2019高考数学二轮复习 专题一三角恒等变换与解三角形 第1讲 三角

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第1讲 三角函数的图象与性质

[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝

y(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． xsin α22

2．同角基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α

cos α3．诱导公式：在

?α≠kπ＋π，k∈Z?. ??2??

kπ

2

＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点

P(2,1)，则tan 2α等于( )

4114

A. B. C．－ D．－ 3223答案 A

解析 因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)， 1所以tan α＝，

2

2tan α14

因此tan 2α＝＝＝. 2

1－tanα13

1－4

(2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f(x)＝x－2x－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos?－2cosα－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) 8442A. B．－ C. D．－ 5533答案 A

解析 由f(x)＝x－2x－x可知f′(x)＝3x－4x－1， ∴tan α＝f′(1)＝－2，

3

2

2

2

3

2

2

?π＋α?

??2?

?2?π2

cos?＋α?－2cosα－3sin(2π－α

?2?

2

2

)cos(π＋α)

＝(－sin α)－2cosα－3sin αcos α

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＝sinα－2cosα－3sin αcos α

sinα－2cosα－3sin αcos αtanα－3tan α－2＝＝ 222sinα＋cosαtanα＋1＝

4＋6－28＝. 55

2

2

2

22

思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

5π??5π跟踪演练1 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P?sin，cos?，则sin(π

33??＋α)等于( ) A．－

3113

B．－ C. D. 2222

答案 B

解析 由诱导公式可得，

π?5ππ3?sin＝sin?2π－?＝－sin＝－，

3?332?

π?5ππ131???cos＝cos?2π－?＝cos＝，即P?－，?， 3?332??22?由三角函数的定义可得，

1

＝，

3?2?1?22?

?－?＋?2??2???

12

sin α＝

则sin(π＋α)＝－sin α

1＝－.

2

?π?sin?π－α?－4sin?＋α??2??3π?(2)(2018·衡水金卷调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin?＋α?，则等于

5sin?2π＋α?＋2cos?2π－α??2?

( )

1111

A. B. C. D．－ 2366答案 D

解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin?

?3π＋α?，

?

?2?

∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，

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?π?sin?π－α?－4sin?＋α?

sin α－4cos α?2?

则＝ 5sin?2π＋α?＋2cos?2π－α?5sin α＋2cos α

＝

热点二 三角函数的图象及应用

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：

π3π

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．

22(2)图象变换：

向左?φ>0?或向右?φ<0?

(先平移后伸缩)y＝sin x平移―――――→ |―φ―|―个单位长度2cos α－4cos α－21

＝＝－. 10cos α＋2cos α126

y＝sin(x＋φ)

1

横坐标变为原来的?ω>0?倍

ω―――――――――――→y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标不变纵坐标变为原来的A?A>0?倍

―――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变1

横坐标变为原来的?ω>0?倍

ω(先伸缩后平移)y＝sin x―――――――――――→ 纵坐标不变

y＝sin ωx向左?φ>0?或右?φ<0?

―――――→y＝sin(ωx＋φ) |―φ―|―平移个单位长度ω

纵坐标变为原来的A?A>0?倍―――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变

π??例2 (1)要得到函数y＝sin?3x－?的图象，只需将函数y＝cos 3x的图象( )

4??π

A．向右平移个单位长度

4π

B．向左平移个单位长度

43π

C．向右平移个单位长度

43π

D．向左平移个单位长度

4答案 A

π?π???π???π?π?π?π

解析 因为y＝cos 3x＝sin?3x＋?＝sin 3?x＋?，且y＝sin?3x－?＝sin 3?x－?，－?－?＝，

2?6?4?????12?6?12?4

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π?π?所以应将y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y＝sin?3x－?的图象．故选A. 4?4?(2)(2018·永州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象5π?π?向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间?－，θ?上的值域为

12?6?[－1,2]，则θ＝________.

答案

π 3

解析 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，

T13π7ππ

则A＝2，＝－＝，解得T＝π，

212122

所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)， π?π??π?当x＝时，f??＝2sin?2×＋φ?＝0，

33?3???2π

又|φ|<π，解得φ＝－，

32π??所以f(x)＝2sin?2x－?， 3??

5π

因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，

12所以g(x)＝2sin?2?x－

????

5π?2π?＝2cos 2x， ?－

12?3??

?π?若函数g(x)在区间?－，θ?上的值域为[－1,2]， ?6?

则2cos 2θ＝－1，

π2π

则θ＝kπ＋，k∈Z，或θ＝kπ＋，k∈Z，

33π

所以θ＝.

3

思维升华 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如

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果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．

π??跟踪演练2 (1)(2018·东北三省四市模拟)将函数f(x)＝sin?2x＋?的图象向右平移a个单位长度得到函数3??

g(x)＝cos?2x＋?的图象，则a的值可以为( )

4

??

π?

?

5π7π19π41πA. B. C. D. 12122424答案 C

π?π???解析 将函数f(x)＝sin?2x＋?的图象向右平移a个单位长度得到函数y＝sin?2x－2a＋?，

3?3???π?ππ???而g(x)＝cos?2x＋?＝sin?2x＋＋?，

4?42???πππ

故－2a＋＝2kπ＋＋，k∈Z，

342

5π19π

即a＝kπ－，k∈Z，所以当k＝1时，a＝. 2424

π??(2)(2018·北京朝阳区模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|

2??

?π?________；函数f(x)在区间?，π?上的零点为________．

?3?

答案 2

7π

12

ππ

解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为36

T＝2?－?－6??＝π，根据T＝

?π

?3?π?????

2π

可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)＝ω

π?πkππ7π?2sin?2x－?，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，结合所给的区间，整理得出x＝. 6?621212?热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间

ππ?π3π???y＝sin x的单调递增区间是?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)，单调递减区间是?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)；

?

2

2??

2

2?

y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；

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ππ??y＝tan x的单调递增区间是?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

?

2

2?

2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数； π

当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；

2

π

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．

2

y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

π2

y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．

例3 设函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－3cosωx＋π＋4. (1)求ω的值；

π??(2)若函数y＝f(x＋φ)?0<φ

＝sin 2ωx－＋ 22213

＝sin 2ωx－cos 2ωx 22π??＝sin?2ωx－?，

3??

设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π＋4，得

2

2

2

2

3

(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为2

3 2

?T?2＋[2f(x)]2＝π2＋4， ?2?max??

∵f(x)max＝1，∴??＋4＝π＋4，

?2?整理得T＝2π.

2π1

又ω>0，T＝＝2π，∴ω＝. 2ω2

?T?2

2

?π?(2)由(1)可知f(x)＝sin?x－?，

3??

π??∴f(x＋φ)＝sin?x＋φ－?. 3??

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π??∵y＝f(x＋φ)是奇函数，∴sin?φ－?＝0， 3??ππ

又0<φ<，∴φ＝，

23

π??∴g(x)＝cos(2x－φ)＝cos?2x－?.

3??π

令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，

3π2π

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

63

π2π??∴函数g(x)的单调递减区间是?kπ＋，kπ＋?，k∈Z.

63??又∵x∈[0,2π]，

∴当k＝0时，函数g(x)的单调递减区间是?当k＝1时，函数g(x)的单调递减区间是?

?π，2π?；

?3??6

?7π，5π?. ?3??6

?π，2π?，?7π，5π?.

?3?3??6??6?

∴函数g(x)在[0,2π]上的单调递减区间是?

思维升华 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用类题目的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；

第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．

π??跟踪演练3 已知函数f(x)＝4cos ωxsin?ωx－?(ω>0)的最小正周期是π. 6??(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；

?π3π?(2)求f(x)在?，?上的最大值和最小值．

8??8

π??解 (1)f(x)＝4cos ωxsin?ωx－?

6??ππ??＝4cos ωx?sin ωxcos－cos ωxsin?

66??＝23sin ωxcos ωx－2cosωx＋1－1

π??＝3sin 2ωx－cos 2ωx－1＝2sin?2ωx－?－1，

6??2π

因为最小正周期是＝π，所以ω＝1，

2ωπ??从而f(x)＝2sin?2x－?－1. 6??

2

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πππ

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

262ππ

解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

63

?π??5π?所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为?0，?和?，π?.

3??6??

π?π7π??π3π?(2)当x∈?，?时，2x－∈?，?，

8?6?1212??8π??6－2??2x－2sin?∈?，2?， 6????2?

6－2?π3π?所以f(x)在?，?上的最大值和最小值分别为1，－1. 8?2?8

真题体验

1．(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝2cosx－sinx＋2，则f(x)的最小正周期为________，最大值为________． 答案 π 4

1－cos 2x3522

解析 ∵f(x)＝2cosx－sinx＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，

222∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.

2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是________． 答案

3π

4

2

2

?π?解析 ∵f(x)＝cos x－sin x＝－2sin?x－?，

4??

π?ππ??π3π?∴当x－∈?－，?，即x∈?－，?时，

2?4?4?2?4

y＝sin?x－?单调递增，

4

??

π??

f(x)＝－2sin?x－?单调递减，

4

??

π??

?π3π?∴?－，?是f(x)在原点附近的单调减区间，

4??4?π3π?结合条件得[0，a]??－，?，

4??4

3π3π

∴a≤，即amax＝.

44

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π?π?3．(2018·天津改编)将函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数________．(填5?10?序号) ①在区间?②在区间?③在区间?④在区间?

?3π，5π?上单调递增；

4??4??3π，π?上单调递减； ?

?4??5π，3π?上单调递增；

?2??4

?3π，2π?上单调递减． ?

?2?

答案 ①

π?π??π?π??解析 函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin?2?x－?＋?＝sin 2x，则函

5?10???10?5?数y＝sin 2x的一个单调增区间为?

?3π，5π?，一个单调减区间为?5π，7π?.由此可判断①正确．

??4?4?4??4?

π???π?4．(2018·北京)设函数f(x)＝cos?ωx－?(ω>0)．若f(x)≤f??对任意的实数x都成立，则ω的最小值6???4?为________． 2

答案 3

?π?解析 ∵f(x)≤f ??对任意的实数x都成立， ?4?

π

∴当x＝时，f(x)取得最大值，

4π?ππ???ω－即f ??＝cos??＝1，

6??4??4∴

ππ

ω－＝2kπ，k∈Z， 46

2

∴ω＝8k＋，k∈Z.

3

2

∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.

3押题预测

π?π?1．已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)＝5?2?cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( ) 3π

A．向左平移个单位长度

20

3π

B．向右平移个单位长度

20

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π

C．向左平移个单位长度

5π

D．向右平移个单位长度

5

押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A

π

解析 由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T＝π，

2π?2π?所以ω＝＝2，即f(x)＝sin?2x＋?，g(x)＝cos 2x. 5?T?

π???3π?π??把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin?2x＋?＝sin?2?x＋?＋?，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)

20?5?2????3π

的图象向左平移个单位长度即可．故选A.

20

π??2．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?其中A>0，ω>0，|φ|≤? 与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(2,0)，2??π

∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝25，则A的值为( )

4

816A.3 B.3 C．8 D．16 33

押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想． 答案 B

解析 由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．

??则M?，－?，由两点间距离公式，得

2??2

PM＝

aa?2－a?2＋?a?2＝25， ?2??2?????

解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，

Tπ

由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，

26

π

由P(2,0)得φ＝－，

3

代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得f(x)＝Asin?

?πx－π?，

3??6?

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16?π?从而f(0)＝Asin?－?＝－8，得A＝3. 3?3?3．已知函数f(x)＝cosx－2sin xcos x－sinx. (1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)＝－

2

，求角x的大小； 2

4

4

?π?(2)当x∈?0，?时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值．

2??

押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．

解 (1)∵f(x)＝cosx－2sin xcos x－sinx ＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)－sin 2x ＝cos 2x－sin 2x＝2?π??＝2cos?2x＋?， 4??

π?2?∴f(x)＝2cos?2x＋?＝－，

4?2?π?1?可得cos?2x＋?＝－. 4?2?由题意可得x∈(0，π)，

π?π9π?π2π4π

∴2x＋∈?，?，可得2x＋＝或，

4?4?44335π13π

∴x＝或. 2424

π?π5π??π?(2)∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?，

2?4?4?4?π??2??∴cos?2x＋?∈?－1，?， 4???2?π??∴f(x)＝2cos?2x＋?∈[－2，1]．

4??π

∴f(x)的最小值为－2，此时2x＋＝π，

43π即x＝.

8

2?2?

cos 2x－sin 2x?

2?2?

2

2

2

2

4

4

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A组 专题通关

π?π???1．(2018·佛山质检)函数y＝sin?2x＋?＋cos?2x－?的最小正周期和振幅分别是( ) 6?3???A．π，2 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 答案 B

π?π???解析 ∵y＝sin?2x＋?＋cos?2x－?

6?3???π?π?π????＝sin?2x＋?＋sin??2x－?＋?

3?2?6????π??＝2sin?2x＋?，

6??2π

∴T＝＝π，振幅为2.

2

π??2．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝3cos?2x－?－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数2??

f(x)的图象( )

π

A．向左平移个单位长度

6π

B．向右平移个单位长度

6π

C．向左平移个单位长度

12π

D．向右平移个单位长度

12答案 C

解析 由题意可得，

π??函数f(x)＝3sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－?， 6??π??设平移量为θ，得到函数g(x)＝2sin?2x＋2θ－?，

6??π

又g(x)为奇函数，所以2θ－＝kπ，k∈Z，

6πkπ

即θ＝＋，k∈Z.

122

π??3．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ?0<φ

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π5ππ5πA. B. C. D. 661212答案 C

解析 由题意知，T＝2?

?11π－5π?＝π，

12??12?

2π

∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，

T∴g(x)＝f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)， 又g?故

?5π?＝－2cos?5π＋2φ?＝2，

??6??12???

5ππ

＋2φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)． 612

ππ又0<φ<，∴φ＝. 212

π??4．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω>0，0<φ

2??1?1?＝0，若|x1－x2|的最小值为，且f ??＝1，则f(x)的单调递增区间为( )

2?2?5?1?A.?－＋2k，＋2k?，k∈Z

6?6?1?5?B.?－＋2k，＋2k?，k∈Z 6?6?1?5?C.?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z 6?6?7?1?D.?＋2k，＋2k?，k∈Z 6?6?答案 B

1

解析 由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，

2

T1

可知＝，∴T＝2，∴ω＝π，

42

π?1?又f ??＝1，则φ＝±＋2kπ，k∈Z， 3?2?ππ

∵0<φ<，∴φ＝，

23

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π??∴f(x)＝2sin?πx＋?. 3??

πππ

令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，

23251

得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z.

66

1?5?故f(x)的单调递增区间为?－＋2k，＋2k?，k∈Z.

6?6?

?π?5．(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos?x＋?，则下列结论错误的是( )

3??

A．f(x)的一个周期为－2π

8π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

3π

C．f(x＋π)的一个零点为x＝ 6

?π?D．f(x)在?，π?上单调递减 ?2?

答案 D

?π?解析 A项，因为f(x)＝cos?x＋?的周期为2kπ(k∈Z)，

3??

所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；

π8π?π?B项，因为f(x)＝cos?x＋?图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对

3?33?称，B项正确；

4ππ?4π?C项，f(x＋π)＝cos?x＋?.令x＋＝kπ＋(k∈Z)， 3?32?5ππ

得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，

66π

所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；

6

π2π??π??D项，因为f(x)＝cos?x＋?的单调递减区间为?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)，

3?33???2π5π??单调递增区间为?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)， 33??

?π2π??2π?所以f(x)在?，?上单调递减，在?，π?上单调递增，D项错误． 3??2?3?

6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－3，－π??1)，则tan α＝________，cos α＋sin?α－?＝________.

2??

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精 品 试 卷 答案 3 0 3解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－3，－1)， ∴x＝－3，y＝－1， ∴tan α＝＝yxπ?3?，cos α＋sin?α－?＝cos α－cos α＝0. 2?3?

2

2

sin2α－2cos2α

7．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知tan α＝2，则＝________.

sin 4α答案

1 12

2tan α4

解析 ∵tan 2α＝＝－， 2

1－tanα3sin2α－2cos2αsin2α－2cos2α

∴＝

sin 4α2sin 2αcos 2α16

－22

9tan2α－21

＝＝＝. 2tan 2α?4?12

2×?－??3?

3??π??2

8．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sinx＋3cos x－?x∈?0，??的最大值是________．

2??4??答案 1

32

解析 f(x)＝1－cosx＋3cos x－ 4＝－?cos x－2

2

2

2

??3?2

?＋1. 2?

?π?∵x∈?0，?，∴cos x∈[0,1]，

2??

∴当cos x＝

3

时，f(x)取得最大值，最大值为1. 2

9．(2018·潍坊模拟)设函数f(x)(x∈R)满足f(x－π)＝f(x)－sin x，当－π

f ?

?2 018π?＝________.

??3?

3 2

答案

解析 ∵f(x－π)＝f(x)－sin x， ∴f(x)＝f(x－π)＋sin x，

则f(x＋π)＝f(x)＋sin(x＋π)＝f(x)－sin x. ∴f(x＋π)＝f(x－π)， 即f(x＋2π)＝f(x)．

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∴函数f(x)的周期为2π， ∴f ?

?2 018π?＝f ?672π＋2π?＝f ?2π?

???3?3??3?????

2π?π?＝f ?－?＋sin.

3?3?∵当－π

?2 018π?＝0＋sin2π＝3. ?32?3?

2

10．已知向量m＝(3sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cosωx＋1)，设函数f(x)＝m·n＋b. π

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f(x)的单调递增区间；

6

?7π?(2)在(1)的条件下，当x∈?0，?时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

12??

解 m＝(3sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cosωx＋1)，

2

f(x)＝m·n＋b＝3sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b

＝

313

sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b 222

π?3?＝sin?2ωx＋?＋＋b.

6?2?

π

(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，

6πππ

∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，

662

解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， π?3?∴f(x)＝sin?2x＋?＋＋b，

6?2?

πππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

262ππ

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

36

ππ??∴函数f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

36??π?3?(2)由(1)知f(x)＝sin?2x＋?＋＋b，

6?2?π?π4π??7π?∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?，

12?3?6?6?

π?ππ??π?∴当2x＋∈?，?，即x∈?0，?时，函数f(x)单调递增；

6?6?62??π?π4π??π7π?当2x＋∈?，?，即x∈?，?时，函数f(x)单调递减．

3?6?2?612?

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?π?又f(0)＝f??， ?3?

?π??7π??π?∴当f??>0≥f??或f??＝0时，函数f(x)有且只有一个零点， ?3??12??6?

4π35π3

即sin≤－b－

3262∴b的取值范围为?－2，

?

?3－3??5?

?∪?－?. 2??2?

B组 能力提高

3??4

11.如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为?，－?，

5??5∠AOC＝α，若BC＝1，则3cos

2

ααα3

－sin cos －的值为( ) 2222

4343

A. B. C．－ D．－ 5555答案 B

3??4

解析 ∵点B的坐标为?，－?，设∠AOB＝θ，

5??534

∴sin(2π－θ)＝－，cos(2π－θ)＝，

5534

即sin θ＝，cos θ＝，

55

π

∵∠AOC＝α，BC＝1，∴θ＋α＝，

3π

则α＝－θ，

3则3cos

2

ααα331

－sin cos －＝cos α－sin α 222222

π???π

＝cos?α＋?＝cos?－θ

6???2?＝sin θ＝3. ?5?

π??12．(2018·佛山质检)已知函数f(x)＝sin?ωx－?(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为

4??( ) A.?

?3π，＋∞?

?

?8?

B.?

?3π，3π?∪?7π，＋∞?

??4??8??8?

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C.?

?3π，7π?∪?7π，＋∞?

??8??8??4?

D.?

?3π，＋∞?

?

?4?

答案 B

ππ?π?

解析 因为当x∈(1,2)时，ωx－∈?ω－，2ω－?，

44?4?π??又因为函数f(x)＝sin?ωx－?(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，

4??ππ?π?

所以存在k∈Z，使得kπ＋∈?ω－，2ω－?，

44?2?πππ

即得ω－

424即

kπ

3π3π

＋<ω

因为ω>0，所以k≥0， 3π3π当k＝0时，<ω<；

847π7π

当k＝1时，<ω<；

8411π11π

当k＝2时，<ω<；…，

84因此ω的取值范围为?＝?

?3π，3π?∪?7π，7π?∪?11π，11π?∪…∪?4kπ＋3π，4kπ＋3π?∪…

????4?4?4?84?8??8??8???

?3π，3π?∪?7π，＋∞?.

???4??8?8?

1π

13．函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sin x(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，

2－x2

yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.

1

答案 2

解析 如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，

x1＋x2＋x3＋x4＝8，

11

所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝. 22

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π???π?14．已知a>0，函数f(x)＝－2asin?2x＋?＋2a＋b，当x∈?0，?时，－5≤f(x)≤1. 6?2???(1)求常数a，b的值；

?π?(2)设g(x)＝f ?x＋?且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．

2??

π?π7π??π?解 (1)∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?. 2?6?6?6?π??1??∴sin?2x＋?∈?－，1?， 6??2??π??∴－2asin?2x＋?∈[－2a，a]．

6??∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. π??(2)由(1)得f(x)＝－4sin?2x＋?－1，

6??7π??π??∴g(x)＝f?x＋?＝－4sin?2x＋?－1

2?6???π??＝4sin?2x＋?－1. 6??又由lg g(x)>0，得g(x)>1， π??∴4sin?2x＋?－1>1， 6??π?1?∴sin?2x＋?>， 6?2?

ππ5π

∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

666πππ

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

662π

即kπ

6ππ5π

当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

266

ππ

即kπ＋

63π??∴g(x)的单调递增区间为?kπ，kπ＋?，k∈Z，

6??ππ??单调递减区间为?kπ＋，kπ＋?，k∈Z.

63??

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