通信网理论基础习题答案 完整版

2.2 求M/M/m（n）中，等待时间w的概率密度函数。 解：

M/M/m（n）的概率分布为：

?m?1(m?)k(m?)m1??n?m?1?p0???p0??

k!m!1???r?0??1?(m?)k?k!p0?pk??mmk?k!?p0?0?0?k?m?1m?k?nk?n

假定n>m，n≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x的概率。

P{w?x}??pj?Pj{w?x}

j?0n其中，Pj{w>x}的概率为：

Pj{w?x}?0 Pj{w?x}?0?j?m?1?m?x?ei?0j?m(m?x)i?i!m?j?n?1 m?j?nPj{w?x}?1可得：

P{w?x}??Pj??ej?mi?0n?1j?m?m?x(m?x)i??Pni!?mm?n?1jj?m?m?x(m?x)i?P0?????e???n?m!?j?mi!i?0? mmn?m?1?m?x(m?x)i?m?i??n?P0?e??Pnm!i!1??i?0若n??则P0(?m)m?(m???)xP{w?x}??e1??m!特别的，新到顾客需等待的概率为：

P0(?m)m P{W?0}??1??m!第 1 页 共 33 页

而n?m?1n?m?2mmP0(?x)i?m?xmm(?x)fw(x)?e[?(m???)??m??m!(1??)i!(n?m?1)!i?0?m??n(m??)](n?m?1)!n?m?1

在n??注：

mmP0fw(x)??m(m???)e?(m???)xm!(1??)m?1k?0

P{w?0}??PkP{w??}?Pn2.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩m1、m2、m3，D表示服务时间为定值b，到达率为?。 解：

G(s)?s(1??)

s????B(S)其中 B(s)???0?(t?b)e?stdt?e?sb

?s(1??)i从而 G(s)? 又 G(s)?gs?i?sbs????ei?0

?(?sb)j??i?????gis???s??????j!j?0?i?0?????s(1??) ??

1????b2(1??)(1??)(2?b3??2b4)g0? g1? g2? 231??b2(1??b)12(1??b)?(1?2?b)(1??)?b4g3??424(1??b)(?b??)

?b2m1??G?(0)??g1?2(1??)m2?G??(0)?g2?2?(2??)?b6(1??)23

(1?2?)?b4m3??G???(0)?g3?6?4(1??)32.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W，其中B是二阶指数分布：

f(t)???1e??1t?(1??)?2e??2t?1,?2?00???1

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解：M/B/1

B(S)??f(t)e?stdt?0???1(1??)?2??1?s?2?sw2?B??(0)?2?w1??B?(0)??1????1?2?m2??1????12???22w??22(1??)?1?2????1?22?(1??)??12?2 B/M/1

???12?2(1??)?22??1??????w1?????????2??1??B(????)???1(1??)?2?????????1??????2取0???1的根令?1??1?2???2

1??1??2?1?(?1??2)2?2(1?2?)(?1??2)??2w???(1??)?1??1??2?1?(?1??2)2?2(1?2?)(?1??2)?(1??1??2?1?(?1??2)2?2(1?2?)(?1??2))

??1tB/B/1

设到达的概率密度函数为f(t)???1e?(1??)?2e??2t

设离去的概率密度函数为f(t)???3e假设?1??2????3t?(1??)?4e??4t

?1??3?2??4

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A(s)?B(s)???1(1??)?2??1?s?2?s???1(1??)?2????1(1??)?2????A(?s)B(s)?1???????s????s??1??s??s22?1??1??????21????1?(1??)?2?s2?s4t2s2?s4?(?1?s)(?2?s)(?1?s)(?2?s)(?1?s)(?2?s)(?1?s)(?2?s)222?取??(s)?s(t?s)(?1?s)(?2?s)w(s)?k??(s)??(s)?s(t?s)(?1?s)(?2?s)k?lim??(s)t?s?0s?1?2k(?1?s)(?2?s)(t?s)22Sw(s)?w???Sw(s)?s?0?'?1?2?(?1??2)t?1?2t22其中

t??1??2?(??1?(1??)?2)2?(1??2)?1?(2???2)?2?2?(1??)?1?22.6 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a，服务时间为b，均为恒定值，且a>b，

求：稳定状态时系统的队列长度为k的概率pk，顾客到达时队列的长度为k的概率vk，

顾客离去时队列的长度dk，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a≤b的情况。 解：

由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，

经过b后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b后，下一个顾客到达。

此时有：

?b?apk??(a?b)?a? ?1rk?dk???0顾客不等待时w?0 G/G/1

上

界

k?1k?0k?0k?0

公式

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?r2??t2w?2t(1??)22?p(?)??(??a)?w?0p(t)??(t?b)?????t?0

22?w?????t?02t(1??)当a

ab时间后，系统队列长度增长a?b2.7求M/E2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，b(?)?(2?)2?e?2?? 解：

设相邻呼叫到达间隔为t，如果服务时间??t，将造成呼损，??t时无呼损。

?pc(t)??b(?)d?t??0t?则???t0pc??a(t)??b(?)d?dt???e

??(2?)?et?2?2???2?4??d?dt?(??2?)2

2.8在优先级别队列中，A队为优先级，不拒绝，B队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A队无人时才能被服务，求各状态概率，A队的平均等待时间和B队的拒绝概率。 解：

?1??2?2 说明：

0状态代表系统中无顾客状态； i，j状态代表系统中正在服务且A

0?0 0??20 1?1??1?1 01 1队中有i个顾客，B队列中有j个顾客排队的状态。

?1??1?

状态转移图如右，A队到达率为?1，B队到达率为?2，服务率?，系统稳定时，应有

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?1??1??1

可得到特征方程如下:

?(?1??2)P0??P00?(?????)P??(P?P)?(???)P12000110120???(???1)P01??2P00??P11?(?????)P??P??Pi?012i,01i?1,0i?1,0???(???1)Pi,1??1Pi?1,1??Pi?1,1??2Pi,0i?0

?1?2?3 ?4?5由于4是差分方程，不妨设其通解为：pi0?p00xi 代入有：

(1??1??2)p00xi??1p00xi?1?p00xi?1?x2?(1??1??2)x??1?0

?0?x?1221??1??2?1??1??2?2?1?2?2?2?1?2

?x0?2由于5是非齐次差分方程：

pi?1,1?(1?p1)pi,1??1pi?1,1??2pi,0?0 其特征根为：a??1

ii假设其通解为：pi,1?A?1?Bx0代入前式得：

i?1ii?1iB?x0?(1??1)B?x0??1B?x0??2p00?x0?0

解之，得：B??p00i?pi,1?A?1i?p00x0

代入3式得：?1??1?p01??2p00?p11 即：

A?p00?1??1??2?x0?i?pi，1??1??2?x0??1?xi1?p00? ?ipi，?0?p00x?p00???1??2?p0???由正则条件：

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p0???1??2?p0?1??1??2?x0???1i?1i?0???p0?wA?1??11??1???1??2??1??1??2?x0?r????????r?1p?p?r?1p1?????x???r，0r，1001201??r?0r?01?1?

?p00?1??1??2?x0???1??1?2??rPCB??pr，1??1??2?x0??1?x01?p00??rr?0r?0??

p?1??1??2?x0?p?00?00?1??1?1?x02.9排队系统中有三个队列,其到达率分别为其中a类最优先，?a,?b,?c公用同一出线路，

即线路有空闲就发送；b类次之，即a无排队

?b0??a??b??c?a?a0 0 0???a?b1 0 0??b?a2 0 0时可以发送，c类最低，即a，b类均无排队

0 1 01 1 0??2 1 0时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为na＝2，nb=1，nc＝0，试列出

稳定状态下的状态方程，并计算?a??b??c时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。

解：

r，s，k分别表示a，b，c三队中等待的呼叫数，状态以（r，s，k）表示。

稳态方程：

(?a??b??c)p0??p000(?a??b??)p000??(p010?p100)?(?a??b??c)p0(?a??b??)p100??p200??ap000(?b??)p200??ap100(?a??)p010??bp000??p110

?p210??ap110??bp200(?a??)p110??bp100??ap010??p210第 7 页 共 33 页

归一条件p0??a 若 令?????p?1???i,j,kabcp010p110?

p000?3?p0p1003?2?3?3?p02?2?2??13?p022??2??133?2?9?3?12?4?p022??2??16?3?15?4?12?5?p02?2?2??16??15??12?p022??2??1456

p200?p210?2?2?2??1p0?12?6?27?5?36?4?27?3?14?2?5??1

C类呼损为：pc?1?p0?? B类呼损为：pB?p010?p110?p210 A类呼损为：pA?p210?p200

2.10 有一个三端网络，端点为v1,v2,v3，边为e1(v1,v2)及e2(v2,v3)，v1到v3的业务由v2转接，设所有的端之间的业务到达率为?，线路的服务率为?的M|M|1(1)问题，当采用即时拒绝的方式时，求： 1) 2) 3)

解：

令：00表示e1,e2均空闲。

10表示e1忙,e2闲（即e1由v1,v2间业务占用）。

各个端的业务呼损。 网络的总通过量。 线路的利用率。

01表示e1闲,e2忙（即e2由v2,v3间业务占用）。 11表示e1,e2均忙，且分别由v1v2,v2v3间业务占用。 ★表示e1,e2均忙，且由v1，v3间业务占用。

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状态转移图如右：

当?12??13??23??时 有下列关系:

★?13?230 0???230 1?12??12?1 0?1 1??pt??p00?3?p???p?p?p?000110*????????p10??p00??p11 ??????p??p??p010011???2?p11???p01?p10?

又

?p*?p01?p10??p00 解之得: p?1??2?p11??p00这里p00?11?3???2

3???22???2呼损p13?1?p00?而p23?p12?1?p00?p01? 221?3???1?3???3??2?2通过量T??(1?p12)??(1?p13)??(1?p23)? 21?3???2???2线路利用率??p*?p11?(p10?p01)/2? 21?3???2.11上题中的网若用于传送数据包,到达率仍为每秒

平均包长为b比特,边的容量为

c比特/秒,采用不拒绝的方式,并设各端的存储容量足够大,求: (1)稳定条件。 (2)网络的平均时延。 (3)总的通过量。 (4)线路的平均利用率。

解：这是一个无损但有时延的系统。

两条线路上到达率为：2，而服务率为：c/b的M/M/1系统。

(1)稳定条件为： 2b/c<1。

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(2)网络的平均时延：

对v1v2和v2v3间的业务：w1?11?

?(1??)c?2?b

对v1v3间的业务：w2?2w1?2c?2?b(3)系统稳定时，总的通过量为：3b/c。 (4)线路的平均利用率==2b/c。

一般来说，通过率与利用率均有增加，这是以稳定性和时延为代价换来的。

2.12在分组交换系统中，设信息包以泊松率到达，平均到达率为，但信息包的长度为固定b比特，信道容量为c比特/秒。由于端内存储量的限制，设除了在传送的包外，只允许有两个信息包等待传送，试：

(1)列出关于dr(顾客离去时的队长)的系统方程 (2)解出个dr. (3)求平均时延。

(4)求信息包被拒绝的概率。 解：

?d0?d0q0?d1q0?d?dq?dq?dq011120?1?d2?d0q2?d1q2?d2q1?d3p0 ?（?d3?d0q3?d1q3?d2q2?d31?p0）?3??di?1?i?0其中p0是第4个顾客被拒绝离去之后，第3个顾客的残余寿命中无顾客到达的概率。 这里到达是随机的，可知：p0??b/c

0c??t??b?cc?edt??1?e ?????bb第 10 页 共 33 页

4.6 试证明端数n大于4的连接图都是非平面图，并求n=2，3，4的全连接图为对偶图。 证明：设有n个端的全联接图为Kn因为K5是非平面图，而当n>5时K5是Kn的子图，从而Kn（n>5）均不是平面图。一下是对偶图（注意K4为自对偶图）。

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4.7

?0?0C???0??0

100001001?0?? 1??0?

已知一个图的邻接矩阵如左，画出此图，并求各端之间的最小有向径长。

解：首先作出图形：

对所绘制图形的端点进行编号，得邻接矩阵。

v1

经计算：

??C?????

v2v3v41010?0010?

?0001??0000??0?0C2???0??0因而有

000010000??0?01?? C3??0??0??0??0000000001?0?? 0??0?第 17 页 共 33 页

d(v1,v2)?1

d(v1,v3)?2 d(v2,v4)?2

d(v1,v4)?1

d(v2,v3)?1 d(v3,v4)?1

其余有向径长均为 ∞，或不存在。

4.8 图有六个端，其无向距离矩阵如下：

v1v1v2v3v4v5v6

v2?0?1??2??3?2??1v3120110v4v5v6321?232??123??21012?32101??23120?1. 2. 3.

用P算法，求出最短树。 用K算法，求出最短树。

限制条件为两端间通信的转接次数不超过2的最短树。

解：

(1)P算法求解：

eeee?v1?????v1,v2?????v1,v2,v3?????v1,v2,v3,v6?????v1,v2,v3,v6,v5?

e????v1,v2,v3,v6,v5,v4?1223166534(2)K算法求解：

按最小边长顺序取得： e12?e23?e34?e45?e56?1此结果意味着最短树不唯一。

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(3)原图有一个边长全为1的基本子图G1，要求转接次数小于等于2，若选取G1的任何4个连续顶点，vivi?1vi?2vi?3,作为基础，然后再按要求增加边，例如以v1v2v3v4为基础，增加v5v6，得到一个树长为7转接次数小于等于2的树T1，事实上，以任何4个连续顶点均可得到树长为7的转接次数小于等于2的树

4.9 图有六个端，端点之间的有向距离矩阵如下：

v1v2v3v4v5v6 解：

v1v2?09?10??2???????6??7?v3v4v5v613???4?7???0?1???5027?2805??2?20?(1)用D算法求V1到所有其他端的最短径长及其路径。 (2)用F算法求最短径矩阵和路由矩阵，并找到V2至V4和V1至V5的最短径长及路由。 (3)求图的中心和中点。

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(1)D算法

V1 0

(2)F算法

最短路径矩阵及最短路由阵为W5，R5

V2 ∞ 9 9 8 8 8

V3 ∞ 1

V4 ∞ 3 3 3

V5 ∞ ∞ 2

V6 ∞ ∞ ∞ 7 7

指定 V1 V3 V5 V4 V6 V2

最短径长 W1＝0 W13＝1 W15＝2 W14＝3 W16＝7 W12＝8

v2?v1?v4有向距离为4

v1?v3?v5有向距离为2

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?0913?????104?7??W?2?0?1???0????5027????62805???7?2?20???0913?????10247??W??211051???1???5027????62805???71621020???091316????10247??W?211051???2????5027???762805???71621020???09132????10243??W??211051???3?7165027???462805???4132720???0913210???1024311?W?21105112??4??7165027???462705???4132720???081327???102438?W??270516??5?684027???462705???482720??

?023400???103050?R?100050??0??003056???023406???103450???023400???101150?R?110150??1??003056???023406???113150???023420???101150?R?110150??2??003056???223406???113150???023430???101130?R??110150??3?333056???323306???313350???023434???101134?R?110154??4??333056???323306???313350???053435???101135?R?150155??5??555056???323306???353350??第 21 页 共 33 页

(3)MaxWij?(8,8,7,8,7,8) 中心为V3或V5

5j?Wj5ij?(21,18,21,27,24,23) 中心为V2

补充习题：试计算完全图Kn的主树的数目。

解：设A为Kn的关联阵，那么主树的数目为：

n?1n?1N?dctA?AT?dct?1?1???1?110???n?1?dct???1??10n?1n?1n?11???11????1n1n00n0n?11n?2?dct??dct?n??n???n?0??0?1n0n证毕。

5.1求下图中Vs到Vt的最大流量fst,图中编上的数字是该边的容量。 解：

本题可以利用M算法，也可以使用最大流－

最小割简单计算可知：

X??vs,v3,v4?

X??v1,v2,vt?

CX,X?3?5?1?3?12

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??可知：最大流为12，可以安排为fs1 = 3,，fs2 =5，f12=1，f2t＝4，f1t=4，fs3=1，fs4=3，f3t=1，f4t=3。

5. 2试移动上图中的一条边，保持其容量不变，是否能增大fst？如果可以，求此时的最大值，但若所有转接端v1v2v3和v4的转接容量限制在4，则情况将如何？ 解：

依然按照最大流－最小割定理，若

22v14v1'6能依一边从X找到X内部至割

3v244v2'v3'Vt(X,X)中，自然可以增大流量，可以

Vs52v3将e34移去，改为：e41 或者e42均可，使总流量增至12＋2＝14。

64132v44v4'当vi(i = 1,...4)的转接容量限制到4

时，等效图为右图，对于3.11中的流量分配，在本题限制下，若将fs2由5改为4即得到一个流量为11的可行流。

但若X?vS,v3,v3v4,v4,v2， X?v1,v1,v2,vt 则C(X,X)?1?3?4?3?11，换句话说就是11已是最大流。

*?''?*?''?**第 23 页 共 33 页

5.3图5-12中的Vs和Vt间要求有总流量fst＝6，求最佳流量分配，图中边旁的两个数字前者为容量，后者为费用。 解：

本题可以任选一个容量为6的可行流，然后采用负价环法，但也可用贪心算法，从Vs

出发的两条线路费用一样，但进入Vt的两条路径费用为7和2，故尽可能选用费用为2的线路，得下图1。

6,3再考虑V0，进入V0的两条路径中优先满

5,7 3,2足费用为3的路径，得：图2，很容易得

Vt2 ,3Vs 3,2 1,124,到最后一个流量为fst=6的图3，边上的 数字为流量安排。总的费用为

3,4图1

L?3?2?3?2?1?3?2?4?1?1?2?3?4?2?2?7?52

易用负价环验证图4的流量分配为最佳流量分配。

12Vs 44 Vt3Vs 1VtVs34图 22图 3 2图 44 32 22 Vt 2

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第 25 页 共 33 页

6.1由n个元件构成的一个系统，各元件的平均寿命都是T。当一个元件失效据使得系统失效的情况下，已知系统的平均寿命将下降至T/n，如果采取容错措施，当m个以上元件失效才使系统失效，求证此系统的平均寿命为：

Tm?T

?r?0mn1?r可见比未采取措施前提高至少m倍。当m=n-1时，这一系统实际上即是n个元件的并接系统，试证上式即转化成并连系统的寿命公式。

证：以i状态代表有i个元件失效的状态，此时系统的状态转移框图如下：

0

12…mF 那么状态i的平均寿命为：Si?Tn?i0?i?m

从而系统的平均寿命为：S?S0?S1???Sm?T?n?i

i?0m1当m=n-1时S?T1 ?kk?0112131n1n ?C?C?C???(?1)Cn?nnn23nk?0knn而利用数学归纳法易知：

6.3有n个不可修复系统，它们的平均寿命都是T。先取两个作为并接，即互为热备份运行；当有一个损坏时，启用第三个作为热备份；再损坏一个是起用第四个，已知下去，直到n个系统均损坏。忽略起用冷备份期间另一系统损坏的可能性；试计算这样运行下的平均寿命；并与全冷备份和全热备份是的平均寿命相比较。

解：状态图如下：i表示有i个系统损坏，失效在图中标出。

2?012?22?…2?n-1?n 第 26 页 共 33 页

由上图有：Si?T20?i?n?2Sn?1?T

从而，平均寿命：

S?S0?S1???Sn?1?S冷?nTS热?S?S冷

Tn?1??n?1??T?T22111?? S热＝?1??????T23n??6.4上题目中n个子系统都是可修复系统，可靠度都是R。仍用上述方式运行，一损坏系统修复后作为最后一个系统排队等候再起用，求稳态可靠度。 解：

m，n-m表示n个系统中有m个失效，状态转移图及失效率与修复率如图：

2?2?2?2?2?2??0, n?1, n-12?2, n-23?m,n-mm?(m+1)?n-1, 1(n-1)?n?n, 0 用Pm表示状态m,n-m的概率（稳态），状态方程如下：

?2?p0??p1????(2??m?)pm?2?pm?1?(m?1)?pm?1?????(2??n?)pn?1?2?pn?2?n?pn??p?n?pn?nn?1??p?1i??i?0解状态方程如下：有：

0?m?n?1

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m??2??p0?pm?m?m！??n??2??p?p0nn?2n！??0?m?n

?n?11?2??m2n?1?n?由归一性：p0??????? ??nn！???????m?0m！?1?2????m！??????mm?1稳态可靠度：Rs?1?pn?1?2??2?????m！???n！?n??n?1n

其中，

?1?R? R是单一系统的可靠度。 ?R6.5一个复杂系统有n级梯形结构组成如图所示。其中有n个子系统作为桥，2(n+1)个子

系统作为梯边，它们都是可靠度为R的可以修复系统。求这个复杂系统的可靠度递推公式，假定所有子系统都互相独立。 解：

依次考虑1，2，3，… n。依照各个桥的情况可以分类，根据1，2，3，… n的好坏

情况可以得到以下结果：

情况 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 概率 R R(1-R) R(1-R)2 可靠度 [1-(1-R)2]Rn-1 [1-(1-R2)2]Rn-2 [1-(1-R3)2]Rn-3 第 28 页 共 33 页

┇ N N+1

R(1-R)n-1 (1-R)n [1-(1-Rn)2]R0 1-(1-Rn+1)2 ?Rn?R?2R?R2?Rn?1?R?1?R??2R2?R4?Rn?2???R?1?R?n?1?2Rn?R2n?R??1?R??2Rn0n?1?R2n?2?

其中：R0?2R?R2 n?0

6.6有一个故障率为?的系统，为了考虑是否使之成为可修复系统而配备维修力量，分别计算两类可靠度，试证明作为不可修复系统在时间T以内的可靠度大于作为可修复系统的稳态可靠度的条件是：?T?0.995?T?0.01

解：故障率为的不可修复系统在T（?T?0.01）内的可靠度为：

R(T)?e??T?e?0.01

?

现：

?的可修复系统的稳定可靠度为

????

R(T)>

???? 或 e?0.01>

?T?T??T??T0.01??T

??T?0.995

6.7有一故障率为?，修复率为的系统?，已知此系统的费用是C?A??r?B?s

其中A，B，r，s为已知的非负常量，求可靠度为0.99时的最小费用。

解：

??????0.99???99?C?A?r?B?99s?s?s?1

1r?s 令：

dcA?0有?r?B?99s?s?s?1?0d???rA?????s?Bs?99??

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?rA?Cmin?A?s?Bs?99???rr?s?rA??B?s?Bs?99??sr?s99s

6.8用流量法求图5－9(b)中的二分网的联接度?和结合度?，只考虑端故障，且各端的可靠度均为R，求1端和5'端间的联接概率。

解：图5－9(b)中的二分图，任意一端度数均为4，??4 容易知道：

??????4

一知考虑端故障，故中有一，二，

三失效和无失效是等价图入右：

可靠度分别为：

?1??1?R???C?R?1?R??1??1?R???C?R?1?R?314342422?C?R?1?R??C?R343444?

1和5'之间联接概率为：

33241234R1,5'?C4?R?1?R?1??1?R??C4?R2?1?R??C4?R3?1?R??C4?R4?1??1?R?

??????6.9有一网络结构如图： 1. 2. 3.

验证网络是否为保证网。 求联接度?和结合度?。

若每边的可靠度都是Re，每端的可靠度

Rn,求线路故障下网络的可靠度和局故障的网络的可靠度。

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4. 5.

解： 1.

求v1和v2间联接的概率。

要使?和?都为2，如何添加一条边来满足。

原网收缩为：

从而是保证图。 2. 3.

去掉U1,U2可使网中断，故?=1, ?=2。 局故障下网的可靠度： 端的不可靠度为Fn?1?Rn 网络的可靠度R1?1?当Fn??1边故障下：

边的不可靠度为Fe?1?Re： 网的可靠度R2?1?当Fe??14.

CF??ii?nin(1?Fn)n?i?1??CiFniRni?1nn?i

R1?1?C?Fn??1?2Fn

?BiF(1?Fe)iei?pmm?i?1??CiFeiRei?2mm?i

2R1?1?B?Fem?1?12Fn

R1,6?1??1?ReRn?1?ReRn1?1?ReRn222R1,65.

????????1??1?R??1?RR??

?R?1??1?R??1?RR???1??1?RR???2222een2n222eenen在V1和V3之间连一条边，就使?=?=2

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6.11有一个四端全联接的网络，各边的容量都为1，可靠度均为0.999，若网络内部只有两个端之间有业务，呼叫量为0.1爱尔兰，不可靠集定义为转接次数大于1，或呼损大于0.01，设所有端均不出故障，求此两端之间通信的综合可靠度。 解：

考虑到转接此时小于等于1，那么某两端见的等

效网络为右图：

有三条独立的线路可靠度为：R2，R1，R2。 其中：R1＝0.999 R2＝0.9992

呼叫量为0.1个爱尔兰，又因为必有呼损率小于0.01，

那么有爱尔兰公式一可知，在可靠集中应至少有两条线路是正常的， 设x为不正常线路个数： x=0的概率：R1R2

x=1的概率：2R1?1?R2?R2??1?R2?R2

22综合可靠度：2R1?1?R2?R2??1?R2?R2?R1R2

22

6.12有m条边n个端的随机图有Cn(n?1)种，即每条边可在任两端之间，在这许多图中，有

2m多少在某两端vi和vj间有边？已知某边的一端是vi，另一端是vj的占多少？若m=n-1，联接图占总数的百分之几。 解：

vi和vj之间有边Cn(n?1)种，

2?1m?1若某边的一端是vi，另一端是vj的概率：

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m?1Cn(n?1)2?1mCn(n?1)?2m2m?

n(n?1)n(n?1)2数的总数是nn?2nn?2，从而联接图占：n?1

Cn(n?1)2

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