2014年高考一轮复习数学教案：2.60 二次函数

2014年高考第一轮复习数学教案集

2.6 二次函数

●知识梳理

二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：

y=ax+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）+n.

（2）当a＞0，f（x）在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令x0=若－

b2a122

2

（p+q）.

＜p，则f（p）=m，f（q）=M；

b2ab2a若p≤－若x0≤－若－

b2a＜x0，则f（－

b2a）=m，f（q）=M；

b2a＜q，则f（p）=M，f（－）=m；

≥q，则f（p）=M，f（q）=m.

●点击双基

1.设二次函数f（x）=ax+bx+c（a≠0），如果f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），则f（等于

A.－

b2a2

x1?x22）

x1?x22

b2a ）=

2B.－D..

ba

2C.c 解析：f（

4ac?b4a

）=f（－

4ac?b4a答案：D

2.二次函数y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y=［x－（a+b）］2+c2+2ab－（a+b）2=［x－（a+b）］2+c2－a2－b2. ∴顶点为（a+b，c2－a2－b2）. 由题意知c2－a2－b2=0. ∴△ABC为直角三角形.

答案：B

3.已知函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f（1）的范围是 A.f（1）≥25 C.f（1）≤25

m8 B.f（1）=25 D.f（1）＞25

m8解析：由y=f（x）的对称轴是x=，可知f（x）在［，+∞）上递增，由题设只

需

m8≤－2?m≤－16，

∴f（1）=9－m≥25. 答案：A

4.函数f（x）=2x2－6x+1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是

___________.

解析：f（x）=2（x－

32）－

2

72.

当x=1时，f（x）min=－3；当x=－1时，f（x）max=9. 答案：－3 9

5.（2003年春季上海）若函数y=x+（a+2）x+3，x∈［a，b］的图象关于直线x=1对称，则b=__________.

解法一：二次函数y=x+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－∴

a?b2a?222

2

=1.∴a=－4.而f（x）是定义在［a，b］上的，即a、b关于x=1也是对称的，

=1.∴b=6.

解法二：∵二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，∴f（x）可表示为f（x）=（x－1）2+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=－2.∴a=－4，b的计算同解法一.

解法三：∵二次函数的对称轴为x=1，∴有f（x）=f（2－x），比较对应项系数，∴a=－4，b的计算同解法一. 答案：6 ●典例剖析

【例1】 设x、y是关于m的方程m2－2am+a+6=0的两个实根，则（x－1）2+（y－1）2的最小值是

A.－12

1434

2

B.18 C.8 D.

剖析：由Δ=（－2a）－4（a+6）≥0，得a≤－2或a≥3.

于是有（x－1）2+（y－1）2=x2+y2－2（x+y）+2=（x+y）2－2xy－2（x+y）+2=（2a）2

－2（a+6）－4a+2=4a2－6a－10=4（a－

34）2－

494.

由此可知，当a=3时，（x－1）2+（y－1）2取得最小值8. 答案：C

深化拓展

Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.

【例2】 （2004年江苏，13）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表： x y －3 6 2－2 0 －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 0 4 6 则不等式ax+bx+c＞0的解集是______________. 解析：由表知y=a（x+2）（x－3），又x=0，y=－6，代入知a=1.∴y=（x+2）（x－3）. 答案：{x|x＞3或x＜－2} 【例3】 已知二次函数（fx）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c

＞0的解是－

12＜x＜

13，求a、b、c的取值范围.

解：依题意ax2+bx+c－25=0有解，故Δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式ax2+bx+c＞0的解是－

12＜x＜

13，

ba16∴a＜0且有－∴b=

16=－a.

16，

ca=－

16.

a，c=－

∴b=－c，代入Δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.

∴c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24.

评述：二次方程ax+bx+c=0，二次不等式ax+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.

●闯关训练

夯实基础

1.下图所示为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，则｜OA｜·｜OB｜等于

y222

A OB x A.

ca B.－

ca

ca |=－

caC.±

ca D.无法确定

解析：|OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|=|

（∵a＜0，c＞0）.

答案：B

2.已知f（x）=x2－2x+3，在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是___________________.

解析：通过画二次函数图象知m∈［1，2］. 答案：［1，2］

3.已知函数y=（e－a）+（e－a）（a∈R，且a≠0），求y的最小值.

x－x2x－x2x

解：y＝（e＋e）－2a（e＋e）＋2a－2.令t＝e＋e－x，则f（t）＝t2－2at＋2a2－2.

∵t＝ex＋e－x≥2，∴f（t）＝（t－a）2＋a2－2的定义域为［2，＋∞）.

∵抛物线的对称轴方程是t＝a，

∴当a≥2时，ymin＝f（a）＝a2－2；当a＜2且a≠0时，ymin＝f（2）＝2（a－1）2. 4.要使y=x2+4x（x≥a）有反函数，则a的最小值为___________________.

解析：要使y=x+4x（x≥a）有反函数，则y=x+4x在［a，+∞）上是单调函数.∴a≥－2.

答案：－2

5.已知函数f（x）=mx2+（m－3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.

解：若m=0，则f（x）=－3x+1，显然满足要求. 若m≠0，有两种情况：

2

2

x

2

－x

2

①原点的两侧各有一个，则

?Δ?(m?3)2?4m?0??m＜0； ?1?0?x1x2?m???Δ?(m?3)2?4m?0,?3?m?②都在原点右侧，则?x1?x2??0,

2m?1?xx??0,?12m?解得0＜m≤1.

综上可得m∈（－∞，1］.

培养能力

6.设f（x）=x2－2ax+2.当x∈［－1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围. 解：（1）当a≤－1时，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立

?

f（x）min≥a，即3+2a≥a?a≥－3.故此时－3≤a≤－1.

（2）当a＞－1时，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）min≥a，即2－a≥a?a+a－2≤0?－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1. 由（1）（2）知，当－3≤a≤1时，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立. 7.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.

（1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点；

（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围. 解：（1）当a=1，b=－2时，f（x）=x2－x－3=x?x2－2x－3=0?（x－3）（x+1）=0?x=3或x=－1，∴f（x）的不动点为x=3或x=－1.

（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点?对任意实数b，ax2+（b+1）x+b－

2

1=x恒有两个不等实根?对任意实数b，Δ=（b+1）－4a（b－1）＞0恒成立?对任意实数b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恒成立?Δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0?（1－4a）2－（1+4a）＜0?4a2－3a＜0?a（4a－3）＜0?0＜a＜

342

2

.

8.（2003年全国，文）设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R. （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）求函数f（x）的最小值.

2??x?x?3,x?2,解：（1）f（x）=?2

?x?x?1,x?2.?∵f（0）=1≠0，

∴f（x）不是R上的奇函数.

∵f（1）=1，f（－1）=3，f（1）≠f（－1），

∴f（x）不是偶函数.

故f（x）是非奇非偶的函数.

（2）当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f（2）=3.

当x＜2时，f（x）=x－x+1，此时f（x）min=f（总之，f（x）min=

342

12）=

34.

.

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