惠州市2014届高三4月模拟考试（文数）惠州一模

广东省惠州市2014届高三4月模拟考试

数 学 试 题（文科） 2014.04

本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．函数g(x)?x?3的定义域为（ ）

A．xx??3 B．xx??3 C．xx??3 D．xx??3

2．已知向量a?(?1,5),b?(2,3)，则向量2a?b的坐标为（ ）

A．(1,3) B．(2,4) C．(5,4) D．(0,13) 3．不等式

????????1?x?0的解集为（ ） 2?xA．[?2,1] B．(?2,1]

C．(??,?2)?(1,??) D．(??,?2]?(1,??)

4．i是虚数单位，若z?(i?1)i，则z等于（ ）

A．2 B．2 C．1 D．

2 2文科数学 第1页 共12页

5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，如果学科网直角三角形的直角边长为1， 那么这个几何体的体积为 ( )

1A．1 B．

2C．

主视图 左视图

11 D． 36俯视图 6．用二分法求方程lgx?3?x的近似解，可以取的一个区间是（ ）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

x2y2??1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于 （ ） 7. 已知椭圆

m?210?mA．8 B．7 C．6 D．5

8．设m、n是两条不同的直线，?、?是两个不同的平面。下列四个命题正确的是（ ） A.若m??,?//?,则m//? B.若m、n??,m//?,n//?,则?//? C.若m??,???,n//?,则m?n D.若???,???,则???

9．已知sn?1?2?3?4?5?6????(?1)n?1?n，则s6?s10?s15等于（ ）

A．-5

B．-1

C．0

D．6

10．设命题p：函数y?sin(2x?x?3)的图象向左平移

?个单位长度得到的曲线关于y轴对称； 6命题q：函数y?3?1在??1,???上是增函数．则下列判断错误的是（ ） ．．A．p为假 B．?q为真 C．p?q为假 D．p?q为真 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

?x?0?11．已知点(x,y)满足?y?0，则u?y?x的最小值是 ．

?x?y?1?文科数学 第2页 共12页

12. 程序框图（即算法流程图）如下图所示，其输出结果是 ． 13．设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上 的任意实数，则斜边长小于

否

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系下，曲线

a>100? 是 输出a 结束 第12题图 开始 a=1 a=2a+1 3的概率为 ． 4?x?2t?2aC1:?(t为参数)，曲线C2?y??t??x?2cos:?(?为参数).?y?2?2sin?若曲线C1,C2有公共点，则实数a的取值范围是____________． 15．（几何证明选讲选做题）如右图所示，P是圆O 外一点，过P引圆O的两条割线PAB、PCD,

APOCDBPA?AB?5，CD?3，则PC? ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?cosx?sinxcosx,x?R （1）求f()的值；

2?6（2）若sin??

3???，且??(,?)，求f(?). 52224文科数学 第3页 共12页

17．（本小题满分12分）

某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计,得到如下频率分布表：

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 频数 频率 ?180,210? ?210,240? 0.1 8 s 0.3 0.25 ?240,270? 12 10 ?270,300? ?300,330? t （1）求分布表中s，t的值；

（2）王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这40名学生中抽取20名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？

（3）已知第一组学生中男、女生人数相同，在（2）的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？ 18．（本小题满分14分）

如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB?AD，且AB?AD?1CD?1． 2现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2． （1）求证：AM∥平面BEC; （2）求证：BC?平面BDE; （3）求点D到平面BEC的距离.

文科数学 第4页 共12页

EEDCMFDCFA图1

BA图2

B

19.（本小题满分14分）

*已知正项数列?an?中，前n项和为Sn(n?N)，当n?2时，有Sn?a1?3，

Sn?1?3.

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）记Tn是数列?bn?的前n项和，若bn是

20.（本小题满分14分）

11的等比中项，求Tn . ,anan?13x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右顶点分别为A(?2,0),B(2,0)，离心率e?．

ab2（1）求椭圆的方程；

（2）若点C为曲线E:x?y?4上任一点（C点不同于A,B），直线AC与直线x?2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

21.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ax?lnx(a?R).

(1)若a?2，求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间；

2(3）设g(x)?x?2x?2，若对任意x1?(0,??)，均存在x2?[0,1]，使得f(x1)?g(x2)，

22求a的取值范围.

文科数学 第5页 共12页

广东省惠州市2014届高三4月模拟考试

文科数学答案 2014.04

一． 选择题 题号 答案

1．【解析】选A，x?3?0可得x??3. 2．【解析】选D，2a?b?(0,13). 3．【解析】选B，

1 A 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 A 9 C 10 D ?(1?x)(2?x)?01?x?0????2?x?1.

2?x?02?x?4.【解析】选B，两边同时取模可得Z?2.

5.【解析】选D, 由三视图还原几何体可知V?1?1?1?1?1.

3266.【解析】选C， 设f(x)?lnx?x?3，

当连续函数f(x)满足f(a)f(b)?0时，f(x)?0在（a,b）上有解.

?10?m?0?27.【解析】选A，?m?2?0得10?m?6,由c?m?2?10?m?4,m?8

?m?2?10?m?8.【解析】选A，有面面平行的性质可知A正确.

9.【解析】选C,相邻两项依次结合可得：

S6??3,S10??5,S15??7?a15??7?15?8,?S6?S10?S15?0

10. 【解析】选D ，

??y?sin(2x?2?)向左平移得到y?sin(2x?),不是偶函数，故p假；363

由函数y?3x?1的图像可知其在?-1，???上不单调，故q假.所以错误的命题为D.二．填空题 11.

?1 12. 127 13.

9? 6414. 2?5?a?2?5 （ 或 [2?5,2?5] ） 15. 2

文科数学 第6页 共12页

11.【解析】y?x?u,u为斜率为1的平行直线系在y轴上的截距，由数形结合可知?1?u?1. 12.【解析】连续递推可得a?63时，再一次进入循环，输出a?127. 13.【解析】设两条直角边长为a,b，

132?()?0?a?1322244?9? 由已知可知构造面积模型:?,子事件为a?b?(),所以其概率p?41?164?0?b?114.【解析】化为普通方程后，圆心到直线的距离小于或等于圆的半径（d?r），解不等式即可.

15.【解析】由割线定理可得PA?PB?PC?PD,得PC?2 三．解答题

16. （本小题满分12分） 解：(1)f(x)?cos2?62?sin?6cos?6?(32133?3)??? …………………2分 6224(2) f(x)?cosx?sinxcosx?1?cos2x1?sinx …………4分 22?1112??(sin2x?cos2x)??sin(2x?) ……………………6分 22224)?12???sin(???) ……………………8分 22124f(???24

?因为sin??12?1213?sin(??)??(sin??cos?) …………10分 22322223?4，且??(,?)，所以cos??? ………11分 52512133410?32?46?(???)? ………12分 22252520所以f(???24)?17．（本小题满分12分）

8?0.2，t?1?0.1?s?0.3?0.25?0.15． …………4分 40x20x20（2）设应抽取x名第一组的学生，则??,得x?2．

440440解：（1）s?故应抽取2名第一组的学生． …………6分

（3）在（2）的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为a1,a2，2名女生为b1,b2． 按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种结果，列举如下：

文科数学 第7页 共12页

a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2． ……………9分

其中既有男生又有女生被抽中的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2这4种结果， ……10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为P?42? …………12分 63.

EFMDAGBNC 18．（本小题满分14分）

（1）证明：取EC中点N，连结MN,BN． 在△EDC中，M,N分别为EC,ED的中点， 所以MN∥CD，且MN? 由已知AB∥CD，AB?1CD． 21CD， 2 所以MN∥AB，且MN?AB． …………………………3分 所以四边形ABNM为平行四边形．

所以BN∥AM． …………………………4分 又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC，

所以AM∥平面BEC． ………………………5分 （2）在正方形ADEF中，ED?AD．

又因为平面ADEF?平面ABCD，且平面ADEF?平面ABCD?AD， 所以ED?平面ABCD．

所以ED?BC． ………………………7分 在直角梯形ABCD中，AB?AD?1，CD?2，可得BC? 在△BCD中，BD?BC? 所以BD?BC?CD．

所以BC?BD． …………………………8分 所以BC?平面BDE． …………………………10分

（3）解法一：因为BC?平面BCE， 所以平面BDE?平面BEC． …………11分 过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG?平面BEC

所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度 ………………………12分

文科数学 第8页 共12页

2222．

2,CD?2，

在直角三角形BDE中，S?BDE? 所以DG?11BD?DE?BE?DG 22BD?DE?BE23?6 3 所以点D到平面BEC的距离等于

6. ………………………14分 3 解法二：BE?平面BDE,所以BC?BE 所以S?BCD? S?BCE?11BD?BC??2?2?1, 22116BE?BC??2?3?. ………………………12分 222 又VE?BCD?VD?BCE，设点D到平面BEC的距离为h. 则

S?DE1611?? S?BCD?DE??S?BCE?h，所以 h??BCDS?BCE33362 所以点D到平面BEC的距离等于19. （本小题满分14分） 解析： （1）?sn?6. ………………………14分 3sn?1?3 s1?a1?3,公差d?3的等差数列……………1分

?数列?s?为首项为n?sn?3?(n?1)?3?3n， ……………2分

即sn?3n2 …………………………………………3分

?an?sn?sn?1?6n?3(n?2)………………………………………4分

当n?1时，上式也成立?an?6n?3(n?N*)……………6分

（2）?bn是11 ,的等比中项，an?1an文科数学 第9页 共12页

?bn?11 …………………………………7分 ?anan?1(6n?3)(6n?3)?Tn?111(?) …………………………………9分 66n?36n?31?111111?(?)?(?)?...?(?)?……………11分 ?6?399156n?36n?3?111?(?) ……………………………………13分 636n?3?n ………………………………………14分

9(2n?1)20.（本小题满分14分）

解析：（1）由题意可得a?2，e?222c3， ∴ c?3 …………2分 ?a2∴b?a?c?1， …………………3分

x2?y2?1． …………………4分 所以椭圆的方程为4（2）曲线E是以O(0,0)为圆心，半径为2的圆。 设C(m,n)，点R的坐标为(2,t)，…………………5分

????????∵A、C、R三点共线， ∴AC//AR，…………………6分 ????????而AC?(m?2,n)，AR?(4,t)，则4n?t(m?2)，

4n， ………………………………………8分 m?24n2n∴点R的坐标为(2,)，点D的坐标为(2,)， …………………10分

m?2m?22nn?m?2?(m?2)n?2n?mn， ∴直线CD的斜率为k?m?2m2?4m2?4∴t?而m?n?4，∴m?4??n，

文科数学 第10页 共12页

2222

mnm， …………………12分 ??n?n2m∴直线CD的方程为y?n??(x?m)，化简得mx?ny?4?0，

n∴k?∴圆心O到直线CD的距离d?4m?n22?44?2?r，…………………13分

所以直线CD与曲线E相切． ……………………………14分 21．（本小题满分14分） 解：(1)由已知f?(x)?2?1(x?0)， …………………………1分 xf?(1)?2?1?3，所以斜率k?3， …………………………2分

又切点(1,2)，所以切线方程为y?2?3(x?1))，即3x?y?1?0

故曲线y?f(x)在x?1处切线的切线方程为3x?y?1?0。 ………………3分 (2)f?(x)?a?1ax?1?(x?0) ………………4分 xx①当a?0时，由于x?0，故ax?1?0，f?(x)?0，所以f(x)的单调递增区间为(0,??).

………………………………5分

②当a?0时，由f?(x)?0，得x??1. ……………………6分 a1,??)上，f?(x)?0， a1,??). …………7分 a在区间(0,?)上，f?(x)?0，在区间(?1a所以，函数f(x)的单调递增区间为(0,?)，单调递减区间为(?1a（3）由已知，转化为f(x)max?g(x)max. ………………8分 g(x)?(x?1)?1,x?[0,1] ，所以g(x)max?2 ………………9分 由(2)知，当a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，值域为R，故不符合题意.

(或者举出反例：存在f(e)?ae?3?2，故不符合题意.) ………………10分 当a?0时，f(x)在(0,?)上单调递增，在(?3321a1,??)上单调递减， a文科数学 第11页 共12页

故f(x)的极大值即为最大值，f(?)??1?ln(?)??1?ln(?a)， ………12分 所以2??1?ln(?a)， 解得a??1a1a1. …………14分 3

文科数学 e第12页 共12页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c8cg.html