广西科技大学时间序列分析计算题复习题

广西科技大学2013—2014学年第 2学期

时间序列分析计算题复习题

1. 设时间序列{Xt}来自ARMA(2,1)过程，满足

(1?B?0.5B2)Xt?(1?0.4B)et,

其中{et}是白噪声序列，并且E(et)?0,Var(et)??2，

（1） 判断ARMA(2,1)模型的平稳性。（5分）

（2） 利用递推法计算其一般线性过程表达式的前三个系数：?0，?1，?2 。（5分）

解答：（1）其AR 特征方程为1?x?0.5x?0，特征根为x?1??1?1?i，在单位圆外，故平稳！ 也可用平稳域法见（P52公式（4.3.11））。 （2)由P57公式（4.4.7)知道

2?0?1???1???1??1??(?0.4)?1?1.4 ?。 ????????????0?0.5?1.4?0.92211?2

2. 某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N＝500），经过

?}的前10个数值如下表 ?k}及样本偏相关系数{?计算样本其样本自相关系数{?kkk 1 -0.47 -0.47 2 0.06 -0.21 3 -0.07 -0.18 4 0.04 -0.10 5 0.00 -0.05 6 0.04 0.02 7 -0.04 -0.01 8 0.06 -0.06 9 -0.05 0.01 10 0.01 0.00 ?k ?? ?kk（1） 利用所学知识，对{Xt}所属的模型进行初步的模型识别。（5分） （2） 对所识别的模型参数和白噪声方差?e给出其矩估计。（5分）

2(0,1,1) 解答：（1） 样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA?1?1?1?4?0.47?1?1?4???1? （2） 由于ARIMA(0,1,1)模型有?1?，?1????0.7415

?1??122?1?2?0.47?e2??

1?21??1?0.645。

3. 设{Xt}是二阶滑动平均模型MA(2),即满足Xt?et??et?2，其中{et}是白噪声序列，并且

E(et)?0,Var(et)??2，

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（1）求{Xt}的自协方差函数和自相关函数。

（2）当??0.8时，计算样本均值(X1?X2?X3?X4)/4的方差。 解答：（1）

??k??E?XtXt?k??E???t???t?2???t?k

??1??2??2,k?0? ???t?k?2??????2,k?2?0,其他??1,k?0?????k???,k?2 2?1????0,其他2?X1?X2?X3?X4?121????（2）Var? ??Var??1????1????1??1????2???0??3??4???44??161?0.8?0.64)?0.61?2 ??2(4

4.设{et}是正态白噪声序列，并且E(et)?0,Var(et)??2，时间序列{Xt}来自Xt?0.8Xt?1?et?et?1，问模型是否平稳？为什么？

解答： 该模型是平稳的，因为其AR特征方程1?0.8x?0的根为1.25，大于1。

5.假定Acme公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型：Yt?5?1.1Yt?1?0.5Yt?2?et, 其

中?e2?2。

（a）如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元，1100万美元和1000万美元，预测2008年和2009年的销售额。 （b）证明模型里的?1?1.1。

（c）计算问题（a)中2008年预测的95%预测极限。

（d）如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。 解答: (a)应用P142公式(9.3.28)得

?(1)?5?1.1Y?0.5Y? 5 + 1.1(10) – 0.5(11) = 10.5（百万美元） Y200720072006?(2)?5?1.1Y?(1)?0.5Y? 5 + 1.1(10.5) – 0.5(10) = 11.55（百万美元） Y200720072007(b）由课本54页公式(4.3.21) , ?0?1，?1??1?0??1?1.1。

2（c)由课本第140页公式（9.3.15）知道：Var(et(l))??e2(1??12??2?...???t2?1)，2008年预测

?(1)?z?的95%预测极限为(Y20071?0.025Var(e2007(1)),Y2007(1)?z1?0.025Var(e2007(1)))，这里 ?(1e2007(1)?Y2008?Y?e2008，故Var(e2007(1))??e2?2，代入后简单计算得2008年预测的95 07）预测极限为（7.67,13.33）。

?(l)?Y?(l?1)??[Y?Y?(1)]，所以 （d)由148页更新方程（9.6.1）知 Yt?1tlt?1t?(1)?Y?(2)??[Y?Y?(1)]?11.55?1.1(12?10.5)?13.2（百万美元） Y20082007120082007

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6.设{Xt}的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84，试求 （1）样本均值x；

?1,??2和自相关函数??1,??2； （2）样本的自协方差函数?（3) 对AR(2)模型参数给出其矩估计，并写出模型的表达式。

（1） 样本均值x。 0.758

?1,??2。 ?1,??2和自相关函数值?（2） 样本的自协方差函数值??k?注意???xt?1n?kt?x??xt?k?x?n?k??k?k?，而?(这里n?10，具体计算略过）

??0（3） 对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。 由Yule-Walker方程

??1??1??2?1???2??1?1??2

?2?2???121??????1??0.18649，?2? ?1???0.080908?1?121??1????1?????????0.83803 ?012xt?0.83803?0.18649xt?1?0.080908xt?2??t

7.设{Xt}服从ARMA(1,1)模型：Xt?0.8Xt?1?et?0.6et?1，其中X100?0.3,e100?0.01。 （1）给出未来3期的预测值；

（2）给出未来3期的预测值的95%的预测区间（z0.025?1.96）？。

????1??0.8X?0.6??0.234 解答：（1）X100100100

??2??0.8X??1??0.8?0.234?0.1872X100100 ??3??0.8X??2??0.8?0.1872?0.14976X100100

1?0.6B?t?1?0.2B?0.16B2???t。

1?0.8B（2）应用延迟算子B表达式，我们有Xt?

由（P143公式（9.3.38））知道Var[et??l?1。因为??l?]????2j，

2ej?0l?10?1,?1?0.2,?2?0.16,故有

。所以未来l期的预测值的Var[e100?1?]?0.0025，Var[e100?2?]?0.0026，Var[e100?3?]?0.002664?100?l??z0.025Vare100?l?。故未来3期的预测值的95%的预测区间95%的预测区间为: x为：

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????

101 (0.234?1.960.0025,0.234?1.960.0025) 101 （0.136，0.332） 102 （0.087，0.287） 103 （-0.049，0.251）。

8.设平稳时间序列{Xt}服从AR(1)模型：Xt??1Xt?1?et，其中{et}是白噪声序列，并且

1??12证明： 由题意 Xt??1Xt?1?et，两边求方差得 Va(rXt)?Va(r?1Xt?1?et)

E(et)?0,Var(et)??2，证明：Var(Xt)??2。

??12Va(rXt?1)?Va(ret)（因为et与Xt?1相互独立） ??12Va(rXt)??2（因为Xt平稳） 整理即得 Va(rXt)??21??12。

9.设平稳时间序列{Xt}服从AR(2)模型：Xt??1Xt?1??2Xt?2?et，其中{et}是白噪声序列，

??2k?2并且E(et)?0,Var(et)??，证明其偏自相关系数满足：?kk??。

0k?3?证明：因为AR(2)模型偏自相关系数2阶截尾，即当k?3时，?kk?0。（其一般证明见课本P80页）这里仅证明?22??2。

2????1?22??1事实上，?22满足如下Yule-Walker方程：?21（见课本P81公式（6.2.8）），其中

??????222?121?1,?2分别为该AR(2)模型前2阶自相关系数。由课本P52页的公式（4.3.14）和P53页的公

?1???1?1??2?式（4.3.15）知：?2。 ?(1??)??21??2?2?1??2??2(1??2)??12?12?()2???1??21??2于是，解Yule-Walker方程得?22?221???2。

?121??11?()1??2

10.设时间序列{Xt}服从ARMA(1,1)模型：Xt?0.5Xt?1?et?0.25et?1，其中{et}是白噪声序列，

?1?并且E(et)?0,Var(et)??2，证明其自相关系数满足：?k??0.27?0.5?k?1?k?0k?1。 k?2解：方程两边乘以Xt?1再取数学期望得E(XtXt?1)?E(0.5Xt2?1)?E(Xt?1et)?E(0.25Xt?1et?1)，

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整理得 ?1?0.5?0?0.25?2 (1) 方程两边求方差得

Var(Xt)?Var(0.5Xt?1?et?0.25et?1) ?0.25Var(Xt?1)?Var(et?0.25et?1)?2Cov(0.5Xt?1,et?0.25et?1)

131整理得 ?0?0.25?0?(1?)?2?0.25?2 ??0??2 （2）

1216?727? ，所以?1?1? 将（2）代入到（1）可得： ?1??0.27 。 24?026?0?1，而当k?2时，方程两边乘以Xt?k再取数学期望可得 ?0 E(XtXt?k)?E(0.5Xt?1Xt?k)?E(Xt?ket)?E(0.25Xt?ket?1)

整理得 ?k?0.5?k?1 （3） 在（3）式两边同除?0，即得 ?k?0.5?k?1，k?2 。证毕！

注意到 ?0?

11.设时间序列{Xt}服从AR(1)模型：

Xt??Xt?1?et，其中{et}是白噪声序列，E(et)?0,Var(et)??e2

x1,x2(x1?x2)为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数?,?e2的极大似然估计。

2解：依题意n?2，故无条件平方和函数为 S(?)??(x2??x1)2?(1??2)x12?x12?x2?2?x1x2

t?22 易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为 ?(?,?e)??log(2?)?log(?e)?2211log(1??2)?S(?) 22?e22?x12?x2?2?x1x22???(?,?)???e?0?2?2???e所以对数似然方程组为?，即?2?2???2x1x2?0???(?,?e)?02??e2??1?????2e2x1x2????2?x12?x2?。解之得?。 222x?x????2?1222?2x1?x2?????

12.对下列每个ARIMA模型，求E(?Yt)和Var(?Yt)。 （a) Yt?3?Yt?1?et?0.75et?1

（b) Yt?10?1.25Yt?1?0.25Yt?2?et?0.1et?1

解：（a) 原模型可变形为 ?Yt?3?et?0.75et?1, 注意到et为零均值方差为?e2的白噪声序列。

E(?Yt)?E(3?et?0.75et?1)?3??252 所以有 ?22Var(?Y)?Var(3?e?0.75e)?(1?0.75)???ettt?1e?16?

（b)原模型可变形为 ?Yt?10?0.25?Yt?1?et?0.1et?1, 因此{?Yt}为一个平稳可逆的ARMA(1,1)模型。同时注意到et为零均值方差为?e2的白噪声序列，所以我们有

E(?Yt)?E(10?0.25?Yt?1?et?0.1et?1)?10?0.25E(?Yt)（?平稳性）

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1040?

1?0.253另一方面， Var(?Yt)?Var(10?0.25?Yt?1?et?0.1et?1)

?E(?Yt)? ?0.252Var(?Yt?1)?Var(et?0.1et?1)?2Cov(0.25?Yt?1,et?0.1et?1) ??(1?1Var(?Yt)?(1?0.01)?e2?2E[0.25?Yt?1(et?0.1et?1)] 161)Var(?Yt)?(1?0.01)?e2?0.5E(?Yt?1et)?0.05E(?Yt?1et?1) 16 ?(1?0.01)?e2?0?0.05E(Yt?1et?1)?1.01?e2?0.05E(et?1et?1)?0.96?e2 所以有 Var(?Yt)?0.9616?e2?1.024?e2。 15

13. 若一时间序列长度为35，现对该时间序列拟合AR(1)模型得其残差的前6个样本自相关

?1??0.051?2?0.032,r?3?0.047,r?4?0.021?5??0.017,r?6??0.019 系数如下：r,r,r计算Ljung?Box统计量并由此对残差的自相关性进行检验（显著性水平??0.05）。

解：易见K?6,p?1,q?0，（见课本P132）故Ljung?Box检验统计量等于

(?0.051)2(0.032)2(0.047)2(0.021)2(?0.017)2(?0.019)2Q*?35(35?2)[?????]

35?135?235?335?435?535?6 ?0.28

2此时服从一个自由度为6?1?0(?5)的卡方分布，因为Q*?0.28??0.05(5)?11.0705，所以没

有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。

14. 若一时间序列长度为100，现对该时间序列拟合ARMA(1,1)模型得其残差的前8个样本自

?1?0.02,r?2?0.05,r?3?0.10,r?4??0.02,r?5?0.05,r?6?0.01,r?7?0.12,r?8??0.06 相关系数如下：r计算Ljung?Box统计量并由此对残差的自相关性进行检验（显著性水平??0.05）。

解：易见K?8,p?1,q?1，（见课本P132）故Ljung?Box检验统计量等于

(?0.02)2(0.05)2(0.10)2(?0.02)2(?0.05)2(?0.01)2(?0.12)2(?0.06)2Q*?100(100?2)[???????]100?1100?2100?3100?4100?5100?6100?7100?8

?3.6512

2此时服从一个自由度为8?1?1(?6)的卡方分布，因为Q*?3.6512??0.05(6)?12.5916 所以没

有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。

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