专题：相似三角形的几种基本模型及练习

专题：相似三角形的几种基本模型

（1）如图：DE∥BC，则△ADE∽△ABC称为“平截型”的相似三角形. A E D A D E A B C

B C

B C D E

“A”字型 “X”（或8）字型 “A” 字型

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜截型”的相似三角形.

AAD1EE14EDA21DBC2BCB2C （3） “母子” （双垂直）型 射影定理：

由_____________ ，得____________ __，即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _。 C A D21 E

A D B

BC“母子” （双垂直）型 “旋转型”

（4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型

A A D BCE

“K” 字（三垂直）型 AA120°

（6）“半角”型 BM45°N60°

CBDECD E图1

图2

旋转图1 ：△ABC是等腰直角三角形，∠MAN=

12∠BAC，结论：△ABN∽△MAN∽△MCA； 图2 ：△ADE是等边三角形， ∠DAE=12∠BAC，结论：△ABD∽△CAE∽△CBA；

1

应用

1．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为 ( ) A．3

B．4

C．5

D．6

2．如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是 ( ) A．△DBE B．△AED和△BDC C．△ABD

图3 图4 图5

3．如图5, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交AC于E, 交BC于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对

4．如图6，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，在下列条件下：①∠AED＝∠B；②AD∶AC＝AE∶AB；③DE∶BC＝AD∶AC.能判定△ADE与△ACB相似的是 ( )A．①② B．①③ C．①②③ D．① 5．如图7，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC； ③

ADAB

＝.其中正确的有 ( ) A．3个 AEAC

B．2个 C．1个 D．0个

D．不存在

A E B F C D G 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)

7．如图9，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点E在BC边上，AB=3，CD=2，BC=7．若△ABE与△ECD相似，则CE=___________．

BECAD图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C＝∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是 ( )

BCACABAC

A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠D C.＝ D.＝ DEAEADAE

1

9．如图11，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°，

4②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF， ④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为 个。

图10 图11

2

10.如图12，在Rt△ABC中，∠ACB?90°，CD⊥AB于点D，BD?2，AD?8，则CD?______，AC?______，BC?______．

11．如图13，在平面直角坐标系中，直线y=1x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内2yCB作矩形ABCD，使AD=5．则点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．

y

CDCBAOxA'ADBOAx图12 图13 图14 图15

12．如图14，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置上．若OB=5，BC1?，则点A′的坐标为________． OC213．如图15，在边长为 9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则 AE的长为_____．

14．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.

15．在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.

16.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD，BE交于点F．求证：

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(1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若DB＝9，求BM.

DF1?． AF2AFECBD17．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动(不能到达点B，C)，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E. (1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

18．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，BC＝6 cm.某一时刻， 动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速 度向B点匀速运动；同时，动点N从D点 出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动，问： 1

(1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

9

(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

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