湖南省常德市2018年中考数学试题及答案解析(word版)

2018年湖南省常德市中考数学试卷

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）﹣2的相反数是（ ） A．2

B．﹣2 C．2﹣1 D．﹣

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：﹣2的相反数是：2． 故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．1

B．2

C．8

D．11

【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可． 【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3， 4＜x＜10， 故选：C．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．

3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b

【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由数轴可得， ﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1， ∴a＜b，故选项A错误， |a|＞|b|，故选项B错误， ab＜0，故选项C错误，

﹣a＞b，故选项D正确， 故选：D．

【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ） A．k＜2

B．k＞2

C．k＞0 D．k＜0

【分析】根据一次函数的性质，可得答案． 【解答】解：由题意，得 k﹣2＞0， 解得k＞2， 故选：B．

【点评】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．

5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．

【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68， ∴甲的成绩最稳定， ∴派甲去参赛更好， 故选：A．

【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．

6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，

AD=3，则CE的长为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠C=∠DBC，

∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD×cos∠C=3故选：D．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（ ）

，

A． B． C． D．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线， 故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号并且规定：

=a×d﹣b×c，例如：

称为2×2阶行列式，

=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=的解可以利用2×2阶行列式表示为：

﹣4．二元一次方程组

；其中D=

，Dx=，Dy=．

问题：对于用上面的方法解二元一次方程组（ ） A．D=C．Dy=27

=﹣7

B．Dx=﹣14

时，下面说法错误的是

D．方程组的解为

【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论． 【解答】解：A、D=B、Dx=C、Dy=

=﹣7，正确；

=﹣2﹣1×12=﹣14，正确； =2×12﹣1×3=21，不正确；

=

=2，y=

=

=﹣3，正确；

D、方程组的解：x=故选：C．

【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，理解题意，直接运用公式计算是本题的关键．

二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）﹣8的立方根是 ﹣2 ．

【分析】利用立方根的定义即可求解． 【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2．

【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于（ax3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．

10．（3分）分式方程

﹣

=0的解为x= ﹣1 ．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x﹣2﹣3x=0， 解得：x=﹣1，

经检验x=1是分式方程的解． 故答案为：﹣1

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为 1.5×108 千米．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：1 5000 0000=1.5×108， 故答案为：1.5×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是 1 ．

【分析】将数据按照从小到大重新排列，根据中位数的定义即可得出答案． 【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4， 所以这组数据的中位数为1， 故答案为：1．

【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是 6 （只写一个）．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4×2×3＞0， 解得：b＜﹣2

或b＞2

．

故答案可以为：6．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为 0.35 ．

视力x 4.0≤x＜4.3 4.3≤x＜4.6 4.6≤x＜4.9 4.9≤x≤5.2 5.2≤x＜5.5 【分析】直接利用频数÷总数=频率进而得出答案．

【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，

频数 20 40 70 60 10

则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：故答案为：0.35．

=0.35．

【点评】此题主要考查了频率求法，正确把握频率的定义是解题关键．

15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75° ．

【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案． 【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°， ∴∠EBG=∠EGB．

∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH． 又∵AD∥BC， ∴∠AGB=∠GBC． ∴∠AGB=∠BGH． ∵∠DGH=30°， ∴∠AGH=150°，

∴∠AGB=∠AGH=75°， 故答案为：75°．

【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个

实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 9 ．

【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．

【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12， 所以有x﹣12+x=2×3， 解得x=9． 故答案为9．

【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报2的人心想的数可以是6﹣x，从而列出方程x﹣12=6﹣x求解．

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．（5分）计算：（

﹣π）0﹣|1﹣2

|+

﹣（）﹣2．

【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=1﹣（2=1﹣2=﹣2．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对

﹣1）+2﹣4，

+1+2﹣4，

值等考点的运算．

18．（5分）求不等式组

的正整数解．

【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案． 【解答】解：

解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤

，

， ，

不等式组的解集是﹣2＜x≤

不等式组的正整数解是1，2，3，4．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键．

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．（6分）先化简，再求值：（

+

）÷

，其中x=．

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式=[==x﹣3，

把x=代入得：原式=﹣3=﹣．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；

+

]×（x﹣3）2

×（x﹣3）2

（k2≠0）

（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．

【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；

（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y1＜y2时x的取值范围． 【解答】解：（1）∵反比例函数y2=∴k2=4×1=4，

∴反比例函数的解析式为y2=．

∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上， ∴n=4÷（﹣2）=﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．

将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，

，解得：

，

（k2≠0）的图象过点A（4，1），

∴一次函数的解析式为y=x﹣1．

（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐

标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式y1＜y2的解集．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．

（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？ 【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克， 根据题意得：解得：

．

，

答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．

（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，

根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400． ∵甲种水果不超过乙种水果的3倍， ∴a≤3（120﹣a）， 解得：a≤90． ∵k=﹣10＜0，

∴w随a值的增大而减小，

∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．

∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．

22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，

≈1.4）

【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解． 【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2， ∴AB=CD=1．

在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，

∴BE=AB?sin∠A≈0.6，AE=AB?cos∠A≈0.8． 在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，

∴CF=CD?sin∠D≈0.7，DF=CD?cos∠D≈0.7． ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴BE∥CM， 又∵BE=CM，

∴四边形BEMC为平行四边形， ∴BC=EM，CM=BE．

在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3， ∴EM=

≈1.4，

∴B与C之间的距离约为1.4米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图

回答下列问题：

（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）； （2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？ （3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？

（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再

计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；

（2）用500乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的写生数；

（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；

（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人）， 喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人）， 所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=补全条形统计图如下：

×100%=28%，

（2）500×12%=60，

所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名； （3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°； （4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2， 所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率=

=．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD

的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E． （1）求证：EA是⊙O的切线； （2）求证：BD=CF．

【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；

（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，

得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论． 【解答】证明：（1）连接OD， ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆， ∴∠OAC=30°，∠BCA=60°， ∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°， ∴AE是⊙O的切线；

（2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠ADF=∠ABC=60°， ∵AD=DF，

∴△ADF是等边三角形， ∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠BAF=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ∵

，

∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；

（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组

得N（t，t），

接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=?4?t﹣?t?t，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）设Q（m，m2﹣m），根据相似三角形的判定方法，当∽△COA，则|m2﹣m|=2|m|；当

=

=

时，△PQO

时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣

m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3， ∴B点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=， ∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x； （2）设M（t，0），

易得直线OA的解析式为y=x， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把B（6，0），A（8，4）代入得∴直线AB的解析式为y=2x﹣12， ∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t， ∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，

，解得

，

解方程组得，则N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM =?4?t﹣?t?t =﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）； （3）设Q（m，m2﹣m）， ∵∠OPQ=∠ACO， ∴当

=

时，△PQO∽△COA，即

=

，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）； 解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）； ∴当

=

时，△PQO∽△CAO，即

=

，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）； 综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．

（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；

（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB； （3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC?AC． 【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出

∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；

（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得出结论；

（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN=据勾股定理得，AC=

（a+b），

a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△ADE，得出AC=

，进而得出a=

b，AN=AC﹣CN=

b，即可表示出CN=

b，

b，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O， ∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°， ∴∠OND+∠ODN=90°， ∵∠ANH=∠OND， ∴∠ANH+∠ODN=90°， ∵DH⊥AE， ∴∠DHM=90°， ∴∠ANH+∠OAM=90°， ∴∠ODN=∠OAM， ∴△DON≌△AOM， ∴OM=ON；

（2）连接MN， ∵EN∥BD，

∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD， ∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON， ∵OD=OD， ∴DM=CN=EN， ∵EN∥DM，

∴四边形DENM是平行四边形， ∵DN⊥AE，

∴?DENM是菱形， ∴DE=EN， ∴∠EDN=∠END， ∵EN∥BD， ∴∠END=∠BDN， ∴∠EDN=∠BDN， ∵∠BDC=45°， ∴∠BDN=22.5°， ∵∠AHD=90°，

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°， ∵∠ABM=45°，

∴∠BAM=67.5°=∠AMB， ∴BM=AB；

（3）设CE=a（a＞0） ∵EN⊥CD， ∴∠CEN=90°， ∵∠ACD=45°， ∴∠CNE=45°=∠ACD， ∴EN=CE=a， ∴CN=

a，

设DE=b（b＞0）， ∴AD=CD=DE+CE=a+b， 根据勾股定理得，AC=

AD=

（a+b），

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN， ∵∠OAD=∠ODC=45°，

∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°， ∴△DEN∽△ADE， ∴

，

∴∴a=∴CN=

，

b（已舍去不符合题意的） a=

b，AC=b，

b?

b=2b2

（a+b）=

b，

∴AN=AC﹣CN=

∴AN2=2b2，AC?CN=∴AN2=AC?CN．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．

∴∴a=∴CN=

，

b（已舍去不符合题意的） a=

b，AC=b，

b?

b=2b2

（a+b）=

b，

∴AN=AC﹣CN=

∴AN2=2b2，AC?CN=∴AN2=AC?CN．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．

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