2010广东高考数学（文科B卷）试卷及详细解答

绝密★启用前

试卷类型：B

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号

填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时。请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、

多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V=

1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合A?B= ( A ) A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝

2．函数，f(x)?lg(x?1)的定义域是 ( B )

A．(2，??) B．(1,??) C．[1，??) D．[2，??)

3．若函数f(x)?3x?3?x与g(x)?3x?3?x的定义域均为R，则 ( D )

A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

4．已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和，若a2·a３＝2a１,且a4与2a7的等差中项为 A．35 B．33 C．31 D．29

A．6 B．5 C．4 D．3

6．若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧,且与直线x?2y?0相切,则圆O的方程是( D )

o*m5，则S5= ( C ) 4??????5．若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3,x)满足条件(8a—b)·c=30，则x= ( C )

A．(x?5)2?y2?5 B．(x?5)2?y2?5

C．(x?5)?y?5 D．(x?5)?y?5

7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( B ) A．

8．“x>0”是“3x2>0”成立的 (A )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件

- 1 - / 8

22224321 B． C． D． 5555w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

''9．如图1，VABC为正三角形，AA//BB//CC，CC?平面ABC且3AA?'''3'BB?CC'?AB，则多面2体

ABC?A'B'C'的正视图(也称主视图)是 ( D )

10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算?和?如下: ( A )

那么d ?(a?c)?

A．a B．b C．c D．d

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题)

11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，

对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民 的月均用水量分别为x1，…，x4 (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若x1，x2，x3，x4分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为 1.5 .

12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：

w_w w. k#s5_u.c o*m年份 2005 2006 12.1 2007 13 2008 13.3 2009 15 收入x 11.5 - 2 - / 8

支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 正 线性相关关系.

13．已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinA=

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB， CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

1 . 2 w_w w. k#s5_u.c o*ma，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= 2a . 2 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，?）（0??＜2?）

中，曲线??cos??sin???1与??sin??cos???1的交点的极坐标为 (1,?2) .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分14分）

设函数f?x??3sin??x?（1）求f?0?；

w_w w. k#s5_u.c o*m????6??，?＞0，x????,???，且以

?为最小正周期． 2（2）求f?x?的解析式；

????9???，求sin?的值． 412?5??316.解：（1）由已知可得：f(0)?3sin?

62?2???? ∴??4 故f(x)?3sin(4x?) （2）∵f(x)的周期为，即?262a?a??? （3）∵f(?)?3sin[4?(?)?]?3sin(a?)?3cosa

4124126293 ∴由已知得：3cosa?即cosa?

55（3）已知f?w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ∴sina??1?cosa??1?()??2352444故sina的值为或?

555

17．（本小题满分12分）

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m - 3 - / 8

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ （3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。

17．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；

（2）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁

的观众共有27人。

w. k#s5_u.c o*mw_w*w.k_s_5 u.c*o*m故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取

5?27?3人。 45（3）法一：由（2）可知，抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a,b，若从5人中任取2名观众记作(x,y)，则包含的总的基本事件有：

(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10个。其中恰有1名观众的年龄为20岁

至40岁包含的基本事件有：(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)共6个。 故P(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=

63?； 10511C2?C33法二：P(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=?. 2C55

18.(本小题满分14分)

如图4，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足

w_w w. k#s5_u.c o*mFC?平面BED，FB=5a. （1）证明：EB?FD；

（2）求点B到平面FED的距离.

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m18．法一：（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心

又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴BC?EB即BD?EB

∵FC?平面BDE，EB?平面BDE， ∴FC?EB

又BD?平面FBD，FC?平面FBD且BD?FC?C ∴EB?平面FBD 又∵FD?平面FBD， ∴EB?FD

（2）解：设点B到平面FED的距离（即三棱锥B?FED的高）为h.

∵FC?平面BDE, ∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形 由已知可得BC?a，又FB?5a ∴FC?(5a)2?a2?2a

1?2a?a?a2, 2 在Rt?BDE中，BD?2a,BE?a，故S?BDE? - 4 - / 8

112S?BDE?FC??a2?2a?a3, 333 又∵EB?平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,

∴VF?BDE? ∴EF?6a,DE?5a，在Rt?FCD中，FD?5a, ∴S?FED?212a, 2 ∵VF?BDE?VB?FED即

12122421?a?h?a3，故h?a, 32321421a. 21即点B到平面FED的距离为h? 法二：向量法，此处略，请同学们动手完成。 19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

19．解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m?12x?8y?64?3x?2y?16?0?6x?6y?42?x?y?7?0???? x,y满足条件?6x?10y?54即?3x?5y?27?0，

??x?Nx?N??y?Ny?N???? 目标函数为z?2.5x?4y，

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把z?2.5x?4y变形为y??斜率为? 由

5zx?，得到845z，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线。 845zy??x?图可知，当直线经

84过可行域上的点

M(即直线x?y?7?0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小，即z最小. 解方程组：??x?y?7?0, 得点M的坐标为x?4,y?3 所以，zmin?22

?3x?5y?27?0答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.

20.（本小题满分14分）

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间?0,2?上有表

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达式f(x)?x(x?2).

w_w w. k#s5_u.c o*m（1）求f(?1)，f(2.5)的值；

（2）写出f(x)在??3,3?上的表达式，并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性； （3）求出f(x)在??3,3?上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m20．解：（1）∵f(x)?kf(x?2)，且f(x)在区间[0,2]时f(x)?x(x?2)

∴f(?1)?kf(?1?2)?kf(1)?k?1?(1?2)??k

1f(x) k113∴f(2.5)?f(0.5?2)?f(0.5)??0.5?(0.5?2)??

kk4k由f(x)?kf(x?2)得f(x?2)?（2）若x?[0,2]，则x?2?[2,4]

111f(x)?x(x?2)?[(x?2)?2][(x?2)?4] kkk1 ∴当x?[2,4]时，f(x)?(x?2)(x?4)

k f(x?2)?若x?[?2,0)，则x?2?[0,2) ∴f(x?2)?(x?2)[(x?2)?2]?x(x?2) ∴f(x)?kf(x?2)?kx(x?2)

若x?[?4,?2)，则x?2?[?2,0) ∴f(x?2)?k(x?2)[(x?2)?2]?k(x?2)(x?4) ∴f(x)?kf(x?2)?k(x?2)(x?4) ∵(2,3]?[2,4],[?3,?2)?[?4,?2)

2?k2(x?2)(x?4),x?[?3,?2)?kx(x?2),x?[?2,0)?∴当x?[?3,3]时，f(x)?? x(x?2),x?[0,2]?1?(x?2)(x?4),x?(2,3]?k2∵k?0,∴当x?[?3,?2)时，f(x)?k(x?2)(x?4)，由二次函数的图象可知，f(x)为增函数；

当x?[?2,0)时，f(x)?kx(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[?2,?1)时，f(x)为增函数，当x?[?1,0)时，f(x)为减函数；

当x?[0,2]时，f(x)?x(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[0,1)时，f(x)为减函数；当

x?[1,2]时，f(x)为增函数；

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当x?(2,3]时，f(x)?1(x?2)(x?4)，由二次函数的图象可知，f(x)为增函数。 k（3）由（2）可知，当x?[?3,3]时，最大值和最小值必在x??3或?1,1,3处取得。（可画图分析）

∵f(?3)??k2，f(?1)??k，f(1)??1，f(3)??∴当?1?k?0时，ymax?f(3)??1 k1,ymin?f(1)??1; k当k??1时，ymax?f(?1)?f(3)?1,ymin?f(?3)?f(1)??1; 当k??1时，ymax?f(?1)??k,ymin?f(?3)??k2.

21.（本小题满分14分）

w_w w. k#s5_u.c o*m已知曲线Cn：y?nx2，点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点（n=1,2,?）. （1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；

（2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn,yn)；

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标， 证明：

?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…)

21．解：（1）y??2nx，设切线ln的斜率为k，则 k?y?|x?xn?2nxn

∴曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程为：y?yn?2nxn(x?xn) 又∵点Pn在曲线Cn上, ∴yn?nxn

∴曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程为：y?nxn?2nxn(x?xn)即2nxnx?y?nxn?0 令x?0得y??nxn，∴曲线Cn在y轴上的交点Qn的坐标为(0,?nxn) （2）原点O(0,0)到直线ln的距离与线段PnQn的长度之比为：

22222|?nxn|

24n2xn?1xn?(nxn?nxn)22222?nxn1?4n2xn2?11?4nxnnxn?1 4当且仅当

1112时，取等号。此时，yn?nxn? ?4nxn即xn?2n4nnxn - 7 - / 8

故点Pn的坐标为(s11,) 2n4n（3）证法一：要证

?|n?1(m?1)xn?(k?1)yn|?|ms?ks|(s?1,2,?) 2s只要证

m?1?k?1?n?112n?s|m?k|(s?1,2,?)

只要证

?2n?1s1n1?s?m?1?k?1m?k1n?n?1(s?1,2,?)

m?1?k?1m?k?所

12n?n?n??n?n?1，又?以

?1

：

?2n?1s1n?1?(2?1)?(3?2)???(s?s?1)?s(s?1,2,?)?s?m?1?k?1(s?1,2,?)

m?k证法二：由上知，只需证

?2n?1s1n?s?sm?1?k?1m?k(s?1,2,?)，

又?m?1?k?1m?k?1，故只需证?n?112n?s，可用数学归纳法证明之（略）.

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