第2讲 比和比例 学生版 - 图文

第二讲

比和比例

教学目标

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题

知识点拨

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．

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二、主要比例转化实例

xaabybxy ① ? ? ?； ?； ?；

ybxyxaabxamxaxma② ? ? (其中m?0)； ?； ?ybmybymbxaxax?ya?bx?ya?b③ ? ? ； ； ；? ???ybx?ya?bx?ya?bxaxaycxac④ ?，? ? ?；x:y:z?ac:bc:bd；

ybzdzbdcdadbc⑤ x的等于y的，则x是y的，y是x的．

abbcad

三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配

例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到

axbx的物体数量与x的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到个，乙分配到个.

a?ba?b

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a?b)，数量差为x，那么A的元素数量

axbx为，B的元素数量为，所以解题的关键是求出?a?b?与a或b的比值． a?ba?b

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为

单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正

比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题

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例题精讲

模块一、比例转化

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例题1

11已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，23 5丙等于甲、乙两数和的，求甲:乙:丙. 72

例题2

已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的 的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？ 22，那么甲的、乙333

例题3

如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的4，且圆A中的阴影部分面5 11积占圆A面积的，圆B的阴影部分面积占圆B面积的，圆C的阴影部分面积651占圆C面积的．求圆A、圆B、圆C的面积之比． 32010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 3 of 3

ABC

4

例题4

某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会 员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．

【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段

时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

5

例题5

某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么 丙组有多少名男会员？ 6

例题6

(2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成 的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 2010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 4 of 4

【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人

数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

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例题7

①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两 个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？ 模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应

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例题8

一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？ 2010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 5 of 5

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例题21

（2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和 中型车数量之比是5:6，中型车与小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？ 22

例题22

6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体， 并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？ 23

例题23

(2007年二中考题)某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三 种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？ 24

例题24

(2008年第13届华杯赛初赛)将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数 7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那么这位小朋友是 的比为(填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块． 2010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 11 of 11

【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的

15，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的．今年儿子多少岁？ 41125

例题25

一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长方形面积的比是A:B?1:2，B:C?1:2．而在图⑵中相应的 A':B'?1:3，B':C'?1:3.又知长方形的宽减去的宽所得到的差与比例是D'DD'的长减去D的长所得到差之比为1:3．求大长方形的面积． ACA'C'BDB'D'（1）

⑵

26

例题26

(2008年101中学试题)北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20:13；后来又决定增加男子 象棋项目，男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员 多15人，则总运动员人数为多少？

【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是19:13．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；再放

入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11．已知放入的红球比白球少80只．那么原来袋子里共有 只球．

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例题27

(2008年西城实验考题)有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相7同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调18 817（三）利用等量关系列方程解比例

28

例题28

某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是 29

例题29

有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分 一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________． 2010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 13 of 13

家庭作业

36是草地；圆的是竹林；竹林比草471

练习1

右图是一个园林的规划图，其中，正方形的 地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米?

2

练习2

乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的11等于乙班种的棵数的，且乙班45 比甲班多种树24棵，甲、乙两个班各种树多少棵? 3

练习3

53甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余24048元，乙节余480元．甲本月收入多少元？ 2010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 14 of 14

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练习4

甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米／小时，乙1车的速度是40千米／小时，当甲车驶过A、B距离的多50千米时与乙车相遇， 3A、B两地相距 千米． 月测备选

1

备选1

甲、乙、丙三个数，已知甲:?乙?丙??4:3，乙:丙?2:7，求甲:乙:丙。 2

备选2

有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么， 这堆糖果中有奶糖多少块? 2010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 15 of 15

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备选3

一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？ 4

备选4

加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在 三人在同样的时 间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 5

备选5

加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在 三人在同样的时间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 2010年·暑假 六年级数学·第2讲·学生版 page 16 of 16

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