二次函数难题压轴题中考精选 - 图文

二次函数难题压轴题中考精选（含答案）

第一部分：试题

1．如图，二次函数y??1?2x?c的图象经过点D??2?3,9??，与x轴交于A、B两点． 2?⑴求c的值； ⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式； ⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

2．（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H． AHEF

（1）求证：＝；

ADBC

（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴1

的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．

6

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由

(图1) (图2)

4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线

一定过点E；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一

动点，求△CMN面积的最大值．

(第2题)

yDCEAOBx=4x

5．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y＝?14x?x?3与x轴交于点A、B，与y轴相交于点

2C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。 （1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。 ①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交 ，求r的取值范围； ②若r=

455，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由．

6．（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l

的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

y

4

3

2 1A

-2-1o12345x -1-2

PEF-3

-4

-5

-6图1

7．（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的

速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

yPAODBQxC

8．（2010山东临沂）如图，二次函数y?x?ax?b的图象与x轴交于A(?两点，且与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断?ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由

212,0),B(2,0)第8题图

.9．（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当 △APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最 大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2010 山东省 ） (已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； ②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作 x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ 的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式， 并指出t的取值范围；当t为何值时， S有最大值或最小值．

第12题图 213．（2010 山东 ）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y?ax?bx?c交x轴于A(2,0),B(6,0)两点，交y轴于点C(0,23).

2y Q O M C P B A N x （1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y?2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

y E D C F O A B x

（第24题图）

14．（2010 广东 ）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.

(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y?ax?bx?c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；

(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。

2

15．（2010福建 ）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

A D G

16．（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）

（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。

y P 2

O C A D x

32

17．（2010 武汉 ）如图1，抛物线y1?ax?2ax?b经过点A（－1，0），C（0，

2）两

点，且与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=

22y2，求y2于x的函数关系式，并且直接写出

自变量的取值范围；

（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

图 1

图 2

18．（2010四川 ）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点C 的坐标

（2）若抛物线y?ax?bx?c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．

（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。

2D

H

G

19．（2010浙江 ）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的

正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时 S最小，并求出这个最小值.

．

220．（2010江苏 ）如图，已知二次函数y?ax?bx?3的图像与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（?94,0），且△AOB∽△BOC。

（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y?ax?bx?3的关系是；

（2）在线段AC上是否存在点M（m,0）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

2

21．（2010江苏 ）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=x （1）当PQ∥AD时，求x的值；

（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；

（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。

22．（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0,3)，以点C为顶

点的抛物线

y?ax2?bx?c 恰好经过x轴上A、B两点．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；

(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？

23．（2010湖北荆门）已知一次函数y＝二次函数y?12212x?1的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；

12x?1的图象交于B、C两点，与x轴交

x?bx?c图象与一次函数y＝

于D、E两点且D点的坐标为(1,0)

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEF的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，

求出所有的点P，若不存在，请说明理由。

25．（2010 四川成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(?3，若将经过A、C0)，

2两点的直线y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

x??2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设?ABP、?BPC的面积分别为S?ABP、S?BPC，且

S?ABP:S?BPC?2:3，求点P的坐标；

（3）设⊙Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？ 26．（2010山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴

交于C（0，－3）．以AB为直径做⊙M，过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E．连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN．

（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标； （2）若四边形EAMD的面积为43，求直线PD的函数关系式；

（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

第二部分：答案

1．【答案】⑴ ∵抛物线经过点D(?∴?12?(?3)?c?23,92)

92

∴c=6.

⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M， ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6. ∵抛物线为y??12x?6

2∴A（?23,0）、B（23,0）

39,） 24∵M是BD的中点 ∴M（

设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点

??33??23k?b?0k????10 解得?3?9k?b??b?9?4?2?5?331095?直线AC的解析式为y?x?.

⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

2．【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP． ∴ △AEF∽△ABC．

又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF． AHEF

∴ ＝

ADBC

AHx4

（2）由（1）得＝． AH＝x．

81054

∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，

5

444

∴ S矩形EFPQ＝EF2EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．

5554

∵ －＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

5（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．

图1

∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC是等腰直角三角形． ∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．

分三种情况讨论：

① 如图2．当0≤t＜4时，

设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t．

11

∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；

22

②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t． 1

∴ S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t ）]34＝－4t＋28；

2

③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t． 11

∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝( t－9)2．

22

图2 图3 图4 综上所述：S与t的函数关系式为： ?12??2t?20　(0≤t?4)，?S=??4t?28　（4≤t?5)， ?1?(t?9)2　（5≤t?9)．?2

1

3．【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，

6

5?c?0，???b??,得?25解得?6

?5b?c?0.??c?0.?6?15∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．

66

（2）点C在该抛物线上．

理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E． ∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10) ∵ 点A、C关于直线y＝2x对称，

∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝55．

11

∵ SRt△OAB＝AE2OB＝OA·AB，

22

∴ AE＝25， ∴ AC＝45．

∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB． ∴

CDADAC

＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） OAABOB

15

当x＝－3时，y＝39－3(－3)＝4．

66

15

∴ 点C在抛物线y＝x2－x上．

66

（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切．

过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，

1

∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，

2 ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线．

又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．

∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD． 又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．

∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)． 设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)． 把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B，

4?k??，??k?b?7，?3得? 解得?

4k?b?3．??b?25．?3?425

∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．

33

若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物42515

线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M

3366

42515

∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，

3366－3±209解得m＝ 2

－3＋209－3－209

∴ 点Q的横坐标为或．

22

4．【答案】解：（1）点C的坐标(2,2?16a?m?0则??4a?m?236第3题图

3)．设抛物线的函数关系式为y?a(x?4)?m2，

，解得a3??,m?833.

∴所求抛物线的函数关系式为y??36(x?4)?2833????①

??4k?b?0设直线AC的函数关系式为y?kx?b,则??2k?b?2，解得k3?33,b?433．

∴直线AC的函数关系式为y?33x?433，∴点E的坐标为(4,833)

把x=4代入①式，得y??36(4?4)?2833?833，∴此抛物线过E点．

（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于

G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=

36412(8?x)?y?12(y?23)(x?2)?12?(8?2)?23 =3y?3x?83?3(?x?233x)?3x?83??32x?523x?83 =?32(x?5)?2923,

∴当x=5时，S△CMN有最大值

923

5．【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）； 令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）

设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得：?故BC的解析式为：y=?12?6k?b?0?b?3 解得k＝?12，b=3

x＋3

（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝2

5，DE＝2，从图中可知，

Rt?DEG?Rt?BEF，所以有：

DEEB?DGFB 解得DG＝

455 故当r＞

455，点P运

动到点D时，⊙P与直线BC相交

②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝?12x

12?y??x?x?3??4＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立：? 解得两点（2，4）

1?y??x?5??2为D点，（4，3）也符合条件。

设在直线BC下方到直线BC的距离为

455的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC于点N，所以MN=

455，又tan∠NBM＝

1OCOB?12 所以NB=

85512，BM＝4，所以点M与32＋b 得b=1，所

点F重合。设直线m为y=?21以直线m的解析式为：y＝?ｘ+１

2x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝?12?y??x?x?3??4联立方程组：? 解得：ｘ＝3?17

?y??1x?1??2?1?217?1?172所以适合要求的点还有两点即（3－17，）与（3＋17，）

故当r=

455，存在点P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D（2，

4），（4，3）和（3－17，?1?217），（3＋17，抛物线

?1?172）的坐标．

过点

6．【答案】解：(1) A(4,0)B(1,3).∴?∴yy＝－x2＋bx＋c

??16?4b?c?0?b?4,?,

??1?b?c?3?c?0??x?4x2，y??(x?2)?4，对称轴为直线x?2，顶点坐标为(2,4)

2（2）∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线x?2对称，∴OE=AP,∴梯形OEPA为

等腰梯形，

∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,

∴四边形OAPF为平行四边形，∵四边形OAPF的面积为20，∴4(m2?4m)?20∴m1??1(舍）m2?5，∴n??5.

7．【答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）

∴c＝－6，即y＝ax2 ＋bx－6

?b由???2a?2,解得：a?11??144a?12b?6?016，b??4

∴该抛物线的解析式为y?1x2?1164x?6

方法二：∵A、B关于x＝2对称

∴A（－8，0） 设y＝a(x＋8)(x－12) C在抛物线上，∴－6＝a383(?12)，即a＝116

∴该抛物线解析式为：y?116x2?14x?6

（2）存在，设直线CD垂直平分PQ， 在Rt△AOC中，AC＝82?62＝10＝AD ∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：

yPODABxQC

，

显然∠PDC＝∠QDC， 由已知∠PDC＝∠ACD

∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC DB＝AB－AD＝20－10＝10 ∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ＝

12AC＝5

AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5 ∴t＝5÷1＝5（秒）

∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中，BC＝62?122＝65 ∴CQ＝35 ∴点Q的运动速度为每秒（3）存在．如图，

355单位长度．

M2yM4PAOFM1DHBxEQCM3M5

过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9 在Rt△PQH中，PQ＝92?32＝310 ①当MP＝MQ，即M为顶点，

设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：

??6?b??0?2k?b，解得：??k?3?b??6

∴y＝3x－6

当x＝1时，y＝－3 ∴M1(1，－3)

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点， 设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得： 42＋y2＝90，即y＝±74

∴M2（1，74）；M3（1，－74）

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．

过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3） 设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：

(y?3)?5?90，即

22y＝－3±65 ∴M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65）

综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，74）；M3（1，－74）；M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65） 8． 【答案】解：根据题意，将A（??11???a?b?0,得?42 ??4?2a?b?0.?3??a?,解这个方程，得?2

?b?1.?12,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，

所以抛物线的解析式为y=-x2+

32x+1.

当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。 所以在△AOC中，AC=OA2?OC2=52.

在△BOC中，BC=OB2?OC2=5. AB=OA+OB=

12?2?1452.

254?AB.

2因为AC2+BC2=

?2?所以△ABC是直角三角形。 （2）点D的坐标是??3?,1?. ?2?（3）存在。

由（1）知，AC⊥BC, .

图1 ① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为y??12x?1

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y??将A（?

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+解得x1?当x=

5252x2??321212x?b， 12x?1412,0）代入直线AP的解析式求得b=?14,所以直线AP的解析式为y??.

32x+1=?12x?14.

（不合题意，舍去）.

时，y=?.

52所以点P的坐标为（，?32）.

②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为 y?2x?1.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y?2x?b，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+解得x1??当x=-52图2 32x+1=2x-4

52,x2?2（不合题意，舍去）.

时，y=-9.

52所以点P的坐标为（-，-9）.

52综上所述，满足题目的点P的坐标为（，?32）或（-

52，-9）

.9．【答案】解：（1）由题意知：A（0，6），C（6，0）， 设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c 1?a????6?c3??则：?0?9a?3b?c解得：?b?1?0?36a?6b?c?c?6???

∴该抛物线的解析式为y??13x?x?6

y2（2）如图：设点P（x，0），

A

∵PE∥AB，∴△CPE∽△ABC， ∴

S△CPES△ABC?（12CPBC)

2又∵S△ABC=S△CPE27BC3OA=27 6-x92∴?（)

2∴S△CPE=S△ABP＝

12(6?x)3=

13x?4x?12

2BP3OA=3x+9

设△APE的面积为S 则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=?当x=

3213x?x?6??213(x?32)?2274

时，S最大值为

32274

∴点P的坐标为（

，0）

（3）假设存在点G（x，y），使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等． 在（2）中，△APE的最大面积为

274，过点G做GF垂直y轴与点F．

12①当y＞6时，S△AGC=S梯形GFOC—S△GFA—S△AOC==3x+3y-18 即3x+3y-18=

274（x+6）y—

12x（y-6）—

123636

，

又∵点G在抛物线上，y??∴3x+3(?13x?x?6)-18=92,x2?32213274x?x?6，

2 时，y=

154解得：x1?，当x=

92，当x=

32时，y=

274．

又∵y＞6，∴

点G的坐标为（

32，

274）

②当y＜6时，如图：

S△AGC=S△GAF+S梯形GFOC—S△AOC=即3x+3y-18=

27412x（6—y）+

12y(x?6)-18=3x+3y-18

，

1x?x?6，

2又∵点G在抛物线上，y??∴3x+3(?13x?x?6)-18=92,x2?3223274 时，y=

154154解得：x1?

，当x=

92，当x=

32时，y=

274．

又因为y＜6，所以点G的坐标为（综和①②所述，点G的坐标为（

3292，

274）．

92，）和（，

154）．

（3）解法2：可以向x轴作垂线，构成了如此下图的图形: 则阴影部分的面积等于S△AGC=S△GCF+S梯形AGFO—S△AOC 下面的求解过程略．这样作可以避免了分类讨论．

12．【答案】解：(1)∵二次函数y?ax?bx?c的图象经过点C(0，-3)，

∴c =-3．

将点A(3，0)，B(2，-3)代入y?ax?bx?c得 ?0?9a?3b?3， ???3?4a?2b?3.22y Q E D G O A N M C F P B x 解得：a=1，b=-2． ∴y?x?2x?3．

配方得：y?（x?1）?4，所以对称轴为x=1． (2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点B，点C的纵坐标相等，

22

∴BC∥OA．

过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB． 即QE=AD=1．

又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t， ∴2-0.2t=1． 解得t=5．

即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形． ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G． ∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线， ∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ， ∴PF=QG．

又∵∠PMF=∠QMG， ∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG．

∴点M为FG的中点 ∴S=S四边形=S四边形由S四边形S?BPN?ABPQ-S?BPN，

ABFG-S?BPN． ?1212(BF?AG)FG=FG?340t．

92ABFG．

12BP?3∴S=

92?40t．

又BC=2，OA=3，

∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0

∴当t=20秒时，面积S有最小值3．

223)． 13． 【答案】解：（1）∵抛物线y?ax?bx?c经过点A(2,0)，B(6,0)，C(0，

?3?a??4a?2b?c?06?4?∴?. ?36a?6b?c?0， 解得?b??33??c?23??c?23??∴抛物线的解析式为：y?36x?2433x?23.

（2）易知抛物线的对称轴是x?4.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M． 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=

12．

∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． ∴劣弧EF的长为：

y P E 120180???8?163?．

N M C F O A D G B x

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点A(2,0),C(0,23).

??2k?b?0?k??3∴?，解得?.∴直线AC的解析式为：y??3x?23.

??b?23?b?23设点P(m,36m?2433m?23)(m?0)，PG交直线AC于N，

则点N坐标为(m,?3m?23).∵S?PNA:S?GNA?PN:GN. ∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=

364333m?23=（?232GN.

即m?23m?23）.

解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，∴此时点P的坐标为(?3,15236m?2433m?23=

1523.

3). ???????????10

分

②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN. 即

36m?2433?3m?23=（3m?23）.

解得：m1??12，m2?2（舍去）.当m1??12时，∴此时点P的坐标为(?12,423). 综上所述，当点P坐标为(?3,1523)或(?12,4236m?2433m?23=423.

3)时，

△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．

14．【答案】解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°

在△ABE中，AB＝6 BC=BE=

ABcos30??43

CD=BCtan30°=4 ∴OD=OC-CD=2

∴B(43，6) D(0,2)

设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b

43k?b?6b?2 ∴ k?b?233

所以BD所在直线的函数解析式是y?33x?2

(2)∵EF=EA=ABtan30°=23 ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60° 又∵FG⊥OA

∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°=3 OG=OA-AE-GE=3 又H为FG中点 ∴H（3，

32） ????4分

∵B(43，6) 、 D(0,2)、 H（3，

a?32）在抛物线y?ax?bx?c图象上

2163348a?43b?c?6c?23a?3b?c?32 ∴ b??c?2

∴抛物线的解析式是y?16x?23333x?2

(2)∵MP=(33x?2)?(16x?2x?2)??16x?2233x

MN=6-(33x?2)?4?33x

H=MP-MN=(?由?16216x?2233x)?(4?33x)??16x?23x?4

x?3x?4?0得x1?23,x2?43

该函数简图如图所示： 当00，即HP>MN

15． 【答案】解：⑴ x，D点

⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝②分两种情况：

Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，

34x；

2

△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6. 由于在Rt△NMG中，∠G＝60°， 所以，此时 y＝34x－

2

38（3x－6）2＝?738x?2932x?932.

Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP， ∵EC＝6－x, ∴y＝38（6－x）2＝

38x?2332x?932.

⑶当0＜x≤2时，∵y＝34x在x＞0时，y随x增大而增大，

2

∴x＝2时，y最大＝3； 当2＜x＜3时，∵y＝?当3≤x≤6时，∵y＝∴x＝3时，y最大＝综上所述：当x＝

938738382x?2932x?x?932在x＝

187时，y最大＝

937；

x?332932在x＜6时，y随x增大而减小，

.

937187时，y最大＝.

G

G A D A D M P N B E C F B E F C 图2 图1

2

16． 【答案】解：（1）令-2x+4x=0得x1=0，x2=2

∴点A的坐标是（2，0）， △PCA是等腰三角形， （2）存在。

OC=AD=m,OA=CD=2，

（3）当0

AC2?2?m2H ，

∴xP=OH= m?把xP=

yP=?m?221222?m2=

2

m?22.

代入y=-2x+4x，得

m?2，∵CD=OA=2,

∴S?12CDgHP?12?2(?12m?2)??212m?22.

当m>2时，如图2

作PH⊥x轴于H，设P(xP,yP), ∵A（2，0），C（m,0）, ∴AC=m-2，∴AH=∴xP=OH= m?把把xP=

m?2212m?222?m2

m?222

= ,

代入y=-2x+4x，得

2得, yP=?12m?2

∵CD=OA=2， ∴S?CDgHP?12?2(?yP)??12m?2．

2

17． 【答案】（1）y??12x?x?232；

（2）由顶点M（1，2）知∠PBM=45°，易证△MBP∽△MPQ得

PMBM?QMPM?PM2?BM?QM，得(1?x)?4?22?222y2，即

y2?12x?x?252(0?x?3)；

12x?x?322（3）存在，设点E、G是抛物线y??E(m，?12m?m?2232分别与直线x=m，x=n的交点，则

12m232)、G(n,?122n?n?2)，同理F(m,2?m?52)、

H(n,12n?n?52)，?EF?m?2m?1,GH?n?2n?1．由四边形EFHG为平行四

22边形得EG=FH，即m?n?2m?2n?0?(m?n?2)(m?n)?0，由

m?n?m?n?2(0?m?2，且m?1)，因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、

n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）．

18． 【答案】（1）∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，△ACO∽△CBO，∴则C（0，2）；

?a?b?c?0?2（2）抛物线y?ax?bx?c过△ABC的三个顶点，则?16a?4b?c?0，∴

?c?2?a??12,b?32,c?2，抛物线的解析式为y??12x?2COOB?AOCO，CO=2，

32x?2；

（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，m?3，∴D（1，3），把直线y=－x－1与抛物线

?y??x?1?x1??1?x2?5?2y??x?x?2联立成方程组?∴?， ,?12322y?0y??6y??x?x?2?1?2?22?13∴E（5，－6）,过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°, BD=32,AG=EG=6, ∴∠EAG=45°,AE=62,

当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在；

当P 在B的左侧时 ⅰ) △DPB∽△EBA时，

BPBA?DBAEDBBA,BP5PB62?3262325，BP?52，∴P的坐标为（

32，0），

ⅱ) △DPB∽△BEA时，32PBEA?,? ，BP?365，∴P的坐标为（?165，0），

所以点P的坐标为（，0）或（?165，0）。

19．【答案】由题意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），设经过A，B，C三点的抛物线

2?a???3c?2??4??2的解析式为y?ax?bx?c，则?4a?2b?c?2，解得：?b?，所以

3??9a?3b?c?0??c?2??y??23x?24323x?2． x?2（2）由y??43x?2＝?23(x?1)?283，所以顶点坐标为G（1，），过G作GH⊥AB，

38垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝△BEA的中位线，∴EA＝3GH＝

4383－2＝

23，∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是

，过B作BM⊥OC，垂足为M，则MB＝OA＝AB，∵∠EBF

＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴R t△EBA≌R t△FBM，∴FM＝EA＝

43，∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝

2

732

．

（3）设CF＝a，则FM＝ a－1或1－ a，∴BF＝FM＋BM2＝(a－1)2＋22＝a2－2a＋5，又∵△EBA≌△FBM，∴BM＝BF， 则S?BEF?∴S＝

12122BE?BF?12BF122?212(a?2a?5)，又s?BFC?52212FC?MB?1212?a?2?a，

(a?2a?5)?a?12a?2a?，即S＝

12(a?2)?2，∴当a＝2（在2＜a＜3）

时，S最小值?．

20． 【答案】

21． 【答案】

22． 【答案】解：(1)由抛物线的对称性可知AM=BM． 在Rt△AOD和Rt△BMC中， ∵OD=MC，AD=BC， ∴△AOD≌△BMC ∴OA=MB=MA分

设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，

m2?(3)2?(2m)2，解得m?1．

∴DC=2，OA=1，OB=3．

∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(2,0)、(2,3) (2)设抛物线的解析式为∴抛物线的解析式为

y?a(x?2)?2233，带入A点的坐标(1,0)，得a??3

y??3(x?2)?(3) 设抛物线的解析式为

y?a(x?2)?k2，代入D点的坐标(0,3)，得k?53

2∴平移后的抛物线的解析式为∴平移了53?y??3(x?2)?53

3?43个单位．

23．【答案】解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A

（－2，0）

?c?1?c?1123??y?x?x?1 ∴?1解得?,所以322??b?c?0?b??2?2?（2）当y=0时, S=S△CAE－S△ABD，S=

1212x?232x?1?0,解得x1=1,x2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. 12AD?OB，S=4.5,

AE?3? (3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,

由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE， ∴

BOPF?OPCF．即

14?a?a3,整理得:a－4a－3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)

2或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.

25．【答案】（1）解：（1）∵y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴b?3，C(0， 3)。

将A (?3，0)代入y?kx?3，得?3k?3?0。解得k?1。 ∴直线AC的函数表达式为y?x?3。 ∵抛物线的对称轴是直线x??2

?9a?3b?c?0?a?1??b???2∴??解得?b?4 ?2a?c?3???c?3∴抛物线的函数表达式为y?x?4x?3。

2

（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。

yCDPAEBOx

∵S?ABP:S?BPC?2:3，

∴(?AP?BD):(?PC?BD)?2:3

2211∴AP:PC?2:3。

过点P作PE⊥x轴于点E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， ∴

PECO?25APAC?25，

∴PE?∴

65OC?65

9596∴点P的坐标为(?，)

55?x?3，解得?

（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在?Q与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为(x0，y0)。

① 当⊙Q与y轴相切时，有x0?1，即x0??1。

0) 当x0??1时，得y0?(?1)?4?(?1)?3?0，∴Q1(?1， 8) 当x0?1时，得y0?1?4?1?3?8，∴Q2(1，22② 当⊙Q与x轴相切时，有y0?1，即y0??1

?1) 当y0??1时，得?1?x0?4x0?3，即x0?4x0?4?0，解得x0??2，∴Q3(?2，22当y0?1时，得1?x0?4x0?3，即x0?4x0?2?0，解得x0??2?222，∴

Q4(?2?2， 1)，Q5(?2?2， 1)。

0)，Q2(1， 8)，Q3(?2， ?1)，综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1(?1，Q4(?2?2， 1)，Q5(?2?2， 1)。

（Ⅱ）设点Q的坐标为(x0，y0)。

当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0??x0。

由y0?x0，得x0?4x0?3?x0，即x0?3x0?3?0， ∵△=3?4?1???3?0 ∴此方程无解。

由y0??x0，得x0?4x0?3??x0，即x0?5x0?3?0，

?5?21322222解得x0?

∴当⊙Q的半径r?x0??5?213?5?213时，⊙Q与两坐标轴同时相切。

26．【答案】解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（－1，0）、B（3，0）两点，设抛物线的

函数关系式为y＝a（x＋1）（x－3），∵抛物线与y轴交于C（0，－3），∴－3＝ a（0＋1）（0－3），解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，因此抛物线的顶点坐标为（1，－4）；

（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的切线，∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四边形EAMD的面积为43，∴S△EAM＝23，∴

12AM2AE＝23，又AM

＝2，∴AE＝23，因此E1（－1，23）或者E2（－1，－23），当点E在第二象限时，

EAAM232切点D在第一象限，在 Rt△EAM中，tan∠EMA＝??3，故∠EMA＝60°，

∴∠DMB＝60°，过切点D作DF⊥AB于F点，∴MF＝1，DF＝3，则直线PD过E（－

335331，23）、D（2， 3）的坐标代入，则函数PD的解析式为y＝－x?．当点E

在第三象限时，切点D在第四象限，同理可求直线PD的解析式为y＝

33x?533，因此

直线PD的函数关系式为y＝－

33x?533或y＝

33x?533；

（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，又S四边形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，则S△EAM＝ S△AMD，∴E、D两点到x轴的距离相等，∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧，∴切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y＝2或y＝－2，当y＝2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±6，当y＝－2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±2，故满足条件点P的位置有4个，分别是P1（1＋6，2）、P2（1－6，2）、P3（1＋2，－2）、P4（1－2，－2）．

直线PD的函数关系式为y＝－

33x?533或y＝

33x?533；

（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，又S四边形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，则S△EAM＝ S△AMD，∴E、D两点到x轴的距离相等，∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧，∴切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y＝2或y＝－2，当y＝2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±6，当y＝－2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±2，故满足条件点P的位置有4个，分别是P1（1＋6，2）、P2（1－6，2）、P3（1＋2，－2）、P4（1－2，－2）．

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