 ?x?y我们已经证明，?

34.（2010）设P为椭球面S:x?y?z?yz?1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分I?222???(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS，其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分

【解析与点评】（1）切平面法向量Fx?2x,Fy?2y?z,Fz?2z?y，因与xOy面垂直， 所以2x?0?(2y?z)?0?(2z?y)?1?0?z?y 2?x2?y2?z2?yz?1 所以轨迹为??y?2z

4x2?5y2?5z2?8yz （2）dS?1?z?zdxdy?dxdy

2z?y2x2y 原式=

Dxy2??x?3dxdy,Dxy?{(x,y)x?32y?1} 42?2?3 ?Dxy??xdxdy???3dxdy?0?3???1?Dxy

35．计算

??|xyz|dS,其中 ? 为抛物面 z?x?2?y2（0?z?1）

解：依对称性知：抛物面z?x?y关于z轴对称，被积函数|xyz|关于

22xoz、yoz坐标面对称，有???4??成立，(?1为第一卦限部分)

??122?dS?1?z?x?zydxdy?1?(2x)?(2y)dxdy

22原式???|xyz|dS ?4?2222?4xy(x?y)1?(2x)?(2y)dxdy xyzdS?????1D?xy其中D?xy?{(x,y)|x?y?1, x?0,y?0}利用极坐标 x?rcost, y?rsint,

22?2?sin2tdt?r51?4r2d ?2?1001255?1

42036． 计算??(x?y?z222)dS, 其中 ?为内接于球面x2?y2?z2?a2的八面体|x|?|y|?|z|?a表面.

?解：被积函数f(x,y,z)?x2?y2?z2,

关于坐标面、原点均对称 ,积分曲面?也具有对称性 , 积分曲面?也具有对称性 , 故原积分???8??,(其中?1表示第一卦限部分曲面)?1：x?y?z?a, 即

??1z?a?x?ydS??1?zx?zydxdy22?3dxdy

4222222222?23a. ?8[x?y?(a?x?y)]3dxd?8(x?y?z)dS(x?y?z)dS???????1Dxy37．计算曲面积分??(xcos??ycos??zcos?)ds,其中Σ为锥面 x2?y2?z2介于平面 z?0及

222?z?h(h?0)之间的部分的下侧, cos?,cos?,cos?是Σ在(x,y,z)处的法向量的方向余弦.

解答：空间曲面在xoy面上的投影域为Dxy曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式

补充?1:z?h(x2?y2?h2) ?1取上侧，???1构成封闭曲面，???1围成空间区域?.，

在?上使用高斯公式 ?2??dxdy?Dxyhx?y22???1??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS?2???(x?y?z)dv

?(x?y?z)dz, 其中Dxy?{(x,y)|x2?y2?h2

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