不定方程选讲

不定方程选讲

一、一次不定方程（组）

1．求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2．求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3．解不定方程11x+15y=7。 4．解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z＝24，

5．解不定方程组?

?3x－y－4z＝4．

6．解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7．求有多少个正整数对(m,n)，使得7m+3n=102004，且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。 9．解不定方程14x2－24xy+21y2+4x－12y－18=0。 10．解不定方程3x2+5y2=345。

11．解不定方程x2－5xy+6y2－3x +5y－11=0。 12．求方程xy－2x+y=4的整数解。

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13求能使等式 + =1成立的所有正整数m，n。

mn14．求方程2xy－2x2+3x－5y+11=0的整数解。 15．求方程3xy+y2－6x－2y=2的整数解。 16．求方程x2+y= x2y－1000的正整数解。 17．求所有的整数对(x，y)，使得x3 = y3+2y2 +1。 18．求方程x2+y2= z2中0＜z＜10的所有互质的解。 三、证明不定方程无解

19．求证方程x2+y2= 2007没有整数解。

20．试证：不定方程x2－3yn=－1 (n是正整数)没有正整数解。 21．求证方程x2－3y2=17没有整数解。

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22．求证方程x2－2xy2+5z+3=0没有整数解。 23．证明方程x14+x24+x34+……+x144=2015无整数解。 24．求证方程x2+y2=1992没有整数解。 25．证明方程x2+y2－19xy－19=0无正整数解。 四、其他不定方程的解

?6x－y－z＝18，

26．求下面方程组的正整数解：?222

?x+y+z＝1987．

27求使(a3+b)(a+b3)= (a+b)4成立的所有整数对(a,b)。(04年澳大利亚数学奥林匹克) 28．解不定方程xyz+xy+yz+zx+x+y+z=2008。 29．解不定方程5x2+2y2=98。

30．求不定方程4xyz=5(xy+yz+zx)的正整数解。 31．解不定方程y2+y=x4+x3+x2+x。

32．求方程 2x·3y－5z·7w= 1 的所有非负整数解(x，y，z，w)。(05年中国数学奥林匹克) 练习：

1．不定方程7x－15y=31的解为 。

x?2y?3z?10,的解为 。 2．不定方程组???x?2y?5z?4.3．不定方程5x－14y=11的正整数解为 。 4．不定方程4x2－4xy－3y2=21的正整数解为 。 5．方程x2－dy2=1，d=－1时的非负整数解为 。 6．不定方程x2－18xy+35=0的正整数解为 。

7．取1分、2分、5分的纸币共10张，付给1角8分钱，问有几种不同的取法？ 8．求x2+y2= z2中0

?x+y+z＝0，9．求不定方程组?333的整数解。

?x+y+z＝－18

10．求不定方程5x－3y=2的正整数解。

11．证明：不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。 1

12．求不定方程(x+y)(y+z) (z+x)+(x+y+z)3=1－xyz的所有整数解。

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练习答案

?x??5?8t,?x?63?15t,?x?5?14t,?1．? 2．?y?3?t,(t为整数)。3．? (t为整数，且t?0)。?y??31?7t.?y?1?5t.?z?3?2t.??x?8,?x?3,4．由4x－4xy－3y=21得：(2x+y)(2x－3y)=21，故解为：? ?y?5,y?1.??2

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5．x=0，y=1和x=1，y=0。

?x?1,?x?35,35

6．由x2－18xy+35=0得：18y=+x，x是35的约数，得?。 ?xy?2,y?2.??7．解：设1分、2分、5分的纸币分别有x张，y张，z张，得：??x?y?z?10,

?x?2y?5z?18.?x?8,?x?5,?x?2,???y?0,y?4,消去z得：4x+3y=32。因为x，y，z是非负整数，所以不同的取法有：???y?8, ?z?2;?z?1;?z?0.???8．解： a2+b2＜60，a＞b＞0，得a≤7。又因为a，b一奇一偶，求出a，b的值即得所有解。所有互质的解列表如下：

b a x y z 1 2 3 4 5 1 4 15 8 17 1 6 35 12 37 2 3 5 12 13 2 5 21 20 29 2 7 45 28 53 3 4 7 24 25 4 5 9 40 41 9．解：由原方程组中x+y+z=0得z=－(x+y)，代入x3+y3+z3=－18得:xy(x+y)=6，故xyz=

－6，x、y、z都是6的约数，并且只有一个是负数，从而得其整数解为：x=－3，y=2，z=1。

10．解：显然x=1，y=1是原方程的解，若x?1，则y?1。

yyy因5?1(mod4)，3?(?1)(mod4)，1－(?1)?2(mod4)，故y=2y1+1是奇数(y1∈N)

yx365x因3?0(mod9)，故5?2(mod9)。因5??1(mod9),5?1(mod9),5?2(mod9)，

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故56q?5?55?2(mod9)，正整数x为6q+5形式的整数。 因为56?(?2)6?1(mod7)，所以5x?55?(?2)5?3(mod7)， 而3y?32y1?1?2y1?3?6?5?3(mod7)，故对任意不为1的正整数x，y，

5x?3y2(mod7)。此时原方程无解。综上，原方程只有一组正整数解：（1，1）。

11．解：将方程两边乘以4配方知：原方程等价于(2x?3)2?(2y?3)2?(2z?3)2?7。 上述方程有有理数解等价于不定方程:a?b?c?7m有整数解(a，b，c，m)，其中m>0. 若方程有整数解(a，b，c，m)，m>0，设m是所有这样的解中最小的正整数。

如果m是偶数，则a2?b2?c2?0(mod4)，注意到，完全平方数?0或1(mod4)，所以，

2a，b，c都为偶数，设a?2a1,b?2b1,c?2c1,m?2n，则a1?b12?c12?7n2，这表明

2222(a1,b1,c1,n)也是方程的整数解，与m的最小性矛盾。

如果m是奇数，则由于奇数的平方?1(mod8)，故a?b?c?7(mod8)，这时，当然有

222a2?b2?c2?3(mod4)，由于前面的讨论，可知a，b，c都为奇数，这导致a2?b2?c2?3(mod8)，与a2?b2?c2?7(mod8)矛盾。

所以方程没有整数解（使m>0的），故原命题成立。

12．解：作代换，设x+y=u，y+z=v，z+x=w，则方程变形为：

4uvw+(u+v+w)3=8－(u－v+w)(u+v－w)(－u+v+w)，即4(u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2)+8uvw=8，

即u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2+2uvw=2。故(u+v)(v+w)(w+u)=2.于是：（u+v，v+w，w+u）=（1，1，2），（－1，－1，2），（－2，－1，1）及对称的情形，分别求解得：（u，v，w）=（1，0，1），（1，－2，1），（－1，0，2），故（x，y，z）=(1，0，0)，(2，－1，－1)。 故整数解为(x，y，z)=(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(2,-1,-1)，(-1,2,-1)，(-1,-1,2)共6组解。

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