7-2.：傅里叶变换的性质.：傅里叶变换的性质

§7-2 傅立叶变换的性质

这一节我们将介绍傅氏变换的几个重要性质。为了叙述方便，假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件，在证明这些性质时，不再 重述这些条件，望读者注意。 一。线性性质

设F

F c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t 或

f k t Fk c k 是常数(k =1,2,……,n),则有 c1F1 c2 F2 cn Fn c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t (7-2-1)

F 1 c1F1 c2 F2 cn Fn (7-2-1)’

该性质的证明可利用积分的线性性质直接由傅氏变换的定义式得到.1

二。位移性质 ： (1) 或 (2)

设F

f t F , (

则有：

F f t a e j a F F 1

F e j 0t f t F 0 ( 为实数) 0 F 1

e

j a

F f t a

a为实数 )

(7-2-2) (7-2-2)’ (7-2-3) (7-2-2)’

F 0 e

j 0t

f t

证：(1)由傅氏逆变换定义得

1 j a j t F e F F e e d 2 1 F e j t a d 1 j a

2

令 1

x t a

1 F F 2 性质(1)得证。

F e j x d f x f t a

(2) 由傅氏变换定义，同理得

F

e

j 0t

f t f t e j 0t e j t dt

f t e

j 0 t

dt F 0

说明：性质(1)表明时间函数

f t

沿t轴向左或向右位移

a或

个单位，对应的傅氏变换将分别乘以因子

F 沿轴向左或向右位移 0 个单位，对应的傅氏逆变换等于 j 0 t j 0t 原来的函数 f t 分别乘以因子

e

j a

e

j a

,因此称之为时域上的位移性质。性质(2)表明频谱函数

e

或

因此称之为频域上的位移性质。当 F 由欧拉公式 一个推论：

f t F 时，

e

.

e

j t

cos t sin t 和性质(2)还可得到2

f t cos 0 t 1 [ F 0 F 0 ] F f t sin 0 t 1 j[ F 0 F 0 ] F我们把它也称为频域上的位移性质。2

(7-2-4) (7-2-4)’

e 和F e cos 2t 例1:由 F t 2

t

2

e

/ 42

计算F

e

t a 2

。 解：由时域上的位移性质(7-2-2)式得

F e

(t a )2

e 2

j a ( 2 / 4 )

由频域上的位移

性质(7-2-4)式得

Fe

t 2

cos 2t

[e

( 2 ) 2 / 4

e

2 2 / 4

]

三.微分性质(1) (2) 则 若

F f t j F ' 1; 1.

t 时, f (t ) 0 ' f (t ) 存在且除有限个间断点外连续。

已知 F f t F ,若：

(7-2-5) (7-2-5)’

或 F j F f ' t j t 证：因为当 t f t e 于是有

f (t ) 0

. 故由分部积分法得

f (t )e

j t

06

F

f ' t f ' t e j t dt

f (t )e

j t

j f (t )e j t dt

j f (t )e j t dt j F 推论：已知 F(1)若

t

f t F ,若：时,

f

k

(t ) 0

k 0,1,2, , n 1

(2)

f n (t )

存在且除有限个间断点外连续。

则

F F

f 1

n

t ( j ) F n

(7-2-6)

或

( j )

n

F f

n

t

(7-2-6)’

同样方法，我们还可以推出象函数的微分性质： 已知

F

f t F F k

,若：

(1)若

时,( ) 0

k 0,1,2, , n 1

(2)

F ( )

n

存在且除有限个间断点外连续。

。 则 。 或

F

1

j Fnn

F 1

t f t t f t j F n nn n

(7-2-7)

对n=1有

F。 或

jF tf t '

F tf t jF '

(7-2-7)’

实际上我们经常用(7-2-7)式来计算F

t

n

f t

9

Ae t t 0 , A 0, 0 例1:对于指数衰减函数 f t t 0 0 , A 我们已知 F (由习题7.1第5题结果),求：

tf t 和 F t f t 。 显然， F 满足式(7-2-7)成立的全部条件，故有 A F tf t j jA ( j ) j F2F

j

F

t

2

f t

2

2

2A j F '' ( j )32

四。积分性质已知 Ft

f t F 即 F 0 0 则t

若

F

g t =F [ 1

g t f t dt t 0

t 1 F g t f t dt 或F j

1 f t dt] F j (7-2-8 由分部积分得

证：由于在

f (t )的连续点处有，g ' t f (t ) F F f t =F g ' (t ) g ' t e j t dt g (t )e j t

j g (t )e j t dt 11

又因为

lim g t limt

t

t

t

f (t )dt 0

lim g t f (t )dt f t e j 0t dt F 0 0

故

F 。

F

f t

= j F即

g t F

0 j g (t )e j t dt

g t

1 F j 12

2 A / 例1:设 f t 2 A / 0 称 g t

0 t /2 / 2 t 0 t /2

t

A 2 At / f (t )dt A 2 At / 0

0 t /2 / 2 t 0 t /2g t A

为单个三角形脉冲，见图(7-4)f t 2A/τ

-0.5τ -2A/τ

0.5τ

t

-0.5τ

o

0.5τ

t

图7-413

显然 ，并且在 且gt

f t 的连续点处有 g ' (t ) f t 。又因为

t f t dt t 0 F f t e j t dt

f t

为奇函数，故有

4 Aj

/2

0

4 jA sin tdt 1 cos 2 1 cos 2

于是由积分性质得

F

g t

1 4A F j 2

由于积分性质的条件

g t f t dt t 0 (即F t

0 0)

只有少数函数能满足，该性质在应用上受到很大限制。当该条件不满足时 (即 F

0 0

),我们有一个推广性的结论，需要在下一节相关知识介

绍了之后，才能得到。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c7j4.html