人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训51曲线与方程含解析

课后限时集训(五十一) 曲线与方程

(建议用时：60分钟)

A 组 基础达标

一、选择题

1．若方程x 2

＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( ) A ．任意实数a 方程表示椭圆

B ．存在实数a 方程表示椭圆

C ．任意实数a 方程表示双曲线

D ．存在实数a 方程表示抛物线

B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B .]

2．已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP →＝12

(OF 1→＋OQ →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )

A ．圆

B ．抛物线

C ．双曲线

D ．椭圆

D [因为点P 满足OP →＝12

(OF 1→＋OQ →

)，所以点P 是线段QF 1的中点，设P (x ，y )，由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210

＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，得点P 的轨迹方程为(2x ＋6)216＋(2y )210

＝1，故点P 的轨迹为椭圆．故选D .]

3．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足

为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →

，则动点P 的轨迹C 的方程为( )

A ．x 2＝4y

B ．y 2＝3x

C ．x 2＝2y

D ．y 2＝4x A [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．

∵QP →·QF →＝FP →·FQ →

，

∴(0，y ＋1)·(－x ,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，

即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，

∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .故选A .]

4. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )

A ．y 2＝2x

B ．(x －1)2＋y 2＝4

C ．y 2＝－2x

D ．(x －1)2＋y 2＝2 D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，

又∵|PA |＝1，

∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.]

5．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )

A .4x 221－4y 225

＝1 B .4x 221＋4y 225＝1 C .4x 225－4y 221

＝1 D .4x 225＋4y 221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点，

则|AM |＝|MQ |，

所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，

故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52

，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221

＝1.] 二、填空题

6．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．

(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，

则D ? ??

??x 2，y 2. ∴|CD |＝? ????x 2－52

＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形，

∴A 不能落在x 轴上，

即y ≠0

.]

7．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB

上且AP →＝2PB →

，则点P 的轨迹方程是________．

4x 2＋y 2＝16 [设P (x ，y )，A (a ,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2

＝36.因为AP →＝2PB →

， 所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，

所以????? x ＝a 3，

y ＝2b 3，即????? a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94

y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.] 8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．

x 24＋y 23

＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点

轨迹方程为x 24＋y 23

＝1(y ≠0)．] 三、解答题

9.如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，分别求出满

足下列条件的动点P 的轨迹方程．

(1)△PAB 的周长为10；

(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；

(2)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．

[解] (1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|PA |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝5.

因此其轨迹方程为x 29＋y 25

＝1(y ≠0)． (2)设圆P 的半径为r ，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝r ，

因此|PA |－|PB |＝1.

由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，

且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1? ??

??x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.

因此其轨迹方程为y 2＝－8x .

10．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为42.

(1)求动点M 的轨迹

C 的方程；

(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交曲线C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．

[解] (1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆． 由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.

故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24

＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，

由????? x 28＋y 24

＝1，y ＋2＝k (x ＋1)得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.

Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－47

. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2

. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2

＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2

＝2k －(k －4)4k (k －2)2k 2－8k

＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ? ????－1，142，B ?

????－1，－142， 所以k 1＋k 2＝4.

综上，恒有k 1＋k 2＝4.

B 组 能力提升

1．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →

2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线 C [以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a ,0)，

B (a ,0)，则N (x ,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，

所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，

当λ＝1时，轨迹是圆；

当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；

当λ＜0时，轨迹是双曲线；

当λ＝0时，轨迹是直线．

综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．]

2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23

＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )

A .x 236＋y 227

＝1(y ≠0) B .4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C .9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23

＝1(y ≠0) C [依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可

得????? x ＝x 0－1＋13，

y ＝y 03，

即??? x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．]

3．若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．

x ＋y －1＝0 [当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x

－1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k (x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ? ??

??1－1k ，0，l 2与y 轴的交点为B ? ????0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有????? x ＝12? ????1－1k ，y ＝12? ??

??1＋1k ，两

式相加消去k ，得x ＋y ＝1? ????x ≠12，即x ＋y －1＝0? ??

??x ≠12， 所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0? ??

??x ≠12. 当l 1的斜率不存在时，AB 的中点为? ??

??12，12， 适合x ＋y －1＝0，

综上可知，AB 中点的轨迹方程为x ＋y －1＝0.]

4．(2019·泉州模拟)在△ABC 中，O 是BC 的中点，|BC |＝32，△ABC 的周长为6＋32.若点T 在线段AO 上，且|AT |＝2|TO |.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；

(2)若M ，N 是射线OC 上不同的两点，|OM |·|ON |＝1，过点M 的直线与E 交于点P ，Q ，

直线QN 与E 交于另一点R .证明：△MPR 是等腰三角形．

[解] (1)如图，以O 为坐标原点，以BC →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系

xOy .

依题意得B ? ????－322，0，C ? ??

??322，0. 由|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋32，

得|AB |＋|AC |＝6.

因为|AB |＋|AC |＝6＞|BC |，

所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，6为长轴长的椭圆(除去长轴端点)，所以点A 的轨迹

方程为x 29＋2y 2

9

＝1(x ≠±3)． 设A (x 0，y 0)，T (x ，y )，依题意知OT →＝13

OA →， 所以(x ，y )＝13(x 0，y 0)，即???

x 0＝3x ，y 0＝3y .

又x 209＋2y 209＝1，所以(3x )29＋2(3y )29＝1， 即x 2＋2y 2＝1，

所以点T 的轨迹E 的方程为x 2＋2y 2＝1(x ≠±1)．

(2)证明：设M (m ,0)(m ≠1)，N ? ??

??1m ，0， Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)．

由题意得直线QM 不与坐标轴平行，

因为k QM ＝y 1x 1－m

， 所以直线QM 的方程为y ＝

y 1x 1－m (x －m )， 与x 2＋2y 2＝1联立并整理可得，

(m 2＋1－2mx 1)x 2－2m (1－x 21)x ＋(2mx 1－x 21－m 2x 21)＝0，

由根与系数的关系得x 1x 2＝2mx 1－x 21－m 2x 21m 2＋1－2mx 1

， 同理，x 1x 3＝2? ????1m x 1－x 21－? ????1m 2x 21? ????1m 2

＋1－2?

????1m x 1

＝2mx1－m2x21－x21

1＋m2－2mx1

＝x1x2，

所以x2＝x3或x1＝0，

当x2＝x3时，PR⊥x轴；

当x1＝0时，由x1＋x2＝

2m(1－x21)

m2＋1－2mx1

，

得x2＝

2m

m2＋1

，

同理，x3＝

2?

?

?

?

?1

m

?

?

?

?

?1

m

2＋1

＝

2m

m2＋1

＝x2，

∴PR⊥x轴．

因此|MP|＝|MR|，故△MPR是等腰三角形．

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