大一高数复习资料

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） EMBED Equation.3 ??

EMBED Equation.3 ??

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列 EMBED Equation.3 ??，证明?? EMBED Equation.3 ????

??

【证明示例】?? EMBED Equation.3 ??????语言

1．由?? EMBED Equation.3 ????化简得?? EMBED Equation.3 ??????，

??

∴?? EMBED Equation.3 ????

??

2．即对?? EMBED Equation.3 ??????，?? EMBED Equation.3 ????，当?? EMBED Equation.3

??

??????时，始终有不等式?? EMBED Equation.3 ????成立，

??

∴?? EMBED Equation.3 ????

??

第三节 函数的极限

○ EMBED Equation.3 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数 EMBED Equation.3 ??，证明?? EMBED Equation.3 ????

??

【证明示例】?? EMBED Equation.3 ??????语言

1．由 EMBED Equation.3 ??化简得 EMBED Equation.3 ??， ∴ EMBED Equation.3 ??

2．即对?? EMBED Equation.3 ??????，?? EMBED Equation.3 ??????，当 EMBED Equation.3

??

时，始终有不等式 EMBED Equation.3 ??成立，

∴?? EMBED Equation.3 ????

??

○ EMBED Equation.3 ??时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数 EMBED Equation.3 ??，证明?? EMBED Equation.3 ????

??

【证明示例】?? EMBED Equation.3 ??????语言

1．由 EMBED Equation.3 ??化简得?? EMBED Equation.3 ????，

??

∴ EMBED Equation.3 ??

2．即对?? EMBED Equation.3 ??????，?? EMBED Equation.3 ??????，当?? EMBED Equation.3

????时，始终有不等式 EMBED Equation.3 ??

??

成立，

∴?? EMBED Equation.3 ????

??

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数 EMBED Equation.3 ??无穷小 EMBED Equation.3 ??

????

?? EMBED Equation.3 ?? EMBED Equation.3

????

函数 EMBED Equation.3 ??

????

无穷大 EMBED Equation.3 ??

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设 EMBED Equation.3 ??为有界函数， EMBED Equation.3 ??小，则?? EMBED Equation.3 ????

??

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 EMBED Equation.3 Equation.3 ??

为无穷小；反之，若 EMBED Equation.3

为无穷大

为无穷

为无穷大，则 EMBED 为无穷小，且 EMBED

Equation.3 ??，则 EMBED Equation.3

【题型示例】计算：?? EMBED Equation.3 ????（或 EMBED Equation.3 ??）

??

1．∵ EMBED Equation.3 ??≤ EMBED Equation.3 ??∴函数 EMBED Equation.3 ??

在 EMBED Equation.3 ??（∵ EMBED Equation.3 ??

??

的任一去心邻域 EMBED Equation.3 ??内是有界的； ≤ EMBED Equation.3 ??

，∴函数 EMBED Equation.3

在 EMBED Equation.3 ??上有界；）

2．?? EMBED Equation.3 ????即函数?? EMBED Equation.3 ??????是 EMBED Equation.3

??

??时的无穷小；

（?? EMBED Equation.3 ????即函数?? EMBED Equation.3 ??????是 EMBED Equation.3

??

??时的无穷小；） 3．由定理可知?? EMBED Equation.3 ????

??

（?? EMBED Equation.3 ????）

??

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式 EMBED Equation.3 ??、 EMBED Equation.3 ??商式的极限运算 设： EMBED Equation.3 ??

则有 EMBED Equation.3 ?? EMBED Equation.3 ??

EMBED Equation.3 ?? EMBED Equation.3 ??

（特别地，当 EMBED Equation.3 ??（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去

可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值 EMBED Equation.3 ??

【求解示例】解：因为?? EMBED Equation.3 ??????，从而可得?? EMBED Equation.3 ??????，所以原式 EMBED Equation.3 ??

其中 EMBED Equation.DSMT4 ??为函数 EMBED Equation.3 ??的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解： EMBED Equation.3 ??

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数 EMBED Equation.3 ??是定义域上的连续函数，那么， EMBED Equation.3 ??

【题型示例】求值：?? EMBED Equation.3 ????

??

【求解示例】 EMBED Equation.3 ??

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限：?? EMBED Equation.3 ????

??

∵?? EMBED Equation.3 ????，?? EMBED Equation.3 ??????∴?? EMBED Equation.3

??

???? ??

?? EMBED Equation.3 ????

??

（特别地，?? EMBED Equation.3 ????）

??

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：?? EMBED Equation.3 ????

??

（一般地，?? EMBED Equation.3 ????，其中?? EMBED Equation.3 ??????）

??

【题型示例】求值：?? EMBED Equation.3 ????

??

【求解示例】

?? EMBED Equation.3 ????

??

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）

1．?? EMBED Equation.3 ????

??

2．?? EMBED Equation.3 ????

??

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：?? EMBED Equation.3 ????

??

【求解示例】

?? EMBED Equation.3 ????

??

第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★） ?? EMBED Equation.3 ????

??

○间断点的分类（P67）（★）

EMBED Equation.3 ??（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数?? EMBED Equation.3 ???? ，?? EMBED Equation.3 ????应该怎样选择

????

数?? EMBED Equation.3 ??????，使得?? EMBED Equation.3 ??????成为在?? EMBED Equation.3 ??????上的连续函数？

【求解示例】

1．∵?? EMBED Equation.3 ????

??

2．由连续函数定义?? EMBED Equation.3 ????

??

∴ EMBED Equation.3 ??

第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程?? EMBED Equation.3 ????至少有一个根介于?? EMBED Equation.3

??

??????与?? EMBED Equation.3 ??????之间

【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数?? EMBED Equation.3 ????在闭区间?? EMBED Equation.3 ????

????

上连续；

2．∵ EMBED Equation.3 ??（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间?? EMBED Equation.3 ??????内至少有一点?? EMBED Equation.3

????，使得?? EMBED Equation.3 ????，即?? EMBED Equation.3 ????（?? EMBED

??

Equation.3 ??????）

??

??

4．这等式说明方程?? EMBED Equation.3 ????在开区间?? EMBED Equation.3 ??????内至少

??

有一个根?? EMBED Equation.3 ?????? 第二章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数?? EMBED Equation.3 ???? ，?? EMBED Equation.3 ????在??

????

EMBED Equation.3 ??????处可导，求?? EMBED Equation.3 ??????，?? EMBED Equation.3 ??????

【求解示例】

1．∵?? EMBED Equation.3 ????，?? EMBED Equation.3 ????

??

??

2．由函数可导定义?? EMBED Equation.3 ????

??

∴ EMBED Equation.3 ??

【题型示例】求?? EMBED Equation.3 ??????在?? EMBED Equation.3 ??????处的切线与法线方程

（或：过?? EMBED Equation.3 ??????图像上点?? EMBED Equation.3 ????处的切线与法线方

??

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