高三数学一轮复习必备精品14：直线与圆的位置关系

第14讲 直线、圆的位置关系

一．【课标要求】

1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．【命题走向】

本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识

预测2010年对本讲的考察是：

（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；

（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；

（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力

三．【要点精讲】

1．直线l1与直线l2的的平行与垂直 （1）若l1，l2均存在斜率且不重合： ①l1//l2? k1=k2；②l1?l2? k1k2=－1。 （2）若l1:A1x?B1y?C1?0, 若A1、A2、B1、B2都不为零。

①l1//l2?A1A2?B1B2?C1C2l2:A2x?B2y?C2?0

；

②l1?l2? A1A2+B1B2=0； ③l1与l2相交?A1A2A1A2?B1B2B1B2?C1C2；

④l1与l2重合??；

注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与?0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数 2． 距离

（1）两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?(x2?x1)?(y2?y1)22

特别地：AB//x轴，则AB?|x1?x2|、AB//y轴，则AB?|y1?y2|。

（2）平行线间距离：若l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0，

1

则：d?C1?C2A?B22。注意点：x，y对应项系数应相等

（3）点到直线的距离：P(x?,y?),l:Ax?By?C?0，则P到l的距离为：Ax?d??By2??C2

A?B3．直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种

Aa?Bb?CA?B22（1）若d?，d?r?相离???0；

（2）d?r?相切???0； （3）d?r?相交???0。

?Ax?By?C?0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组?2求解，通过解的2?x?y?Dx?Ey?F?0个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；

（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

相切?d=r?Δ＝0； 相交?d0； 相离?d>r?Δ<0。 4．两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d。 d?r1?r2?外离?4条公切线； d?r1?r2?外切?3条公切线；

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线； d?r1?r2?内切?1条公切线； 0?d?r1?r2?内含?无公切线；

2

外离 外切

相交 内切 内含

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 四．【典例解析】 题型1：直线间的位置关系

例1．（全国Ⅱ文15）已知圆O：x2?y2?5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=?截距分别是5和【答案】

2545212(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的254，所以所求面积为

12?52?5?。

【总结点评】本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力.

（2）已知两条直线l1:ax?3y?3?0,l2:4x?6y?1?0.若l1//l2，则a?___ _。

解析：（1）答案：

12；（2）2。

点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证kAB?kAC；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。

例2．已知两条直线y?ax?2和y?(a?2)x?1互相垂直，则a等于（ ） A．2 B．1 C．0 D．?1 （2）（2007安徽理，7）

3

若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 解析：（1）答案为D；（2）与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为

4x?y?3?0，故选A。

点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。 题型2：距离问题

例3． 将直线2x?y???0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2?y2?2x?4y?0

相切，则实数?的值为 （ ） （A）－3或7 （B）－2或8 （C）0或10 （D）1或11

【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.

【正确解答】由题意可知：直线2x?y???0沿x轴向左平移1个单位后的直线l为：

2(x?1)?y???0.已知圆的圆心为O(?1,2)，半径为5.

解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有 |2?(?1?1)?2??|5?5，得???3或7.

解法2：设切点为C(x,y)，则切点满足2(x?1)?y???0，即y?2(x?1)??，代入圆方程整理得：5x?(2?4?)x?(??4)?0， （*）

由直线与圆相切可知，（*）方程只有一个解，因而有??0，得???3或7. 解法3：由直线与圆相切，可知CO?l，因而斜率相乘得－1，即

2222y?2x?1?2??1，又因为C(x,y)在圆上，满足方程x?y?2x?4y?0，解得切点为(1,1)或(2,3)，又C(x,y)在直线

2(x?1)?y???0上，解得???3或7.

（2）（湖北文14）过原点O作圆x2+y2-－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q， 则线段PQ的长为 。

【解析】可得圆方程是(x?3)?(y?4)?5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ?4.

4

22

例4。 (圆、向量与三角函数)

设A、B为圆x2?y2?1上两点，O为坐标原点（A、O、B不共线）

???????????????? （Ⅰ）求证：OA?OB与OA?OB垂直.

????????3（Ⅱ）当?xOA?,?xOB??,??(?,),且OA?OB?时.求sin?的值.

4445????????????????2解：（Ⅰ）由|OA|?|OB|?1得|OA|?|OB|2?1

???????2????2 则OA?OB?1

????2????2???????????????? OA?OB?0 (OA?OB)?(OA?OB)?0

???????????????? 则OA?OB与OA?OB垂直 ?????? （Ⅱ）由?xOA?得OA?(cos,sin)

444???? 又?xOB???OB?(cos?,sin?)

?????????3??3 由OA?OB?得coscos??sinsin??

5445?3 即cos(??)?

45 ???4????4?0??4????2?sin(?4??)?45

???????? ?sin??sin??(??)??sincos(??)?cossin(??)

44444?4?22352245210 =

?????

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能

力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度

题型3：直线与圆的位置关系

例5．（2009江苏卷18）（本小题满分16分） 22在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)?(y?1)?4和圆

5

C2:(x?4)?(y?5)?4. 22（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标 解 (1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离d?结合点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|k?124?(2232)?1，

2?1,

化简得：24k?7k?0,k?0,or,k??2724

求直线l的方程为：y?0或y??724(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0

(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

y?n?k(x?m),y?n??1k(x?m)，即：kx?y?n?km?0,?1kx?y?n?1km?0

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。

故有：|?3k?1?n?km|k?12|??4k?5?n?1k21km|，

?1化简得：(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5 关于k的方程有无穷多解，有：??2?m?n?0?m-n+8=0,或??m?n?3?0?m+n-5=0

解之得：点P坐标为(?3,13)或(5,?1)。

2222例6．已知圆M：（x＋cos?）2＋（y－sin?）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：

（A） 对任意实数k与?，直线l和圆M相切；

（B） 对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点；

（C） 对任意实数?，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； （D）对任意实数k，必存在实数?，使得直线l与和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

解析：圆心坐标为（－cos?，sin?）

6

d＝

|－kcos?－sin?|1＋k2＝1＋k|sin（?＋?）|1＋k22 ＝|sin（?＋?）|?1故选（B）（D）

点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。 题型4：直线与圆综合问题

例7．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：

A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为xco?s?y(?1cos??sin?222)?s?in所以点P(0,2到)M中每条直线的距离

d??1

即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C

例8．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：

A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

7

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为xco?s?y(?1cos??sin?222)?s?in所以点P(0,2到)M中每条直线的距离

d??1

即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,

故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C

例9．（江西理16）．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：

A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为xco?s?y(?1cos??sin?222)?s?in所以点P(0,2到)M中每条直线的距离

d??1

即M为圆C:x?(y?2)?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误,

22故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C

8

2

例10．已知函数f(x)=x－1(x≥1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。 （1）求曲线C2的方程y=g(x)；

（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。 解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。 ∵y=x－1，x=y+1，又x≥1，∴x=

2

2

y?1，则曲线C2的方程为g(x)=

x?1(x≥0)。

（2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=|

x1?1 －x2?1|=

x1?x2x1?1?x2?1≤

x1?x22<|x1－x2|。

（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2， 由（2）知，|kAB|=|

y1?y2x1?x2|=

|g(x1)?g(x2)||x1?x2|<1

∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交。 点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入

B手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系

题型6：轨迹问题 yA例11．已知动圆过定点?x??p2?p?,0?，且与直线?2?NM相切，其中p?0。

o?p?F?,0??2?x??p2x（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且

直

???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

p?的垂,0?为记为F，过点M作直线x??2?2?解析：（I）如图，设M为动圆圆心，??p线，垂足为N，由题意知：MF?MN即动点M到定点F与定直线x???pp2的距离相等，

由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F?迹方程为y?2px(P?0)；

2p?,0?为焦点，x??为准线，所以轨

2?2?（II）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1?x2（否则?????）且x1,x2?0 9

所以直线AB的斜率存在，设其方程为y?kx?b，显然x1?y?2px(P?0)y1?y2?2pk2y122p,x2?y222p，将y?kx?b与

联立消去x2pbk，得k2y?2p?y2?p由0b韦达定理知

,y1?y2?①

?2（1）当???2时，即????时，tan??tan??1所以

y1x1?y2x2?1,x1x2?y1y2?0，

y1y24p222?y1y2?0所以y1y2?4p由①知：

22pbk?4p所以。因此直线AB的方程可表示为

2y?kx?2Pk，即k(x?2P)?y?0，所以直线AB恒过定点??2p,0?。

（2）当???2时，由?????，

tan??tan?1?tan?tan?2p(y1?y2)y1y2?4p2得tan??tan(???)==，

将①式代入上式整理化简可得：tan??2pb?2pk2p，所以b?2ptan??2pk，

此时，直线AB的方程可表示为y?kx?2p???2pk即k(x?2p)??y???0，tan?tan???所以直线AB恒过定点??2p,??2p??。 tan??所以由（1）（2）知，当????2p??。 tan???2时，直线AB恒过定点??2p,0?，当???2时直线AB恒

过定点??2p,点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。 例12．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2?4. 过动点P分别作圆O2、圆O2的切线PM，NPN（M，分别为切点），使得PM?2PN. 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程

解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则

O1(?2，0)，O2(2，0)。

10

由已知PM?2PN，得PM2?2PN2。

因为两圆半径均为1，所以PO12?1?2(PO22?1)。

2222设P(x，y)，则(x?2)?y?1?2[(x?2)?y?1]，

即(x?6)2?y2?33(或x2?y2?12x?3?0)。

点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力 题型7：课标创新题

例13．已知实数x、y满足(x?2)2?(y?1)2?1，求z?解析：

2y?1x的最大值与最小值。

y?1x2表示过点A（0，－1）和圆

(x?2)?(y?1)?1上的动点（x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分得最大值和最小值

设切线方程为y?kx?1，即kx?y?1?0，则|2k?2|k2别取

?1，解得k?4?377。

?14?3因此，zmax?，zmin?4?37

点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用

例14．设双曲线xy?1的两支分别为C1、C2，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。若P?1，?1在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标

??

分析：正三角形PQR中，有PQ?PR?QR， 则以P?1，?1为圆心，PR为半径

??的圆与双曲线交于R、Q两点。 根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标

2解析：设以P为圆心，PR?r(r?0)为半径的圆的方程为：?x?1???y?1??r，

22 11

222???x?1???y?1??r由?得：x2?1???xy?1?r?1x?1?0。

2?（其中，可令t?x?1x进行换元解之）

设Q、R两点的坐标分别为x1，y1，x2，y2即?x1?x2???x1?x2??4x1x2?同理可得：?y1?y2??PQ2??????x?x2?，则?1??x1x2?12r?1?12。

222?r2?r?1?1??4，

?1?1??4， 且因为△PQR

22是正三角形，则

?QR2?r，

222

即r??x1?x2???y1?y2?2??2???r?1?12?2?2?4，得r?24。 ?? 代入方程x?1?2?r?1x?1?0，即x2?4x?1?0。

3??x2?2?或??3?y2?2?332?

??x2?4x?1?0?x1?2?由方程组?，得：?xy?1???y1?2?，

所以，所求Q、R的坐标分别为2??3，2?3，2???3，2?3

?点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一

些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用

五．【思维总结】

1．关于直线对称问题：

（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P（x0 ，y0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q（x1 ，y1）．有＋C ＝0。

（2）解出x1 与y1 ；若求C1 ：曲线f（x ，y）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋C1 ＝0对称的曲线C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 ＝g1（x1 ，y1）与y0 ＝g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f [g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C2 方程：f [g1（x ，y），g2（x ，y）]＝0。

（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C1 ：y2 ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l2 的方程

12

y0?y1x0?x1＝－

AB（1）与A·

x0?x12＋B·

y0?y12为：(x －4) ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了

（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决 点与圆位置关系：P（x0 ，y0）和圆C ：(x －a) ＋(y －b) ＝r。 ①点P 在圆C 外有(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＞r2； ②点P 在圆上：(x0 －a) ＋(y0 －b) ＝r； ③点P 在圆内：(x0 －a) ＋(y0 －b) ＜r 。

3．直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）＝0．圆C ：f2（x ，y）＝0消y 得F（x2）＝0。

（1）直线与圆相交：F（x ，y）＝0中? ＞0；或圆心到直线距离d ＜r 。 直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB|＝

1?k22

222

22

22

22

1?k2·|x1 －x2|＝

，

y1?y22·(x1?x2)2?4x1x2，或|AB|＝2r?d22；②弦中点坐标（

x1?x22）；

③弦中点轨迹方程。

（2）直线与圆相切：F（x）＝0中? ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P（x0 ，y0）是圆x2 ＋y2 ＝r2 上的点，过P 的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2 ，其二是圆外点P（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为(x0?a)?(y0?b)?r或x0?y0?r；其三是P（x0 ，y0）为圆x2 ＋y2 ＝r2 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x0x ＋y0y ＝r2 。

（3）直线与圆相离：F（x）＝0中? ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2 上任一点，|PQ|max ＝|PC|＋r ；|PQ|min ＝|PQ|－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．

4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定． （1）设⊙O1 圆心O1 ，半径r1 ，⊙O2 圆心O2 ，半径r2 则：

①当r1 ＋r2 ＝|O1O2|时⊙O1 与⊙O2 外切；②当|r1 －r2|＝|O1O2|时，两圆相切；③当|r1 －r2|＜|O1O2|＜r1 ＋r2 时两圆相交；④当|r1 －r2|＞|O1O2|时两圆内含；⑤当r1 ＋r2 ＜|O1O2|时两圆外离

（2）设⊙O1 ：x ＋y ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x ＋y ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0。 ①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋F1 －F2 ＝0；

②经过两圆的交点的圆系方程为x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＋?（x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y

2

2

2

2

222222 13

＋F2）＝0（不包括⊙O2 方程）

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