2012届高三数学总复习：平面解析几何练习题汇总

一、选择题

→→

1．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是( ) A．圆 C．双曲线 [答案] A

[解析] 以MN的中点为原点，直线MN为x轴建立直角坐标系．并设M(－3,0)，N(3,0)，→→P(x，y)，则PM·PN＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝(x2－9)＋y2＝0，即x2＋y2＝9.

2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD.设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为( ) A．双曲线 C．圆 [答案] A

[解析] 由OP交⊙O于M可知|PO|－|PF|＝|PO|－|PM|＝|OM|<|OF|(F在圆外)，∴P点的轨迹为双曲线，故选A.

3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A．π C．8π [答案] B

[解析] 设P(x，y)，由知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.

4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是23，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是( ) x2y2

A.＋＝1 94x2y2

C.＋＝1 32[答案] C

B．椭圆 D．抛物线

B．椭圆 D．抛物线

B．4π D．9π

x2y2B.＋＝1 128

x2y2D.＋＝1 1210

[解析] 依题意得，|PA|＝|PF2|， 又|PA|＋|PF1|＝|AF1|＝23，

故|PF1|＋|PF2|＝23，点P的轨迹为椭圆， x2y2

方程为＋＝1.

32

5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( ) A．一条直线 C．一个椭圆 [答案] A

[解析] 过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C的轨迹是平面α、β的交线．

B．一个圆 D．双曲线的一支

6．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )

[答案] A

[解析] 由log2x，log2y,2成等差数列得 2log2y＝log2x＋2 ∴y2＝4x(x>0，y>0)，故选A.

x2y2

7．过椭圆＋＝1内一点R(1,0)作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是( )

94A．圆

B．椭圆 D．抛物线

C．双曲线 [答案] B

[解析] 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，则4x12＋9y12＝36,4x22＋9y22＝36， 相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 将x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，

y1－y2y

＝代入可知轨迹为椭圆． x1－x2x－1

8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )

A．线段B1C B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B1C1中点连成的线段 [答案] A

[解析] 设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A， ∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α， ∴P1P2⊥BD1，

又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，∴P点的轨迹为B1C.

9．设x1、x2∈R，常数a>0，定义运算“*”，x1]x*a))的轨迹是( ) A．圆

B．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

C．双曲线的一部分

[答案] D

[解析] ∵x1]x*a)＝x＋a2－x－a2＝2ax， 则P(x,2ax)．

?x1＝x

设P(x1，y1)，即?，消去x得，

?y1＝2axy12＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，

故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D.

10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )

A．a1－c1＝a2－c2 C．a1c2>a2c1 [答案] C

[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O1，O2，公共左顶点为A，如图，则a1－c1＝|AO1|－|FO1|＝|AF|，a2－c2＝|AO2|－|FO2|＝|AF|，故A对；又a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2c1c2

＋c2，故B对；由图知e1>e2，即>，∴a1c2

a1a2二、填空题

x2y2

11．F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外

43角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________． [答案] x2＋y2＝4

11

[解析] 延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，∴动

22点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.

y2

12．(2010·哈师大附中)已知曲线C1的方程为x2－＝1(x≥0，y≥0)，圆C2的方程为(x－3)2

8＋y2＝1，斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与双曲线C1相交于点B，|AB|＝3，则直线AB的斜率为________． [答案]

B．a1＋c1>a2＋c2 D．a1c2

3 3

[解析] 设B(a，b)，则由题意可得

b2???a2－8＝1?a＝1

，解得?， ?

?b＝0???a－32＋b2＝3＋1

则直线AB的方程为y＝k(x－1)，故∴k＝

33，或k＝－(舍去)． 33

|3k－k|1＋k2

＝1，

13．(2010·浙江杭州质检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________． [答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝9(位于圆x2＋y2＝16内的) [解析] ∵以AB为直径的圆过点C，∴AC⊥BC， 1

∵M是AB中点，∴|CM|＝|AB|＝3，

2

故点M在以C(1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x－1)2

＋(y＋1)2＝9，∵M为弦AB的中点，∴M在⊙O内，故点M轨迹为圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9位于圆x2＋y2＝16内的部分．

14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.则动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为________．

[答案]

x2

＋y2＝1 3

[解析] 由已知得直线l1⊥l2， l1：y＝

3

x，l2：y＝－3x， 3

3

x1，y2＝－3x2， 3

∵点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，∴y1＝由|PQ|＝2得，(x12＋y12)＋(x22＋y22)＝4， 4x12即x12＋4x22＝4?＋x22＝1， 33

x2

∴动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为＋y2＝1.

3三、解答题

15．(2010·广州市质检)已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l：x＝22的距离之比为

2. 2

(1)求动点P的轨迹C的方程；

→→

(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM·FN＝0，求|MN|的最小值．

[解析] (1)设点P(x，y)， 依题意有，x－22＋y2|x－22|＝2， 2

x2y2x2y2

整理得＋＝1，所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.

4242(2)∵点E与点F关于原点O对称， ∴点E的坐标为(－2，0)． ∵M、N是直线l上的两个点，

∴可设M(22，y1)，N(22，y2)(不妨设y1>y2)． →→

∵EM·FN＝0，

∴(32，y1)·(2，y2)＝0， ∴6＋y1y2＝0，即y2＝－

6

. y1

由于y1>y2，∴y1>0，y2<0. ∴|MN|＝y1－y2＝y1＋

6≥2y16

y1·＝26. y1

当且仅当y1＝6，y2＝－6时，等号成立． 故|MN|的最小值为26. [点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：

(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C1：

x2y23＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与a2b23

以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C1的方程；

(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

(3)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值． [解析] (1)∵e＝∴2a2＝3b2.

∵直线l：x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝b2相切， ∴b＝2，b2＝2，∴a2＝3. x2y2

∴椭圆C1的方程是＋＝1.

32

(2)∵|MP|＝|MF2|，∴动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离， ∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线． ∴点M的轨迹C2的方程为y2＝4x.

(3)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线AC的方程为y＝k(x－1)．

x2y26k2联立＋＝1及y＝k(x－1)得，(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，所以x1＋x2＝，x1x2

322＋3k23k2－6＝. 2＋3k2

|AC|＝1＋k2x1－x22 ＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝

48k2＋1. 2＋3k2

3c2a2－b21，∴e2＝＝＝， 3a2a23

11481＋k2由于直线BD的斜率为－，用－代换上式中的k可得|BD|＝.

kk2k2＋31241＋k22

因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝，

22＋3k22k2＋3

由于(2＋3k2)(2k2＋3)≤*

2＋3k2＋2k2＋35k2＋196

]2＝[]2，所以S≥，当2＋3k2＝2k2＋

2225

3，即k＝±1时取等号．易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S＝4.

96

综上可得，四边形ABCD面积的最小值为.

25

16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于1→→B、C两点．当直线l的斜率是时，AC＝4AB.

2(1)求抛物线G的方程；

(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

11

[解析] (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝

222y－4. 由?

?x2＝2py?

??x＝2y－4

得2y2－(8＋p)y＋8＝0，

y1y2＝4 ①??

∴?， 8＋py1＋y2＝ ②?2?

→→

又∵AC＝4AB，∴y2＝4y1③

由①，②，③及p>0得：y1＝1，y2＝4，p＝2， 则抛物线G的方程为：x2＝4y.

(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，

??x2＝4y由???y＝kx＋4

得x2－4kx－16k＝0④

∴x0＝

xC＋xB

＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. 2

1

∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，

k

∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4. ∴b∈(2，＋∞)．

[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：

(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴的负半轴上，过点M(0，→→

－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足OA＋OB＝(－4，－12)．

(1)求直线l和抛物线的方程；

(2)当抛物线上动点P在点A和B之间运动时，求△ABP面积的最大值． [解析] (1)据题意可设直线l的方程为y＝kx－2， 抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．

??y＝kx－2联立?得，x2＋2pkx－4p＝0.

?x2＝－2py?

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4. →→

所以OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)． →→

因为OA＋OB＝(－4，－12)，

?－2pk＝－4?

??－2pk2－4＝－12

所以?

，解得?

?p＝1???k＝2

.

故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线的方程为x2＝－2y.

(2)根据题意，当抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大． 设点P(x0，y0)，因为y′＝－x，则－x0＝2，解得x0＝－2， 1

又y0＝－x02＝－2，所以P(－2，－2)．

2此时，点P到直线l的距离 |2×－2－－2－2|45d＝＝. 522＋－12

??y＝2x－2

由?，得x2＋4x－4＝0.则x1＋x2＝－4，x1·x2＝－4， ?x2＝－2y?

所以|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1·x2 ＝1＋22·－42－4－4＝410.

1145

故△ABP面积的最大值为|AB|·d＝×410×＝82.

225

5→→→

17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，|EF|＝2，|EF＋ED|＝，椭

2圆C：

x2y2

＋＝1以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点． a2b2

(1)求椭圆C的标准方程；

→1→

(2)若点K满足OK＝ED，问是否存在不平行于EF的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N

3→→

且|MK|＝|NK|，若存在，求出直线l的斜率的取值范围，若不存在，说明理由． x2y2

[解析] (1)由已知E(－1,0)，F(1,0)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

a2b2b2

令xD＝－c可得yD＝，

a

5→→3→→→→

∵|EF＋ED|＝，EF⊥ED，|EF|＝2，∴|ED|＝.

22c＝1???a＝2

∴?b23，解得?

＝?b＝3??a2

x2y2∴椭圆C的方程是＋＝1.

43

1→1→(2)∵OK＝ED，∴K?0，?，当l⊥EF时，不符合题意，

3?2?故可设直线l的方程为：y＝kx＋m(k≠0) y＝kx＋m??

由?x2y2消去y得，

＋＝1??43

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0 ∵M、N存在，∴Δ>0

即64k2m2－4(3＋4k2)·(4m2－12)>0， ∴4k2＋3>m2(※)

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点H(x0，y0) ∴x0＝

x1＋x24km

＝－， 23＋4k2

3m

，

3＋4k2

y0＝kx0＋m＝

→→

∵|MK|＝|NK|，∴|MK|＝|NK|，

3m11

－y0－

213＋4k2213＋4k2

|MK|＝|NK|?MN⊥KH?＝－?＝－?m＝－

x0k4kmk2

－

3＋4k2代入(※)式得4k2＋3>－∴4k2＋3<4，

11

又k≠0，∴－

22

11

∴l的斜率的取值范围是?－，0?∪?0，?.

?2??2?

?3＋4k2?2

2??

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点H(x0，y0) ∴x0＝

x1＋x24km

＝－， 23＋4k2

3m

，

3＋4k2

y0＝kx0＋m＝

→→

∵|MK|＝|NK|，∴|MK|＝|NK|，

3m11

－y0－

213＋4k2213＋4k2

|MK|＝|NK|?MN⊥KH?＝－?＝－?m＝－

x0k4kmk2

－

3＋4k2代入(※)式得4k2＋3>－∴4k2＋3<4，

11

又k≠0，∴－

22

11

∴l的斜率的取值范围是?－，0?∪?0，?.

?2??2?

?3＋4k2?2

2??

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