复变函数B复习题

复变函数与积分变换B复习题

一、 复数运算与复变函数

1. 已知复数z?1i?3，求

z, Re(z)和argz，并将z写成三角表示和指数表示。

1的三角表示。 z2. 设复数z?r(cos??isin?)，其中r?0，求3. 设复数z??1?3i， 求z，Arg?z4?。

44．已知复数z?2?23i，求 35．已知复数zz。

?12，求z的实部和虚部。

6．设z?e?7?9i，求argz，

z。

7．计算Ln(?2?i)，并求其主值ln(?2?i)。

?1?3i??8. 已知z???1?3i?,求z，argz。

??109. 已知复数z满足方程ez?2i?1?i，求z。

x?yx?y ?i2222x?yx?y10. 判定以下函数在复平面上的可导性及解析性，并求出函数在可导点处的导数。 （1）f(z)?2x2?1?iy2 （2）f(z)?（3）f(z)?z2?iRe(z2)

11. 证明：若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，则f(z)v(x,y)等于常数，在D内恒等于常数。

二、复变函数的积分 1. 计算积分2.计算

?i1zsin2zdz。（请将结果写成a?ib其中a,b?R的形式）

?Cz2dz，其中曲线C为

（1）从原点到z?1?i的直线段；

（2）从z??i沿单位圆周z?1到z?i的曲线。

1

3. 计算

?zdz，其中C:z?2顺时针方向。

cz24. 计算积分?ecRe(z)dz，其中C:从z1?0到z2?1?i的直线段。

5. 计算以下曲线积分 （1）?（3）

z?3?ez?2z?sinzdz； （2）??z?32e(z?1)zdz ； 2z?5z?4?z?3sin2zcoszdzdz ； （4）33?z?3zz?4z

三、洛朗级数

1. 判断以下级数的敛散性

???513（1）?(（2）?(i)n。 ?ni) ；

n2n?1n?12n??(n!)2n2. 求幂级数?nz的收敛半径和收敛圆周（收敛圆盘）。

n?1n?3．将函数f(z)?zcos2在0?z???内展开成洛朗级数。 z4. 将f(z)?1在下列圆环域内展成洛朗级数 2z?2z?3①0?z?1 ②4?z?3???。 5．将f(z)?1在下列圆环域内展成洛朗级数 2z?2iz?3①2?z?3 ② 4?z?i???。

四、留数理论

1. 已知函数f(z)在z??2处的去心邻域0?z?2??内的洛朗展式为

f(z)???31??8?2?z?2??? 2?z?2?z?2（1）判断孤立奇点z??2的类型； （2）Res?f(z),?2? 。

2

2．已知函数f(z)??zz?32?1?2，求（1）Res?f(z),i?，Res?f(z),?i?。

（2）利用上述结果计算?f(z)dz，其中C为含z?1在内的任一正向简单闭曲线。

c3．计算积分闭曲线。 4．计算积分

?cz2dz，其中C为包含z?1 和z??3在内的任一正向简单

2(2z?1)(z?3)cosz?c????z??2??3dz,其中曲线C:z??2?1取正向。

5．求积分?z?3sin1dz. 2z?13z2?16. 若函数f(z)?32，求Res?f(z),2?。

z(z?4)7. 若函数f(z)?e11?2z1??，求Res?f(z),?。

2??4，求Res?f(z),0?。 z28. 若函数f(z)?z3cos

五、积分变换

1．求以下函数的Laplace逆变换

s?2s?2（1）F(s)?L?f(t)??2；（2）F(s)?L?f(t)??2；

4s?14s?1（3）F(s)?L?f(t)??ss?2；（4）。 ??F(s)?Lf(t)?s2?2s?5(s?2)32．若L[f(t)]??tt1，求L[?f(t)dt]。 40(s?2)3. 计算L??esin2t??，Ltsint。 4.若f(t)?tcost??sin3tdt，求L[f(t)]。

0t??5．利用Laplace变换的性质计算广义积分 （1）???0e?3t（2）。cos2tdt；

???01-cost?tedt。 t 3

?y???2y??3y?16．用Laplace变换求解微分方程：?。

?y(0)?0,y?(0)?47. 用Laplace变换求解微分方程的初值问题：

y''?4y?sint, y(0)?y'(0)?0。

?y???2y??8y?e?4t8. 用Laplace变换求解微分方程：?。

9. 用Laplace变换解下列积分方程

f(t)?sint?2?t0cos(t??)f(?)d?

?y(0)?0,y?(0)?1(t?0)。

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