2009届高三数学第二轮复习专题测试10：极限、导数、复数

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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 2009届高三数学第二轮复习专题测试十：极限、导数、复数 （一）典型例题讲解:

?a?x,x?0例1、设f(x)??x，怎样选择实数a时，函数f(x)是连续的

e,x?0?命题意图 本题主要考查函数的极限，以及灵活应用上述概念处理函数在

某个点的左右极限是否相等的问题。

知识依托 函数的极限，函数的左、右极限，函数的连续性

错解分析 对函数的左、右极限及函数的左、右连续的概念含糊不清，不清楚连续必有极限，有极限未必连续。

f(x)?limf(x)?a判断函数在某个点是否技巧与方法 能直接利用lim??x?x0x?x0连续

f(x)?lim(a?x)?a 解：lim??x?0x?0x?0xlimf(x)?lime?1 ??x?0又f(0)=a故当 a= 1时，limf(x)?f(0) ?x?0上式就说明子f(x)在x = 0连续， 在x?0的其他任何x值，f(x)显然连续，

因些，当a＝1时，f(x)在（－?，＋?）是连续的。

例2、求函数的导数

(1)y?1?x (2)y?(ax?bsin2?x)3 (3)y?f(x2?1) 2(1?x)cosx命题意图 本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型

知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数

错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错

技巧与方法 先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导

(1?x)?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)cosx]?(1)解:y??

(1?x2)2?cos2x

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?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)?cosx?(1?x2)(cosx)?]?(1?x2)2cos2x?(1?x2)cosx?(1?x)[2xcosx?(1?x2)sinx]?(1?x2)2cos2x(x2?2x?1)cosx?(1?x)(1?x2)sinx?(1?x2)2cos2x

(2)解 y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx

y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′ =3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′) =3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)

(3)解法一 设y=f(μ),μ=v,v=x2+1,则

11－

y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v2·2x

2=f′(x2?1)·

xx2?1121x?12·2x

=f?(x2?1),

解法二 y′=［f(x2?1)］′=f′(x2?1)·(x2?1)′

?122=f′(x?1)·(x+1)2·(x2+1)′

21211=f′(x?1)·(x2+1)

22?·2x

=

xx2?1f′(x2?1)

例3、已知曲线C: y?4ax3?x, 过点Q(0,?1)作C的切线l, 切点为P. (1) 求证：不论a怎样变化, 点P总在一条定直线上;

(2) 若a?0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点).

命题意图 本题主要考查导数的几何意义以及函数切线方程的求法。

知识依托 导数的几何意义，直线方程的形式，基本不等式

错解分析 对题中的数据的实际意义不理解，以及基本不等式中的第三个条件等号成立时要满足条件没有讨论。

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技巧与方法 直接利用导数的几何意义求切线的斜率；在第（2）小题中，把y表示成x的函数代入|OT|并利用基本不等式求最小值。

解: (1)设Ｐ点坐标为(x0,y0), 则y?4ax0?x0.由y??12ax2?1,则以Ｐ点为切点

2的切线斜率为y?|x?xo?12ax0?1.若x0?0,则y0?1,不符合题意.

yo?14ax32o?xo?1∵切线过点(0,?1), ∴斜率为??12axo?1． xoxo111y?x??x?x?∴x0?3, ∴y0?4ax3, ∴切点Ｐ总在直线上. 000222axoy?1(2) 解法一: ∵l的斜率为0，∴ＰＴ的斜率为?，

x0yo?1x∴ＰＴ的方程为y?y0??o(x?x0).

yo?1y(y?1)3?2?2x0?令y?0,得ＰＴ与x轴交点的横坐标为x?x0?00. x04x013在(1)中, x0?3, 又a?0,∴x0?0. ∴|OT|?x?2?2x0?(x0?0).

4x2a0∴x?2?2x0?33?2?22x0??2?6. 4x04x063, 即x?时等号成立). ∴|OT|的最小值为2?6.

44x01解法二：直线l的斜率为1?33a, 则垂线斜率为?， 31?3a1111(x?). 垂线方程为y?(?3)??3322a1?3a2a令y?0, 解得与x轴的交点T的横坐标为

(当且仅当2x0?x?1212(4?33a?3)?(4?233a?3)?2?6. 22aa23当且仅当33a?a，即a?26时, 等号成立. ∴|OT|的最小值为2?6. 9例4、已知复数z1?m?(4?m2)i(m?R)和z2?2cos??(??3sin?)i（??R）， 若z1?z2，试求?的取值范围。

命题意图 本题主要考查两个复数相等的充要条件及二次函数最值的求法 知识依托 两个复数相等的充要条件，三角函数的值域。

错解分析 对两个复数相等的充要条件不理解，以及没有考虑三角函数的值域，导致做错。

技巧与方法 先利用两个复数相等的充要条件求出?，再把关于?表示成二次函数的形式进行求解。

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解：?z1?（4?m2）i?2co?s?（??3sin?）i z2 ?m??m?2cos? 消去m得：?4?4cos2????3sin? ??2?4?m???3sin?23???4sin??3sin??4(sin??)?9

168239??1≤sin?≤1 ?当sin?=时，?min??

816当sin?=-1时，?max?7 ? ?的取值范围为：?（二）巩固练习

9???7 16一，选择题

1、f(x)=??2x x?1，下面结论正确的是（ ）

0 x<1?x?1x?1x?1f(x)?limf(x)?2 ，limf(x) （B）limf(x)不存在 （A）lim????x?1f(x)?0，limf(x) 不存在 （D）limf(x)≠limf(x) （C）lim????x?1x?1x?1x?12、在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y)，则为……………（ ） A.△x+

?y ?x111 +2 B.△x－－2 C.△x+2 D.2+△x－ ?x?x?x3、复数z=-3+2i对应的点z在复数平面的（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4、函数y?ax2?1的图象与直线y?x相切, 则a? ( ) 111A. B. C. D. 1

842ab?)?1，则常数a,b的值为 5、若lim( （ ）

x?11?x1?x2

A．a??2,b?4

B．a?2,b??4 C．a??2,b??4 D．a?2,b?4

6、已知函数f(x)?3x3?12x?m(m为常数) 图象上点A处的切线与直线2x?y?3?0 的夹角为45?, 则点A的横坐标为 ( )

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A. 0 B. 1 C. 0或

1 61 D. 1或6

7、复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，则实数m的值是（ ） A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3 8、设f (x) =(1?x)?(1?x)?…(1?x)，在f(x)中x( )

2n2mil的系数为Tn，则

Tn3n??n?2n=

11A 1 B 6 C 3 D 2

9、在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为5＋3i，OB与OA关于y轴对称，则点B对应的复数是（ ）

A.5-3i B.-5-3i C.3+5i D.-5+3i

10、函数f(x)?x3?ax2?3x?9, 已知f(x)在x??3时取得极值, 则a? ( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11、满足条件|z?i|?|z?3?4i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是（ ） A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆

10、已知函数y?xf?(x)的图象如右图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下

面四个图象中y?f(x)的图象大致是( ） y 1 x

-2 -1 O 1 2

y2 1 y2 y4 y-1 4 2 O -2 -1 1 2 x -2 -1 O 1 1 2 x 2 1 -2 -1 O 1 -2 -2 -2 x -2 -1 O 2 x

A B C D

二、填空题：

13、已知（3x+2y）+(5x-y)i=17-2i (x,y∈R)，则x= ，y= .

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x2?1相切的直线方程14、与直线x?y?1＝0平行, 且与曲线y＝3为 .

2?3x?2,x?2??215、若函数f(x)??x?4x?2在x?2处连续，则a? ,x?2??a16、曲线y?x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积

为 .

z2?3z?617、已知复数z?1?i，则复数的模为

z?118、函数y??4x3?3x2?6x的单调递减区间为 , 极大值为 ,极小值为 .

三. 解答题

19, 如果一个质点从定点A开始运动，在时间t的位移函数为y?f(t)?t3?3，

y⑴ 当t1?4，且Δt＝0.01时，求Δy和 Δ Δ t⑵ 求t1?4时，lim⑶ 说明lim

Δ yΔ t?0Δ tΔ yΔ t?0Δ t

的几何意义

20、已知四边形ABCD是平行四边形，A、B、D三点在复平面内对应的复数分

5-i，4?i，别是2?3i，试求点C对应的复数.

21、已知函数f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P(0,2), 且在点M(?1,f(?1))处的切线方程为6x?y?7?0.

(1) 求函数y?f(x)的解析式; (2) 求函数y?f(x)的单调区间.

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22、记z的共轭复数为z，是否存在复数z使等式z?（1?i）?z?（1?i）?z?25?5i成2?i立.若存在，求出满足要求的z；若不存在，请说明理由.

23、已知点的序列An(xn,0),n?N?其中x1?0,x2?a(a?0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An?1An?2的中点， （１）写出xn与xn?1、xn?2之间的关系式(n?3)

(2)设an?xn?1?xn，计算a1,a2,a3由此推测数列{an}的通项公式并加以证明 （３）求limxn

n??

24、已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点, 其中m,n?R,m?0,

(1) 求m与n的关系式; (2) 求f(x)的单调区间;

(3) 当x?[?1,1]时, 函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m的取值范围.

解答

一. 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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答案 二. 填空题 13. 1、7 ; 14. 4x?4y?7?0; 15. 17. 三. 解答题

19、解：⑴Δy＝f(t1＋Δt)-f(t1) =[(t1＋Δt)3?3]?[t3?3] =3t12Δt+3t1Δt2+Δt3

当t1?4，Δt＝0.01时Δy＝0.481201

Δ yΔ tB C B B C C B B D B A C 81; 16. 432 18.

17(??,?),(1,??), 5 , ?.

24＝3t12＋3t1Δt＋Δt2＝48.1201

Δ yΔ t?0Δ t⑵lim＝lim（3t12＋3t1Δt＋Δt2）

Δ t?0＝3t12＝48

y⑶Δy是质点由固定点A开始在Δt这段时间内的位移，所以Δ是质点A在Δt这Δ t段时间内的平均速度，而lim

Δ yΔ t?0Δ t是质点A在时间t1的瞬时速度

20、解：∵A、B、D对应的复数分别为2+3i，5-i，4+I ∴A（2，3） B（5，-1） D（4，1）

∴AB?(3,?4) AD?(2,?2) 由向量的平行四边形法则知：

AC?AB?AD?(5,?6)

∴OC?OA?AC?(2,3)?(5,?6)?(7,?3) ∴C(7,?3) ∴点C对应复数为7?3i.

21、解：(1) 由f(x)的图象经过P(0,2),知d?2, 所以f(x)?x3?bx2?cx?2, f?(x)?3x2?2bx?c.即f(?1)?1,f?(?1)?6.

由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0, 知

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?3?2b?c?6?b??3?6?f(?1)?7?0,????

??1?b?c?2?1?c??3故所求的解析式是 f(x)?x3?3x2?3x?2.

(2) f?(x)?3x2?6x?3.令3x2?6x?3?0,即x2?2x?1?0. 解得 x1?1?2,x2?1?2. 当x?1?2,或x?1?2时,f?(x)?0; 当1?2?x?1?2时,f?(x)?0.

故f(x)?x3?3x2?3x?2在(??,?2)内是增函数, 在(1?2,1?2)内是减函数, 在(1?2,??)内是增函数.

22、证明：5?5i?5(1?i)(2?i)?1?3i 设存在z?a?bi(a,b?R)满足要求，

2?i(2?i)(2?i)则z?a?bi z?(1?i)?z?(1?i) ?z2?(a2?b2)?(1?i)(a?bi)?(1?i)(a?bi)?(a2?b2)?2(a?b)i

∴原方程化为：

?2a?3a?2(a?b)?2(a?b)i?1?3i

22?a2?b2?1∴?

?2a?2b?35?0，① 42???（?3）?4?2?5??1＜0 ∴方程①无解 从而原方程在复数范围内无解 4xn?1?xn?2 2x2?x12

23、解：（１）当n?3时，xn?（２）a1?x2?x1?a,a2?x3?x2?x3?x2214

1＝?12(x2?x1)??2a

a3?x4?x3?1212?x2??12(x3?x2)??(?a)?a由此推测：an

n?1??(?1)a(n?N)： 2证明：?a1?a?0,

an?xn?1?xn?xn?1?xn＝2xn?xn?12?xn

1??1(x?x)??nn?122an?1

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n?1?an?(?1)a 2（３）当n?3时，

xn?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?x1?an?1?an?2???a1

由(２)知{an}是公比为?12的等比数列

12?liman?1?(a??13a )n??2

24、解：(1) f?(x)?3mx2?6(m?1)x?n因为x?1是函数f(x)的一个极值点, 所以

f?(1)?0, 即3m?6(m?1)?n?0,所以n?3m?6

2(2) 由(1)知, f?(x)?3mx2?6(m?1)x?3m?6?3m(x?1)[x?(1?)]

m2当m?0时, 有1?1?,当x变化时，f(x)与f?(x)的变化如下表:

m

22故有上表知, 当m?0时, f(x)在(??,1?)单调递减, 在(1?,1)单调递增, 在

mm(1,??)上单调递减.

(3) 由已知得f?(x)?3m, 即mx2?2(m?1)x?2?0

2222又m?0所以x2?(m?1)x??0, 即x2?(m?1)x??0,x?[?1,1]……

mmmm①

12设g(x)?x2?2(1?)x?, 其函数开口向上, 由题意知①式恒成立,

mm22??g(?1)?0?1?2???044所以??????m?0, 即m的取值范围为(?,0). mm33?g(1)?0??1?0?

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