第4讲 基本初等函数（文科答案版）

第4讲

基本初等函数

4.1 二次函数

知识点睛

1．二次函数的定义

形如f(x)?ax2?bx?c(a?0)的函数叫做二次函数，其定义域是R． 上式叫做二次函数的一般式；

二次函数的顶点式：f(x)?a(x?h)2?k

二次函数两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，其中x1，x2是方程ax2?bx?c?0的两根．

<教师备案>两根式的特点决定了它只能表示那些与x轴有交点的二次函数，不能表示所有的二次函数． 2．二次函数的性质

⑴ 二次函数的判别式：??b2?4ac

当??0时，二次函数与x轴有两个不同交点 当??0时，二次函数与x轴有一个交点

当??0时，二次函数与x轴没有交点 ⑵ 韦达定理

当?≥0时，记二次函数f(x)?ax2?bx?c与x轴交点的横坐标为x1，x2，则

bc x1?x2??；x1x2?．

aa<教师备案>注意韦达定理适用的前提条件：与x轴有交点的二次函数． ⑶ 闭区间上二次函数的最值问题：

二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?m，n?上必定可以取到最值，并且最值只能在区间端点或顶点处取到．可以分为三类情形来研究：

①轴定区间定：由对称轴和区间端点结合二次函数图象直接得出最值； ②轴动区间定：结合草图，对对称轴和区间的相对位置进行讨论； ③轴定区间动：结合草图，对区间和对称轴的相对位置进行讨论．

经典精讲

第4讲·尖子-目标·教师版

1

考点：二次函数性质 尖子班学案1

【铺1】 函数y?x2?(a?2)x?3，x?[a，b]的图象关于直线x?【解析】 4

由对称性知a?b?1，函数的对称轴为x??所以b?4．

【例1】 已知关于x的方程：x2?2?a?1?x?2a?6?0，

⑴ 若方程有两个不等实根，求实数a的范围；

⑵ 若方程有两个不等实根，且两根都在区间?1，???内，求实数a的范围；

⑶ 设函数f?x??x2?2?a?1?x?2a?6，x???1，1?，记此函数的最大值为M?a?，最小值为

N?a?，求M?a?、N?a?的解析式．

1对称，则b的值为______． 2a?2a?21，所以??，解得a??3 222【解析】 ???2(a?1)??4(2a?6)?4a2?4a?5

2??⑴ 方程有两个不等实根，则??0，即a2?4a?5?0，解得a?5或a??1； ⑵ 设方程的两根为x1，x2，则依题意，有x1?1，x2?1 ???0?x?x2?2(1?a)?即满足?(x1?1)(x2?1)?0，又?1，

xx?2a?6?12?(x?1)?(x?1)?0?12?a2?4a?5?05?所以得?2a?6?2(1?a)?1?0，解得??a??1；

4?2(1?a)?2?0?⑶ f?x??x2?2?a?1?x?2a?6??x?a?1??a2?4a?5

2①当1?a≤?1，即a≥2时，函数f(x)在区间??1，1?上单调递增，

则M(a)?f(1)?1?2(a?1)?2a?6?4a?5，N(a)?f(?1)?1?2(a?1)?2a?6?9； ②当?1?1?a≤0，即1≤a?2时，M(a)?f(1)?1?2(a?1)?2a?6?4a?5， N(a)?f(1?a)??2a?4a?；5

③当0?1?a?1，即0?a?1时，M(a)?f(?1)?1?2(a?1)?2a?6?9， N(a)?f(1?a)??a2?4a?5．

1?上单调递减， ④当1?a≥1，即a≤0时，函数f(x)在区间??1，则M(a)?f(?1)?1?2(a?1)?2a?6?9，N(a)?f(1)?1?2(a?1)?2a?6?4a?5； ?4a?5综上所述，M(a)???9?9a≥1?，N(a)???a2?4a?5a?1?4a?5?a≥20?a?2． a≤0

【备选】 设函数f(x)?ax2?bx?1（a，b为实数），

⑴ 若f(?1)?0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求f(x)表达式；

2

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⑵ 在⑴的条件下，若g(x)?f(x)?kx，在区间[?2，2]上是单调函数，则实数k的取值范围； ?f(x)(x?0)⑶ 在⑴的条件下，F(x)??，当x?[?2，2]时，求F(x)的值域；

?f(x)(x≤0)?【解析】 ⑴ 由f(?1)?0得a?b?1?0，又对任意实数x均有f(x)≥0，即?≤0，

则b2?4a?(a?1)2?4a?(a?1)2≤0，则a?1，所以b?2

⑵ 由⑴有f(x)?x2?2x?1，则g(x)?x2?(2?k)x?1，

2?k2?k 要求g(x)在区间??2，2?上单调，则只需满足?≤?2或?≥2

22 即k≤?2或k≥6；

?(x?1)2(x?0)?⑶ 依题意，有F(x)??， 2?(x?1)(x≤0)??9] 当x?(0，2]时，有F(x)单调递增，F(x)?(1， 当x?[?2，0]时，有F(x)??(x?1)2，最大值为F(?1)?0，最小值为F(?2)?F(0)??1， 所以F(x)的值域为??1，0?

?1，9?．

4.2分数指数幂与对数运算

知识点睛

1．分数指数幂

m?1m定义：a?a?a（a?0，m，；an?m． n都是正整数，且为既约分数）

nan<教师备案>① 正数a的正n次方根叫做a的n次算术根；

mn??nnmnm②

an不一定等于a．

运算律：a?a??a???；(a?)??a?? ；(ab)??a?b? （其中a?0，b?0，对任意实数?，?）． <教师备案>对于无理指数幂，可以从有理指数幂进行推广，用无理指数的不足或过剩近似值来计算幂

值进行逼近；一般来说，当a?0时，对任意实数?，a?都是有意义的，可以证明上述运算律对于任意实数?，?都成立．高中阶段实际涉及到的计算都是有理指数幂．

2．对数

⑴ 定义：一般地，如果ax?y(a?0，且a?1)，那么数x叫做以a为底y的对数，记作x?logay，

其中a叫做对数的底数，y叫做真数．

y a x 关系式 指数式 ax?y ???) 底数(a?0,a?1) 指数(x?R) 幂（值）(y??0，???) 真数(y??0，对数式 logay?x 底数(a?0,a?1) 对数(x?R) 意义，例如：log20，log2(?2)无意义．

⑵ 对数logaN（a?0且a≠1）的性质与特殊对数 ① 对数恒等式：alogay?y；

<教师备案>由于ax?0(a?0)，故y?ax?0，因此对数符号logay（a?0且a≠1）只有y?0时才有

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3

② 零和负数没有对数，即N?0； ③ 1的对数为零，即loga1?0；

④ 底的对数等于1，即logaa?1；

⑤ 常用对数：当a?10时，叫做常用对数，记做lgN；

⑥ 自然对数：当a?e时，叫做自然对数，记做lnN．e为无理数，e?2.71828． ⑶ 对数的运算性质：

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： ① loga(M?N)?logaM?logaN；（积的对数等于对数的和）

推广loga(N1?N2...Nk)?logaN1?logaN2?...?logaNk

M② loga（商的对数等于对数的差） ?logaM?logaN；

N③ logaM???logaM(??R)（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）

?④ loga?M??logaM(??R,??0)

?<教师备案> 以性质①为例进行证明如下：

已知logaM，logaN（M、N?0），求loga(MN)

设logaM?p，logaN?q，根据对数的定义，可得M?ap，N?aq 由MN?ap?aq?ap?q

∴loga(MN)?p?q?logaM?logaN．

性质④可以在讲完换底公式之后再证明．

logaNb?0，a，b?1，N?0）⑷ 换底公式：logbN?（a，．

logab<教师备案> ① 证明：

法一：根据指数的运算性质推导

设logbN?x，则bx?N．两边取以a为底的对数，得xlogab?logaN，

logaNlogaN所以x?，即logbN?．

logablogab法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导

由对数恒等式得：logbN?logab?loga(blogbN)?logaN，所以有logbN?② 换底公式的意义：

把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．

b?0;a，b?1)． ③ logab?logba?1(a，

logaN． logab经典精讲

考点：分数指数幂与对数运算

【例2】 ⑴ 将322化成分数指数幂的形式是_______； 4

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15111?2?????1⑵ 化简?a3b2???3a2b3???a6b6?(a?0，b?0)的结果为______________；

?????3?⑶ 方程log2?x?1??2?log2?x?1?的根为________．

⑷ 已知log63?a，则log62?____；log26?______；log212?______．（用a表示） ⑸ 计算：

1①log2.56.25?lg?lne?21?log23?________；

100②lg4?lg25?2log23?0.50?_______； ③?0.027?12?13??log23???log34?log38??3?1?22log25?__________．

④lg2?lg50?lg5?lg20?lg100?lg5?lg2?________．

【解析】 ⑴ 2

⑵ ?9a

原式??9a⑶

5 211??326b115??236??9a

??x?1?x?1 原方程变形为log2(x?1)?log2(x?1)?2??，即，则x?5． ?22??x?1?4?log2(x?1)?log2412?a⑷ 1?a；；．

1?a1?a 因为6?2?3，所以两边同时取以6为底的对数， 得1?log66?log62?3?log62?log63， 所以log62?1?log63?1?a．

1log26?log62?1，则log26?；

1?a12?a． log212?log22?log26?1??1?a1?a13⑸ ①

2113 原式?2?(?2)??2?3?；

22② 6 原式?2?3?1?6 ③ ?17 原式?④ 1

原式?lg2??2lg5?lg2??lg5??2lg2?lg5??2lg5?lg2 ??lg2??2lg2?lg5??lg5?

22101?log23?log325??52?3?5?25??17 33

尖子班学案2

??lg2?lg5? ?1

2【拓1】 ⑴ 已知：a?a?1?3，求a2?a?2的值．

⑵ 若logmn?log3m?2，则n的值为_______．

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【备选】 比较log78，log89的大小． 【解析】 法一：

log78ln8ln8?ln8?

因为log78?1，log89?1，则有：???log89ln7ln9ln7?ln92?ln7?ln9??ln63又有ln7?0，ln9?0，则ln7?ln9??， ?2??22??又因为8?63，则ln8?ln63?1，所以log78?ln8??ln8?即??log89ln7?ln9ln6322?ln8?2?ln63?2?1，

??2?1，所以log78?log89．

法二：

89，log89?1?log8， 78889而由对数函数性质可知：log7?log8?log8

778∴log78?1?log89?1，即log78?log89 ∵log78?1?log7

【备选】 设0?x?1，a?0且a?1，试比较loga(1?x)与loga(1?x)的大小．

【解析】 因为0?x?1，所以0?1?x?1，1?x?1?2，所以loga(1?x)?0，loga(1?x)?0，

则有所以

loga(1?x)loga(1?x)loga(1?x)?loga(1?x)?log1?x(1?x)，又0?1?x?1?1?x，

loga(1?x)?1??log1?x(1?x)??log1?x(1?x)?log1?x??，

loga(1?x)?1?x?21??1?x1??1?x??因为1?x1?x??x2?1??0，且1?x?1，所以log1?x???log1?x(1?x)?1 1?x?1?x?即loga(1?x)?loga(1?x)．

4.4幂函数

知识点睛

1．定义：一般地，形如y?x?(??R)的函数称为幂函数，其中?为常数．

??)都有定义，并且图象都通过点?1，1?； 2．性质：⑴所有的幂函数在(0，??)上是增函数； ⑵如果??0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，??)上是减函数． ⑶如果??0，则幂函数在区间(0，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴．

当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

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11

3．当?分别为?1，

1，1，2，3时，幂函数图象如右： 2

y=x2yy=x3y=x1y=x21y=x-1O1x经典精讲

考点：幂函数的图象性质应用

1【例6】 已知函数f?x??x?n2?2n?3?n?Z?在?0，???上单调递增，求f?x?的解析式，并解不等式

f?x2?x??f?x?3?．

【解析】 由题意得

1?0，整理得n2?2n?3?0，解得?1?n?3． 2?n?2n?313141或2．当n?0或2时，f?x??x；当n?1时f?x??x． ∵n?Z，∴n?0、若f?x??x，则f?x?在R上为增函数．

∵fx2?x?f?x?3?，∴x2?x?x?3?x2?2x?3?0?x?3或x??1 ???，且在?0，???上为增函数． 若f?x??x，则f?x?的定义域为?0，1413????∵fx2?x?f?x?3?，

?x?3≥0???3≤x?1或x?3． ∴?x2?x≥0?2?x?x?x?3综上，当f?x??x时，原不等式的解集为?x|x?3或x??1?； 当f?x??x时，原不等式的解集为?x|?3≤x??1或x?3?．

14132??2??2??1??3?3?1??3【例7】 将下列各数从小到大排列起来：，，，， ???3?，??????，???．????????，323332????????????23131213?2334?2113?1??1?【解析】 首先，在这8个数中，负数有：??3?，???两个，且??3?3?(?1)3???1?????；

?3??3?1333?2??2??2?正数有：??3?=3，??，??，????3??3??3?23231213?23?1??3??3????，??，????4；

?2??2??2?12132343?2?2??2??2??2?其中大于0小于1的有??，??两个，且?????；

?3??3??3??3?1213 12 第4讲·尖子-目标·教师版

?2?大于1的有??3?=3，????3?2323?23?1??3??3????，??，????4四个，

?2??2??2?23?22343?2?2?而????3??2322?3??3??9??1?????????????3?3=33?31?????4 ?2??2??4??2?2343综上所述，这8个数从小到大顺序排列为：

??3?

13?1??2?2?2?3?2????????????????3??3??3??3?311?232?3?3?1?3??????3?????． ?2??2?4?2

已知关于x的方程4x?2x?a?0有解，求实数a的取值范围

【解析】 令2x?t，则由指数函数的性质，有t??0，???，

则原方程变为t2?t?a?0，若原方程有解，则此方程有正根，记此方程两根为t1，t2， 又t1?t2??1?0，所以此方程只能有一个正根，一个负根， ???1?4a?0所以?，即a?0．

tt?a?0?121【点评】本题容易忽略2x的取值范围，换元之后直接由判别式得出a≤．

4

实战演练

【演练1】 计算：2?log?42； 【解析】

32

222?_______．

?2?原式?22?log2?．

?2????42?2?

【演练2】 已知log7??log5?log2x????0，则x【解析】 2； 812?12?2?_________．

由对数运算的性质，知log5?log2x??1，即log2x?5，所以x?25 则x???215?2??142?2． 8

【演练3】 设a?b?c?1，下列不等式中不正确的是（ ）

A．ac?bc B．logab?logac

C．ca?cb D．logbc?logac

【解析】 D

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分别利用幂函数，对数函数，指数函数的图象性质，可知A，B，C均正确．

b的值． 【演练4】 函数f(x)?ax2?2ax?2?b(a?0)在?2，3?上有最大值5，最小值2，求a，【解析】 ∵f(x)的对称轴为x?1，

∴在?2，3?上函数的最值只能在端点处取到，

∵f(2)?4a?4a?2?b?2?b，f(3)?9a?6a?2?b?3a?2?b ?a?0?a?0??∴?2?b?2或?2?b?5 ?3a?b?2?5?3a?b?2?2???a?1?a??1解得?或?．

b?3b?0??

【演练5】 已知f(x)?logax(a?1)；g(x)?logbx(b?1)；当f(x1)?g(x2)?2时，有x1?x2，则a、b的

大小关系是______． a?b 【解析】

由对数函数图象性质，在第一象限，底数越大，图象越靠近x轴，所以得a?b．

大千世界

（2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题）

x?x3函数f(x)?的最大值与最小值的乘积是_________．

1?2x2?x41【解析】 ?；

161?x?t1122x不妨设t?x?，则t?R，于是有t?x?2?2，则f?x??． ?21t?4xxx2?2?2x11于是有f?x?max?，f?x?min??．

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