高教版《统计基础》第五章 时间数列

第五章 时间序列分析

第一节 时间序列概述

一、时间序列的概念及作用

（一）时间序列的概念

时间序列是将社会经济现象的某一指标数值在不同时期或时点上的指标数值按照时间的先后顺序加以排列而形成的序列，又称动态数列。如表5—1就是我国外汇储备、国内生产总值等的时间序列。

表5-1 我国2006—2008年外汇储备、国内生产总值等时间序列

年 份 年末外汇储备（亿美元） 国内生产总值（亿元） 国内生产总值发展速度（%） 农村居民人均纯收入（元） 人均用水量（立方米）

2006 10 663 216 314 112．7 3 587 432 2007 15 282 265 810 114．2 4 140 437 2008 19 460 314 045 109．6 4 761 440．9 2009 23 992 340 903 109．2 5 163 445．7 2010 28 473 397 983 110．3 5 919 448．6 可见，时间序列是由互相配对的两个数列构成的：一个是现象所属的时间，即反映时间变化的序列；另一个是现象在不同时间上的指标数值，即反映指标数值变化的序列。

（二）时间序列的作用

分析现象的发展变化，必须编制时间序列，因为时间序列是动态分析的依据。时间序列的作用主要有：

第一，它可以描述社会经济现象的发展过程和结果；

第二，通过它可以研究社会经济现象的发展速度、发展趋势，探索其发展变化的规律； 第三，可以根据时间序列的数据分析，对社会经济现象的发展进行统计预测； 第四，可以对不同空间的同类现象进行对比分析。

简言之，时间序列有两大类作用：一是对现有现象的发展过程进行分析，反映社会经济现象发展趋势和发展速度；二是根据现状对未来进行预测，探索社会社会经济现象发展的规律性。

二、时间序列的种类

根据时间序列中统计数据的表现形式不同，可以把时间序列分为总量指标时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种，其中，总量指标时间序列是基本的时间序列。

（一）总量指标时间序列

把某一总量指标在不同时期或时点上的指标数值按时间的先后顺序排列而形成的序列就是总量指标时间序列，也称绝对数时间序列。总量指标时间序列主要用于反映现象在一段时间内达到的绝对水平及增减升降变化的情况。

因总量指标有时期指标和时点指标之分，所以总量指标时间序列又分为时期指标时间序列和时点指标时间序列，简称时期序列和时点序列。

1．时期序列

在总量指标时间序列中，如果每一指标值是反映某现象在一段时间内发展过程的总量，则这种时间序列称为时期序列。如表5—1的国内生产总值时间序列就是一个时期序列。

时期序列有以下三个特点：

（1）时期数列中各个指标数值可以相加，相加后的结果表示现象在更长时期内发展过程的总量。例如，月产量、季度产量和年产量指标，它们所属的时间长短不同，把1月份、2月份、3月份的产量进行加总，就可以得到第一季度的总产量，把一年四个季度的产量进行加总，就可以得到年产量。

（2）时期序列中每个指标值的大小与时期长短有直接的关系。

“时期”指每一个统计指标数值所包括的时间长度，即它的计算期。如表5—1中的时期都是一年。时期的长短，主要根据研究目的确定，可以是一日、一旬、一月、一季度或更长时期。由于每个指标是反映现象在某一段时期发展过程的总量，除了个别指标可能出现负值的以外（如利润总额），一般来说，时期越长，指标数值越大；时期越短，指标数值越小。如上面所说的年产量总是大于季度产量，季度产量总是大于月产量。

（3）时期序列中的统计指标数值是通过连续不断的登记取得的。因为时期序列各统计指标数值是反映现象在一段时期内发展过程的总量，它就必须对这段时间内的数量进行逐一登记，然后进行累计。

2．时点序列

在总量指标时间序列中，如果每一指标值是反映某现象在某一时刻上的总量，则这种时间序列称为时点序列。如表5—1中的年末外汇储备时间序列，就是一个时点序列。

时点序列也有三个特点：

（1）时点序列中各项指标数值不具有可加性。由于时点序列中的各项数据都是事物在某一时点上所达到的水平，几个数据相加后的结果无法表明是属于哪个时点的数据，所以，

相加后的数据没有任何实际意义。

（2）时点序列中各指标数值的大小与时间间隔长短没有直接关系。

在时点序列中，“间隔”是指相邻两个指标值在时间上的间距长度。数据的大小受事物本身增减变化的影响，而不受时点间隔长短的影响。

（3）时点序列中的指标数值是通过一次性调查登记取得的。因为时点序列的各统计指标数值是反映现象在某一时刻上所达到的水平，只要在某一时点上进行统计，就可得到该时点的资料，不必进行连续登记。

（二）相对指标时间序列

相对指标时间时间序列是将一系列同一种相对指标数值按照时间的先后顺序排列而形成的时间序列，也叫相对数时间序列，用以反映被研究现象数量对比关系的变化情况。如表5—1国内生产总值发展速度和农村居民人均纯收入时间序列，就是一个相对数时间序列。相对数时间序列中的相对数，可以是任何相对数，如计划完成相对数、比例相对数、比较相对数等。相对数时间序列中的各时间上的数值由于它们的计算基数不同，所以是不能直接相加的。

（三）平均指标时间序列

平均指标时间序列是由一系列同一种平均指标数值按时间的先后顺序排列而形成的时间序列，也叫平均数时间序列，用以反映事物一般水平的变化过程和发展趋势。如表5—1中人均用水量时间序列，就是平均指标时间序列。平均指标时间序列中的每个指标都是平均数，不能直接相加的，相加起来没有经济意义。

为了对社会经济现象发展变化过程进行全面分析，在实际工作中，上述三种时间序列通常结合运用。

三、时间序列的编制原则

编制时间序列的目的，是通过时间序列中的指标数值的前后对比，来分析被研究现象的发展变化趋势及其规律，因此，保证数列中各个指标数值的可比性，就成为编制时间序列的基本原则。具体来说，包括以下几点：

（一）时间长度应一致

这里的时间有两种含义，一是数据本身所涉及到的时间长度，二是各数据之间的时间间隔长度。

对于时期数列，应尽量保持数据在时期长短和时期间隔两个方面的一致性，这样，才便于对序列中的数据进行直接的比较分析。但是，有时为了研究不同时期的经济发展水平或各个历史阶段的发展变化，也可以将时期不等的指标编制成时期序列，这主要取决于研究目的。

如表5—2所示的时间序列。

表5—2 我国不同历史时期的钢产量

年 份 钢产量（万吨） 1900—1948 760 1953—1957 1 667 1991—1995 42 708 从上表可知，“一五”时期的钢产量是旧中国将近半个世纪钢产量的2倍以上，“八五”时期的钢产量又比“一五”时期的钢产量增长了24倍以上。这表明我国钢铁产量取得了飞速发展，显示了我国改革开放的巨大成就。

对于时点序列，应尽量保持时点之间间隔长短的一致性，特别是对于那些变化有规律的社会经济现象，更应该力求一致，以便于数据的直接比较分析。在实际工作中，有时也会由于特殊的原因而编制间隔不等的时点序列。

（二）总体范围要一致

总体范围，通常是指现象的空间范围。这里的空间范围主要指地区管辖范围和部门所属范围。如果总体范围前后发生了的变化，那么，序列中的数据就不能前后直接比较，必须经过适当调整后才能进行比较分析。比如，有些地方的行政区划发生了变化，那么这些地方在区划变化前后的统计数据就不能直接对比。

（三）指标的经济内容要一致

指标的经济内容与所反映现象的经济性质是密切联系的。有些指标，虽然名称没变，但所反映现象的性质发生了改变，在此情况下，若将该指标值进行动态对比，得出的结论很可能是错误的。即经济内容不同的指标，不能混合编制成一个时间序列。

（四）指标的计算方法、计算价格和计量单位应一致

有的统计指标有多个计算方法，在同一个时间序列中，所有数据应采用同一个计算方法计算，例如，在编制劳动生产率时间序列时，其各年的指标数值是选择全员劳动生产率还是生产工人劳动生产率，应该前后一致，否则，序列就不具有可比性。在编制价值指标时间序列时，会遇到计算价格不一致的情况，如产值指标就有现行价格产值和不变价格产值之分。同一时间序列中的数值应采用同一种价格，才能保证数据的可比性。在编制时间序列时，还要保持所有统计数据采用同样的计量单位，以保证计量单位的一致性。

第二节 时间序列的水平分析

时间序列虽描述了现象的动态变化，但它还不能直接反映现象各期的增减数量、变动速度和规律，为了深刻揭示现象的这些特征，需要对时间序列进行再加工，计算动态分析指标。常用的动态分析指标包括两大类，即水平指标和速度指标。时间序列的水平指标主要有发展

水平、平均发展水平、增长量、平均增长量；时间序列的速度指标主要有发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度。关于速度指标，将在下一节阐述。

一、发展水平

时间序列中每个指标数值称为发展水平或称发展量，它反映社会经济现象在各个时期（或时点）发展所达到的规模或水平。发展水平是计算动态分析指标的基础。

发展水平一般是指总量指标，如工业总产值、工人人数等；发展水平也可以表现为相对指标，如产品计划完成程度、产品合格率等；发展水平也可以表现为平均指标，如平均工资、平均单位成本等。

根据发展水平在时间序列中的位置不同，发展水平有最初水平、中间水平和最末水平三种。在同一个时间序列中，第一个指标数值称为最初水平，用符号a0表示；最后一个指标数值称为最末水平，用符号an表示；其余各个指标数值称为中间水平，用符号a1、a2、

a3、……、an?1表示。

另外，根据发展水平在时间数列中的作用不同，发展水平有报告期水平和基期水平。在

对时间序列中的发展水平进行比较分析时，通常将要分析研究的那个时期的发展水平称为报告期水平，将作为比较基础时期的发展水平称为基期水平。

这些发展水平都不是固定的，它们随着研究目的、研究时间的改变而作相应的改变。这期的报告期水平可能是将来的基期水平，这个序列的最末水平可能是另一个序列的最初水平。

发展水平在文字说明上，习惯用“增加到”或“增加为”，“降低到” 或“降低为”来表示。例如表5—1中，2006年我国国内生产总值为216 314亿元，2010年增加到 397 783亿元。

二、平均发展水平

（一）平均发展水平的概念

将时间序列中各个发展水平加以平均而得到的平均数称为平均发展水平，用以反映现象在整个发展过程中达到的一般水平。平均发展水平又称动态平均数，也叫序时平均数，它和一般平均数既有共同点，又存在明显的区别。相同点是：二者都是将各个变量值差异抽象化，都反映现象总体的一般水平。它们的区别体现在：第一，序时平均数是根据时间序列计算的，而一般平均数是根据变量数列计算的；第二，序时平均数平均的是时间序列中的各个指标值，而一般平均数所平均的是总体各单位的某一标志值；第三，序时平均数是动态平均数，而一般平均数是静态平均数。

(二) 平均发展水平的作用

平均发展水平在动态分析中被广泛应用。 利用它还可以消除现象在短时间内波动的影

响，便于在各阶段时间之间进行比较，观察现象的发展趋势；同时也还可以解决时间序列中某些可比性问题；它还便于进行广泛对比。

（三）平均发展水平的计算

序时平均数可以根据总量指标时间序列计算，也可以根据相对指标时间序列计算，或者根据平均指标时间序列计算。其中，总量指标时间序列计算序时平均数是最基本的。

1．总量指标时间序列平均发展水平（序时平均数）的计算

总量指标时间序列有时期序列和时点序列之分，其平均发展水平的计算方法也不同。 （1）由时期序列计算平均发展水平

一般直接采用简单算术平均法计算，即以观察期内的各时期指标值之和再除以相应的时期数。用公式表示为：

a?a2?a3?...?an?1?ana?1?n?a

n式中：a——平均发展水平

ai——各时期的发展水平, i=1,2,3,… ,n

n——时间项数

?a——?ai?1ni的简单表达式，以后公式相同

例1 根据表5—1的资料，计算我国2006—2010年期间平均每年国内生产总值。

a216314?265810?314045?340903?397983?a???307011(亿元)

n5(2) 由时点序列计算平均发展水平

时点序列有连续时点序列和间断时点序列两类，因此根据两类时点序列计算发展水平会有不同的方法。

①由连续时点序列计算平均发展水平。时点序列一般都不连续，但如果时点序列的资料是逐日记录、逐日排列的，则称此数列为连续时点序列。根据掌握的资料不同，又有两种情况：

第一种情况：时点现象的指标数值（时点序列的资料）是逐日登记又逐日给出的。对这种情况应采用简单算术平均数法计算其平均发展水平，即以各指标数值之和除以时点个数。其计算公式为：

a?a1?a2?...?an?a ?nn例 2 某企业6月上旬每天职工出勤情况如表5—3所示，求日平均出勤人数。

表5—3 某企业6月上旬职工出勤人数资料

日 期 1 2 235 3 240 4 232 5 238 6 240 7 225 8 230 9 242 10 228 人数（人） 220

a a???220?235?240?232?238?240?225?230?242?228?233(人）10n第二种情况：时点现象的指标数值（时点序列的资料）不是逐日变动的，只在发生变动时才加以登记。对这种情况应以各指标数值持续出现的时间长度为权数进行加权平均。其计算公式为：

at?a2t2?...?antna?11?t1?t2?...?tn?a.tii?1nni?.ti?1iat?，简写为 t?式中：ai——发展水平（i=1,2,3，…n）

ti——为各时段的间隔时间长度,即权数（i=1,2,3，…n）

例3 某公司人力资源部，对本单位2010年6月份在册职工登记如下：6月1日有职工312人，6月10日调出8人，6月13日调入6人，6月25日调入10人，7月7日调出9人。问6月份该公司职工平均在册人数是多少？

通过对上述资料进行分析得知：6月1日至6月9日这9天都是312人，6月10日 至6月12日这3天都是304人，6月13日至6月24日这12天都是310人，6月25日至6月30日这6天都是320人，可编制成时间序列，如表5—4所示：

表5—4 某公司2010年6月份职工人数资料

日期 a职工人数（人） t持续时间（天） 6．1—6．9 6．10—6．12 6．13—6．24 6．25—6．30 312 9 304 3 310 2 320 6 合计 — 30 则该企业2010年1月份平均在册人数为：

a??at?312?9?304?3?310?2?320?6?312(人)

9?3?2?6?t②由间断时点序列计算平均发展水平

间断时点序列指的是间隔一段时间对现象在某一时点上所表现的状况进行一次性登

记，并将登记的数据按照时间先后顺序排列所形成的时间序列。实际工作中，登记日常常是在期初或期末，如月初或月末、季初或季末、年初或年末等。

由于间断时点序列只有期初或期末的数据，其它时点没有数据，所以，计算间断时点序列平均发展水平一般要采用两个假设条件，一个条件是假设上期末水平等于本期初水平（上期末和本期初是两个连续的时点，这里假设两个时点的水平没有变化），另一个条件是假设现象在间隔期内的数量变化是均匀的。

根据上述两个假设条件，对间断时点序列计算平均发展水平的一般步骤是： 第一步，计算各间隔期的平均数。

第二步，以间隔期的长度为权数，对各间隔期的平均水平再进行平均计算，得到时间序列的平均发展水平。

由于间断时点序列的间隔期有的相等，有的不相等，所以，计算平均发展水平的具体处理方法也不相同。

第一种情况：在掌握间隔相等的间断时点序列资料计算平均发展水平。

例4 某储蓄所2009年第三季度储蓄存款余额资料如表5—5所示，试计算第三季度各月平均余额。

表5—5 某储蓄所2009年第三季度储蓄存款余额

月 份 月初存款余额（万元） 7 100 8 86 9 108 10 114 7月份的平均存款余额=

100?86?93(万元) 286?108?97(万元) 2108?114?111(万元) 28月份的平均存款余额=

9月份的平均存款余额=

93?97?111?100.33(万元) 第三季度的平均存款余额=

3上述计算第三季度平均存款余额的两个步骤，可以合并简化为：

如以a1、 a2、a3、…an分别代表现象各期水平，n代表时间序列的项数，上述算式可写为：

100?8686?108108?114100114???86?108?2222?2

33?100.33(万元)

由此可见，根据间隔相等的间断时点序列求平均发展水平时，其计算公式为：

aa1?a2?a3?...?an?1?n2a?2n?1

上述公式通常称为“首末折半法”，专门用于间隔相等的间断时点序列求平均发展水平。 第二种情况：在掌握间隔不等的间断时点序列资料计算平均发展水平。

以各间隔长度为权数，对各相应时点的平均值进行平均，采用加权平均法计算。 其计算公式为：

a?a3a?ana1?a2?t1?2?t2?...?n?1?tn?1222a?

t1?t2?...?tn?1式中，a代表现象在每个时点上的发展水平，t代表相邻两个时点之间的间隔。

例5 某牧场2010年各统计时点的绵羊存栏头数资料见表5—6，试计算该牧场2010年的平均绵羊存栏头数。

表5—6 某牧场2010年绵羊存栏头数

时间 存栏头数（头） 1月1日 1 542 4月1日 1 863 6月1日 1 748 9月1日 1 645 12月31日 1 487

根据公式计算该牧场2010年的平均绵羊头数，可得：

a?a3a?ana1?a2?t1?2?t2?...?n?1?tn?1222a?t1?t2?...?tn?1

1542?18631863?17481748?16451645?1487?3??2??3??42222 ?3?2?3?4=163（头）

即：该牧场2010年绵羊平均存栏1 673头。

这里需要注意，由于我们的两个假设条件与实际情况有差异，所以，根据间断时点序列计算的各间隔期平均数只是个近似值，它与实际平均数之间是有差距的。而且，从上面的例子可以看出，间隔期越长，权数就越大，其平均数对时间序列的总平均水平的影响就越大。因此，为了使计算结果尽量反映实际情况，间断时点序列的间隔期不宜过长。

2． 相对指标时间序列平均发展水平（序时平均数）的计算

相对数时间序列是派生数列，它一般是由两个有密切关系的总量指标时间序列的各项按一一对应关系相比而形成。由于各个相对数不能直接相加，所以根据相对指标时间序列计算序时平均数时，不能用相对数时间序列的各个指标值直接相加除以项数来求得平均发展水平，而要分别计算分子数列和分母数列的平均发展水平，而后加以对比。

ac? 设有相对数

b，则相对数时间序列平均发展水平的计算公式为：

c?ab

式中：c——相对数时间序列的平均发展水平 a——分子数列的平均发展水平 b——分母数列的平均发展水平

具体计算时，由于分子序列和分母序列的构成不同，又可以分成以下三种情况： （1）分子序列和分母序列都是时期序列。

例6 某企业第一季度产量计划完成情况如表5—7所示，试计算该企业第一季度月平均计划完成程度。

表5—7 某企业第一季度产量计划完成情况

实际产量（吨）a 计划产量（吨）b 计划完成程度(%)c 1月 3 060 3 000 102 2月 4 053 3 860 105 3月 4 644 4 300 108

第一季度的月平均计划完成程度为：

a（3060?4053?4644）/3c???b(3000?3860?4300)/3?a?3060?4053?4644 ?b3000?3860?4300?105.35%

上例因为分子序列和分母序列都是时期序列，则

a?b?a?c????nnb?ba

上式中a、b需根据所掌握的资料不同采取不同的计算，当所掌握的资料不全时，当

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