2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测及答案解析

2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测

高三数学检测试卷 2018.04.23

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分）

一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A＝{x | x＞1}， B＝{x | x＜2}，则 A∩B＝（ ） A． { x | 1＜x＜2} B． {x | x＞1} C． {x | x＞2} D． {x | x≥1}

2．设 a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R（ i 是虚数单位），则 a＝（ ） A． 3 B． －3 C．

11 D． － 33（2x?)的展开式中 x3项的系数是（ ） 3． 二项式

A． 80 B． 48 C． －40 D． －80

4．设圆 C1： x2＋y2＝1 与 C2： (x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆 C1与 C2的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含

1x5?2x+3y-9?05． 若实数 x， y 满足约束条件 ?，设 z＝x＋2y ，则（ ）

x-2y-1?0? A． z≤

．0≤z≤5 C． 3≤z≤5 D．z≥5

6．设 a＞b＞0， e 为自然对数的底数． 若 ab＝ba，则（ ） A． ab＝e2 B． ab＝7． 已知 0＜a＜ξ 122

2 C． ab＞e D． ab＜e e1，随机变量 ξ 的分布列如下： 40 1 4 1 －1 3 4 P a －a 当 a 增大时，（ ）

- 1 -

A． E(ξ)增大， D(ξ)增大 B． E(ξ)减小， D(ξ)增大 C． E(ξ)增大， D(ξ)减小 D． E(ξ)减小， D(ξ)减小 8．已知 a＞0 且 a≠1，则函数 f (x)＝(x－a)2lnx（ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值

9． 记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin． 若平面向量 a， b， c 满足| a |＝| b |＝a?b ＝c?(a＋2b－2c)＝2． 则（ ） A． |a－c|max＝3?73?7 B． |a＋c|max＝ 223?73?7 D． |a＋c|min＝ 22 C． |a－c|min＝√10． 已知三棱锥 S－ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA＜SB＜SC，平面 SBC， SCA， SAB 与 平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α1， α2， α3，则（ ） A． α1＜α2 B． α1＞α2 C． α2＜α3 D． α2＞α3 非选择题部分（共 110 分）

二、 填空题（ 本大题共 7 小题， 第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）

x211．双曲线?y2= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．

212．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．

- 2 -

14．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．

15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．

16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤

13，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝ ． 4417．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式

恒成立，则的最大值为 ．

三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．

19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC 的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD． （Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；

（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．

- 3 -

20．（本题满分15分）已知函数f(x)＝（Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)；

lnx x2?x1（Ⅱ）证明：f(x)＜（e为自然对数的底数）．

2e+e

21．（本题满分15分）如图，过抛物线M：y＝x上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D． 2

（Ⅰ）设A(x0，x0)（x0≠0），求直线AB的方程； （Ⅱ）求

- 4 -

2

|OB|的值． |OD|

22．（本题满分15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋（Ⅰ）证明：an＋1＞an≥1； （Ⅱ）若对任意n∈N*，都有

证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，an≤（ⅱ）．an≤

2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）

题号 答案

二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．y??15．32

26x； 225n?1 2c（c＞0，n∈N*）， an

c(n?m)?am am1 A 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C 9 A 10 A 12．3；162 16．

3 413．

315114 ?；6?(6?13)? 14．－；1643 17．

三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）

73（Ⅰ）因为sin(x＋?)＝cos(x－?)，

4473所以 f (x)＝2sin(x＋?)＝－2sin(x＋?)．

44所以函数f (x)的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分

- 5 -

3（Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－?)，

459所以单调递减区间为(?＋2kπ，?＋2kπ)（k∈Z）．…………14分

44

19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM⊥BD，

又因为 AC′⊥BD， 所以 BD⊥平面AMC， 因为BD?平面ABD，

所以平面AMC⊥平面AB D．

…………7分

（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D．

由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角． 设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝3，MD＝2－3，

A

DC＝DC′＝33－2，AD＝6－2．

在Rt△C′MD中，

B M D F C′

2

2

2

2

MC?2?C?D2?MD2?(33?2)2?(2?3)2

＝9－43．

设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′－AF＝MC′－MF， 即 4－x＝(9－43)－(x－1)， 解得，x＝23－2，即AF＝23－2． 所以 C′F＝223?3．

2

2

（第19题）

故直线C?D与平面ABD所成的角的正弦值等于

23?3C?F＝． AF3?1…………15分

20．（本题满分15分）

（I）f?(x)?x?1?(2x?1)lnx．

(x2?x)2 …………6分

- 6 -

3（Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－?)，

459所以单调递减区间为(?＋2kπ，?＋2kπ)（k∈Z）．…………14分

44

19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM⊥BD，

又因为 AC′⊥BD， 所以 BD⊥平面AMC， 因为BD?平面ABD，

所以平面AMC⊥平面AB D．

…………7分

（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D．

由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角． 设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝3，MD＝2－3，

A

DC＝DC′＝33－2，AD＝6－2．

在Rt△C′MD中，

B M D F C′

2

2

2

2

MC?2?C?D2?MD2?(33?2)2?(2?3)2

＝9－43．

设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′－AF＝MC′－MF， 即 4－x＝(9－43)－(x－1)， 解得，x＝23－2，即AF＝23－2． 所以 C′F＝223?3．

2

2

（第19题）

故直线C?D与平面ABD所成的角的正弦值等于

23?3C?F＝． AF3?1…………15分

20．（本题满分15分）

（I）f?(x)?x?1?(2x?1)lnx．

(x2?x)2 …………6分

- 6 -

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