报童问题

关于报童问题的分析

摘要

本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计、数值积分等背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每天的买进量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。

在问题一中，首先求出概率分布f(r)。再设定每天报纸的买进量是定值，并将其代入建立好的报童收益模型中求出平均收益最大值，得出f(r)?MaxG(n)?33.7358，n?200 。

r，n在问题二中，即将第一问中的概率分布f(r)转化为概率密度p(r)，在matlab工具箱子cftool中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型中的求和转化为积分，通过对目标通过数值积分等手段得出报童每天不同买进量下每天平均收入，从而分析得出每天的最优报纸进货量n。其中p(r)?eG(n)?672.84，n?207。

?((x?190.1)2)54.98，

关键词

随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益，数值积分

1

1、 问题重述

1.１问题背景

在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物，例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被退回报社，给报童造成一部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑中，应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。 １.２报童获利途径

报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。当天销售不出去 的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。 １.３问题提出

现在需用数学建模解决以下问题：

问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报 纸需求量的分布律，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？

问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行 分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？

２、模型假设

（１）假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律 （２）假设不考虑缺货损失

（３）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用 （４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量

３、符号说明

r

f(r)

报纸需求量

报纸需求量概率密度（离散型） 报纸需求量概率密度（连续型） 每天报纸买进量

p(r)

n

2

G(n) g(n)

报童每天购进n份报纸的平均收入 报童一天的利润收入

p1 p2 si bi

r?n时的概率 r?n时的概率 每天卖出报纸量 每天退回报纸量

４、问题分析

单周期随机贮存在实际生产生活中经常遇到，单周期即只订一次（缺时也不订），期后可处理余货；随机因素是需求和拖后时间，统计规律为历史资料。报童问题模型的提出及最优解决方案可以为类似问题提供借鉴之处。 ４.１问题一的分析

问题一要求将报纸需求量看作离散型分布，根据给出的数据求报纸需求量的分布律。当数据是离散型的时候我们可以直接计算得出报纸需求量的分布律。根据计算出的分布律代入到建立的模型中，经求导等步骤后得出报童每天买进报纸数量及最大平均总收入。 ４.２问题二的分析

问题二要求将报纸需求量看作连续型分布。因统计数据为历史资料，因而只能得出历史条件下的概率密度。在问题一的模型基础上我们需将题目中给出的数据进行统计分析，数据拟合得出概率密度p(r)，将求和转化为积分，同样利用求导等手段求出最优解。

５、模型的建立与求解

５.１问题一的模型建立与求解 ５.１.１计算f(r)

因该组数据为离散型分布：

159天报纸需求量情况 需求量r

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 3

天数 3 9 13 22 32 表1 35 20 15 8 2 所以：

r1 ○n 计算结果如下表：

f(r)?报纸需求量概率分布表 r 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 f(r) 0.0189 0.0566 0.0818 0.1384 0.2013 0.2201 0.1258 0.0943 0.0503 0.0126 表2 ５.１.２计算目标函数

（１）当天若需求量r小于供应量n时，售出r份，退回(n?r)份，报童收 入为(0.5?0.3)r?(0.3?0.2)(n?r)元；

（２）当天若需求量r大于供应量n时，售出n份，退回０份，报童收 入为(0.5?0.3)n元。

?0.2r?0.1(n?r)故有g(n)???0.2n1可得 根据○

r?nr?n

G(n)??[(0.5?0.3)r?(0.3?0.2)(n?r)]f(r)?r?0n??nr?n?1?(0.5?0.3)nf(r)

?2 ??[0.2r?0.1(n?r)]f(r)?0.2?nf(r) ○

r?0r?n?1 即求n使G(n)最大 即问题一的数学模型为：

r?f(r)??n?159?(0.2si?0.1bi)?? ? (1) Max(Gn)?i?1?159??r?N,n?N??si?N,bi?N

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在lingo环境下计算出n,G(n)的值。其中 n?200,MaxG(n)?33.735 85．2问题二的模型建立与求解

本模型重在分析连续型分布概率密度p(r)的求解过程。我们采用插值拟合的方法使用matlab的曲线拟合工具箱cftool拟合出p(r)的图像（图1.1）及函数表达式。

记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r?n，则他售出r份，退回n?r份；如果这天的需求量r?n，则n份将全部售出．考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以

G(n)??[0.2r?0.1(n?r)]f(r)?0.2?nf(r)

r?0r?n?1n??问题归结为在f(r)，a，b，c已知时，求n使G(n)最大．

通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)，(1)式变成

G(n)??[0.2r?0.1(n?r)]p(r)dr??0.2np(r)dr

0nn??所以我们第二问的模型是

Max G(n)??[0.2r?0.1(n?r)]p(r)dr??0.2np(r)dr

0nn??s.t. n?N

5．2．1p(r)的求解过程

（1）程序

详见附录 （2）验证

在matlab环境下对使用cftool拟合出来的正态分布曲线进行验证（图1.2），利用其内函数得出样本方差，标准差，置信区间计算结果： muhat =

189.4340 sigmahat = 38.8318 muci =

183.3516

5

D=var(x,1) s=std(x,1) D1=var(x) s1=std(x)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]= normfit(x)

附录4：求解问题二中报纸买进量及最大收益的程序 Myfun1.m

function f=myfun1(x,n);

f=0.2.*n.*0.2044.*exp(-1.*((x-190.1)./54.98).^2);

myfun2.m

function f=myfun2(x,n);

f=(0.2.*x-0.1.*(n-x)).*0.2044.*exp(-1.*((x-190.1)./54.98).^2);

主程序 i=1;

for n=100:1:300

c(i)=quad(@(x)myfun2(x,n),0,n)+quad(@(x)myfun1(x,n),n,3000); i=i+1; end

[d,i]=max(c)

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c825.html