二项式定理—解题技巧（老师用）

二项式定理

1．二项式定理：

0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，

2．基本概念： 项数：共(r?1)项

rn?rrrn?rr通项：Tr?1?Cnab展开式中的第r?1项Cnab叫做二项式展开式的通项。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的

次数和等于n.

012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系

数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：（令值法）

0122rrnn令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)

5．性质：

0nkk?1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，···Cn ?Cn?Cn012rn②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n， 12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0242r132r?1Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????1n?2?2n?1 2④各项的系数的和：g?x???a?bx?.令x=1 g（1）

n1?g?1??g??1?? 21 偶数项系数和：?g?1?-g?1??

2 奇数项系数和：

nn⑤二项式系数的最大项：如果n是偶数时，则中间项（第?1）的二项式系数项Cn2取得最大值。

2n?1n?1n?1n?3 如果n是奇数时，则中间两项（第.第项）系数项Cn2,Cn2同

22时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a?bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

?Ar?1?Arr?1项系数最大，应有?为A，从而解出r来。 1,A2,???,An?1，设第

A?A?r?1r?26．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；

123n例：Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1? .

0123n解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63???Cn?6n与已知的有一些差距，

123n?Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?112n(Cn?6?Cn?62???Cn?6n) 61011n122nnn ?(Cn?Cn?6?Cn?6???Cn?6?1)?[(1?6)?1]?(7?1)

666123n练：Cn?3Cn?9Cn???3n?1Cn? .

n题型二：利用通项公式求x的系数； 例：在二项式(4132n?x)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x2n?22解：由条件知Cn?45，即Cn?45，?n?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由

1410?r23r10?r2?r43Tr?1?C(x)3r10?(x)?Cxr10?，由题意?10?r2?r?3,解得r?6， 4363则含有x的项是第7项T6?1?C10x?210x3,系数为210。 2练：求(x?19)展开式中x9的系数？ 2x。

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2?12x)10的展开式中的常数项？

解：Tr?1?C(x)r10210?rr4551r20?58182，0?r?0，令2得r?8，所以T9?C10()? ()?C()x2256222x1rr10练：求二项式(2x?

16)的展开式中的常数项？ 2x练：若(x2?1n)的二项展开式中第5项为常数项，则n?____. x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式(x?3x)9展开式中的有理项？ 解：Tr?1?C(x)r9129?r(?x)?(?1)Cx13rrr927?r6，令

27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 627?r34?4，T4?(?1)3C9x??84x4， 627?r93?3，T10?(?1)3C9当r?9时，x??x3。 6所以当r?3时，

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若(x2?13x21)n展开式中偶数项系数和为?256，求n.

解：设(x2?3x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,

令x??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,② 将①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1, 有题意得，?2练：若(3n?1??256??28，?n?9。

151n?2)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 xx

题型六：最大系数，最大项；

练：在(a?b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n2?1 ?Tn?1，也就是第n?1项。

练：在(?x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 3xn?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于2解：只有第5项的二项式最大，则

1C86()2?7

2例：写出在(a?b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大

343434值，从而有T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。

练：在(1?2x)10的展开式中系数最大的项是多少？

r解：假设Tr?1项最大，?Tr?1?C10?2rxr

rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得?，化简得到6.3?k?7.3，又r?1r?1A?Ar?1?2(10?r)???r?1r?2?C102?C102,777?0?r?10，?r?7，展开式中系数最大的项为T8?C102x?15360x7.

题型七：含有三项变两项；

例：求当(x2?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？

r (x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，Tr?1的展

1144开式中才有x的一次项，此时Tr?1?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次项为C5C423x 144它的系数为C5C423?240。

.

题型八：两个二项式相乘；

例：求(1?2x)3(1?x)4展开式中x2的系数.

mm解：?(1?2x)3的展开式的通项是C3?(2x)m?C3?2m?xm,

nnnn(1?x)4的展开式的通项是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4, 4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,1令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4

021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.

练：求(1?3x)(1?26110)展开式中的常数项. 4x1n)的展开式中没有常数项,n?N*且2?n?8,则n?______. 3x练：已知(1?x?x)(x?

题型九：赋值法；

n例：设二项式(33x?)的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若

1xp?s?272,则n等于多少？

n2n0n解：若(33x?)?a0?a1x?a2x?????anx，有P?a0?a1?????an，S?Cn ????Cn?2n，

1x 令x?1得P?4，又p?s?272,即4n?2n?272?(2n?17)(2n?16)?0解得

n2n?16或2n??17(舍去)，?n?4.

?1?3x??练：若???的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

x??

例：若(1?2x)解：令x?2009n?a0?a1x1?a2x2?a3x3???a2009x2009(x?R),则aa1a2?2?????2009的值为 2222009a2009a2009aaa1a21,可得a0?1?2??????0,?????????a0 22009220092222222a2009aa???????1. 在令x?0可得a0?1,因而1?222009222练：若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x1?a0,则a1?a2?a3?a4?a5?____.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c9nt.html