必修1 第二章 第三讲 物体的平衡

《新课标》高三物理（人教版）第一轮复习单元讲座

物理1 必修教材（必考内容）

第二章 相互作用

第三讲 共点力作用下物体的平衡

课时安排：2课时

教学目标：1．理解共点力作用下物体平衡的条件。

2．熟练应用正交分解法、图解法、合成与分解法等常用方法解决平衡类问题。 3．进一步熟悉受力分析的基本方法，培养学生处理力学问题的基本技能。

本讲重点：1．正交分解法的应用

2．图解法的应用

本讲难点：受力分析

考点点拨：1．平衡条件的基本应用

2．平衡问题中常用的数学方法――相似三角形法，正交分解法 3．平衡问题中常用的物理方法――隔离法和整体法 4．用图解法解决动态平衡类问题 5．平衡问题中的临界与极值问题 6．关于绳中的张力问题

第一课时

一、物体的平衡

物体的平衡有两种情况：一是质点静止或做匀速直线运动，物体的加速度为零；二是物体不转动或匀速转动（此时的物体不能看作质点）。

点评：对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态．因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止．还需注意，不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个状态，加速度不为零。由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止．因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于静止状态。

总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的

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加速度不为零，它一定处于非平衡状态。

二、共点力作用下物体的平衡条件 1．共点力

几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。

2．共点力的平衡条件

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合=0或Fx合=0，Fy合=0 3．判定定理

物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。（表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形）

4．解题方法

当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法。

二、高考要点精析 （一）平衡条件的基本应用 ☆考点点拨

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合=0或Fx合=0，Fy合=0 【例1】（1）下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于平衡状态 A．3N，4N，8N B．3N，5N，1N C．4N，7N，8N D．7N，9N，6N

（2）用手施水平力将物体压在竖直墙壁上，在物体始终保持静止的情况下 A．压力加大，物体受的静摩擦力也加大 B．压力减小，物体受的静摩擦力也减小 C．物体所受静摩擦力为定值，与压力大小无关

D．不论物体的压力改变与否，它受到的静摩擦力总等于重力

（3）如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F1 =10N，F2 =3N而静止，当撤去F1后，木块仍静止，则此时木块受的合力为

A．0 B．水平向右，3N C．水平向左，7N D．水平向右，7N

解析：（1）CD 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合=0。只有CD两个选项中的三个力合力为零。

（2）CD物体始终保持静止，即是指物体一直处于平衡状态，则据共点力作用下物体的平衡条件有

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??Fx合?0F合?0?

F?0??y合对物体受力分析，如下图 可得F = FN ，Ff = G

（3）A 撤去F1后，木块仍静止，则此时木块仍处于平衡状态，故木块受的合力为0．

☆考点精炼

1．关于共点力，下面说法中不正确的是

（ ）

A．几个力的作用点在同一点上，这几个力是共点力

B．几个力作用在同一物体上的不同点，这几个力一定不是共点力

C．几个力作用在同一物体上的不同点，但这几个力的作用线或作用线的延长线交于一点，这几个力也是共点力

D．物体受到两个力作用，当二力平衡时，这两个力一定是共点力 （二）平衡问题中常用的数学方法 ☆考点点拨

（1）相似三角形法：该方法在上一讲中已经讲了，本讲再举一例，加以强化。 若给定条件中有长度条件，常用力组成的三角形（矢量三角形）与长度组成的三角形（几何三角形）的相似比求解。

【例2】如图所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30o。AB连线与OB垂直。若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新平衡时绳的拉力多大？

解析 小球A电量加倍后，球B仍受重力G、绳的拉力T、库仑力F，但三力的方向已不再具有特殊的几何关系。若用正交分解法，

设角度，列方程，很难有结果。此时应改变思路，并比较两个平衡状态之间有无必然联系。于是变正交分解为力的合成，注意观察，不难发现：AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：

AOOB?。说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。由球A电量未加倍时这一GT特殊状态可以得到：T=Gcos30o。球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30o。

点评：相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

答案：C ☆考点精炼

2．如图所示，两个质量分别为m、4m的小球A、B（可视为质点），用轻杆连结，并通过长为L的轻绳挂在光滑的定滑轮

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上，求系统平衡时，OA、OB段绳长各为短少？

（2）正交分解法：该方法在上一讲中已经讲到，本讲再举一例，加以强化。

【例3】如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？

解析：选取A和B整体为研究对象，它受到重力（M+m）g，

地面支持力N，墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用（如图甲所示）而处于平衡状态。根据平衡条件有：

N －（M+m）g=0 ① F=f ② 可得N=（M+m）g ③

再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力NB，墙壁对它的弹力F的作用（如图乙所示），而处于平衡状态，根据平衡条件有：

竖直方向上：NBcosθ=mg ④ 水平方向上：NBsinθ=F ⑤ 解得 F=mgtanθ ⑥ 所以 f=F=mgtanθ ⑦ ☆考点精炼

3．如图所示，OA为一遵循胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天

花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连。当绳处于竖直位置时，滑块A对地面有压力作用。B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现用一水平力F作用于A，使之向右缓慢地做直线运动，则在运动过程中 （ ）

A．地面对A的支持力FN逐渐增大 B．地面对A的摩擦力F1保持不变 C．地面对A的支持力FN逐渐减小 D．水平拉力F逐渐增大

（三）平衡问题中常用的物理方法――隔离法和整体法 ☆考点点拨

（1）隔离法：假想把某个物体（或某些物体或某个物体的一部分）从连接体中隔离出

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A B O C N F f (M+m)g 图甲

θ NB

F mg 图乙

F 来，作为研究对象，只分析这个研究对象受到的外力，由此可以建立相关的平衡方程或牛顿第二定律的方程。

（2）整体法：整体法就是把若干个运动状态相同的物体看作一个整体，只要分析外部的物体对这一整体的作用力，而不出现系统内部物体之间的作用力（这是内力），由此可以很方便地求出整体的相关的外力或加速度，使解题十分简捷。

整体法和隔离法解题的步骤是：对象过程要指明，受力分析要对应，整体法求加速度，隔离分开求内力。

【例4】有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙。OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力T的变化情况是

（ ）

O Q B P A

A．FN不变，T变大 B．FN不变，T变小 C．FN变大，T变大 D．FN变大，T变小

解析 以两环和细绳整体为对象，竖直方向只受重力和杆对P环

的支持力FN，FN和系统的重力平衡，FN=2mg，所以FN不变。以环Q为对象，受力如图所示，根据竖直方向的平衡可得Tcosθ=mg，将P环向左移一小段距离，θ变小，细绳上的拉力T变小。

答案：B

思考：杆对环P的摩擦力怎样变化？ ☆考点精炼

4．如图所示，有一建筑工人，他在某次施工中，站在平板AB上，工人通过拉绳子，可以使自己和板一起匀速上升。若工人体重为G1，板AB重量为G2，滑轮质量和绳的质量及轴上的摩擦都可不计，则G1和G2必须满足（ ）

A．G1=G2 B．G1≤G2 C．G1≥G2/3 D．G1≤G2/3

第二课时

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（四）用图解法解决动态平衡类问题 ☆考点点拨

所谓动态平衡是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这一过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。解决此类问题的基本方法是，对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出物体的平衡力示意图，（力的平行四边形或三角形）再由动态时力的四边形各边的长度变化确定力的大小及方向的变化情况。这种方法称为图解法。在上一讲中已经提到。

【例5】如图所示，一物体放在斜面上处于静止状态。现加一水平推力F，若在推力F从零开始逐渐增大的过程中，物体仍保持静止，则下列判断中正确的是（ ）

A．斜面对物体的静摩擦力一定增大 B．斜面对物体的支持力一定增大 C．物体在水平方向所受合力一定增大 D．物体在竖直方向所受合力一定增大

解析 物体在水平推力F的作用下静止在斜面上，物体受水平推力F、重力mg、斜面的支持力FN和静摩擦力F1。这些力的合力为零，构成封闭的矢量多边形，如右图。从图中可以看出，随水平mg 推力F的增大，斜面的支持力FN一定增大，静摩擦力F1先减小，变向后又逐渐增大。物体始终处于静止状态，合力为零，不发生变化。

答案：B ☆考点精炼

5．如图所示，轻绳OA、OB悬挂重物于O点，开始时OA水平。现缓慢提起A端而O点的位置保持不变，则

A．绳OA的张力逐渐减小 B．绳OA的张力逐渐增大 C．绳OA的张力先变大，后变小 D．绳OA的张力先变小，后变大

（五）平衡问题中的临界与极值问题 ☆考点点拨

一个物理问题中，往往会涉及到几个物理过程，不同的物理过程，遵从不同的物理规律。物理过程有先有后，在前一个物理过程与后一个物理过程之间，必然存在这样一个状态——临界状态：此前为一个物理过程，此后是另一个物理过程，所以临界状态是从一个物理现象

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FN F1 F （状态、过程）到另一个物理现象（状态、过程）时所出现的转折点。临界状态和一定的条件相对应，即临界条件。

临界问题错综复杂，临界条件千变万化，有的临界条件较为明显，容易判断，但更多的临界条件是隐含的。因此，很难用几个有限的条件来概括。但是，我们仍能总结出它们的一些规律，如弹力（包括张力）、摩擦力等被动力，随其它外力或运动状态的变化而变化时，所出现的转折点。

解决临界问题，必须在变化中去寻找临界条件，即不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要研究变化的过程、变化的物理量，寻找临界条件，解决临界问题的基本思路是：

（1）认真审题，详尽分析问题中变化的过程，（包括分析整体过程中有几个阶段）； （2）寻找过程中变化的物理量（自变量与因变量）

（3）探索因变量随自变量变化时的变化规律，要特别注意相关物理量的变化情况； （4）确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。

显然分析变化过程，确定因变量随自变量变化的规律，是解决问题的关键。

【例6】跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上（如图l—4－3（甲）所示），已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ

解析：先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力T的作用，根据平衡条件有： T=mBg ①

再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图（乙）所示，根据平衡条件有：

N-mgcosθ＝0 ② T-fm- mgsinθ＝0 ③

由摩擦力公式知：fm=μN ④ 以上四式联立解得mB=m(sinθ＋μcosθ) 再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：

N-mgcosθ=0 ⑤ T＋fm- mgsinθ=0 ⑥

由摩擦力公式知：fm=μN ⑦ ①⑤⑥⑦四式联立解得mB=m(sinθ-μcosθ)

综上所述，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ-μcosθ)≤mB≤m(sinθ＋μcosθ) ☆考点精炼

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G F α 6．用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

（六）关于绳中的张力问题 ☆考点点拨

要注意“滑轮悬挂重物”与“绳子栓结重物”的区别。如果用动滑轮悬挂重物，滑轮摩擦不计，滑轮可以自由移动，两股绳拉力相等，如果用绳子栓结重物，各段绳中拉力可能不相等。

【例7】如图所示，有两根立于水平地面上的竖直杆，将一根不能伸长的、柔软的轻绳的两端，分别系于竖直杆上不等高的两点a、b上，用一个光滑的动滑轮O悬挂一个重物后再挂在绳子上，达到平衡状态。现保持轻绳的a端不动，将b端缓慢下移。在此过程中，轻绳的张力的变化情况是 （ ）

A．保持不变 B．不断增大 C．不断减小 D．先增大，后减小

【错解】b端下移过程中，Oa、Ob两绳间的夹角不断减小，Oa与水平方向的夹角α不断增大。由平衡条件，两绳的拉力的合力等于重力。即2Tsinα=mg，T=mg/2sinα。故T减小。

【错解分析】思维定势。未理解、抓住物体是挂在滑轮上的，而滑轮是可以移动的。这种问题与“两根绳子将物体系于O点”是不同的。

【正确解答】将bO延长，如图，可见cosα=d/L。d为两杆间距离，L为绳长。α的大小跟a、b的位置无关。因此，在b端下移过程中。α的大小不变，故T不变。故A正确。

☆考点精炼

7．如图所示，将一根不能伸长、柔软的轻绳两端分别系于A、B两点上，一物体用动滑轮悬挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为?1，绳子张力为F1；将绳子B端移至C点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为?2，绳子张力为F2；将绳子B端移至D点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为?3，绳子张力为F3，不计摩擦，则（ ）

A．?1=?2=?3 B．?1=?2F2 >F3

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D．F1 =F2

考点精炼参考答案

1．B（力作用在同一物体上的同一点，或者作用在同一物体上的不同点，但这几个力的作用线或作用线的延长线交于一点，这几个力都是共点力。据此可知本题的答案为B。注：中学阶段的共点力实际中指共点共面力。）

2．OA?4LL，OB? 553．BD（设AB间的长度为x，就是弹性轻绳开始时的伸长量。当绳处于竖直位置时，地面对滑块A的支持力FN＝mg－kx。滑块A向右缓慢地做直线运动到C时，设BC与水平方向的夹角为θ，这里弹性轻绳的伸长量x＇＝

x。根据滑块竖直方向的平衡，这里地面对sin?A的支持力FN＇＝mg－kx??sin?＝mg－kx，所以地面对A的支持力不变，地面对A的滑动摩擦力F1保持不变。根据滑块水平方向的平衡，水平拉力F＝F1＋kx′·cosθ，因x＇和cosθ均增大，所以水平拉力F逐渐增大。）

4．C（如图所示，对人和板由整体法得，4T= G1+G2，对人T≤ G1，解得G1≥G2/3，故C项正确。）

5．D

6．解：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当F?2G时，f=0；当F?2G时，f?3F?G，方向竖直向下；当F?2G时，

23333f?G?F，方向竖直向上。

2点评：静摩擦力是被动力，其大小和方向均随外力的改变而改变，因此，在解决这类问题时，思维要灵活，思考要全面。否则，很容易造成漏解或错解。

7．BD（因为是动滑轮，绳子张力处处相等。由几何关系可知，B正确；由合力一定时，两分力与夹角的关系知D项也正确。）

三、考点落实训练

1．物体B放在物体A上，A、B的上下表面均与斜面平行，如图所示。两物体恰能沿固

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定斜面向下做匀速运动 （ ）

A．A受到B的摩擦力沿斜面方向向上 B．A受到B的摩擦力沿斜面方向向下 C．A、B之间的摩擦力为零

D，A、B之间是否存在摩擦力取决于A、B表面的性质

2．如图所示，斜劈ABC放在粗糙的水平地面上，在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，今用一竖直向下的力F作用于物块上，下列说法正确的是 （ ）

A．斜劈对物块的弹力增大 B．物块所受的合力不变 C．物块受到的摩擦力增大

D．当力F增大到一定程度时，物体会运动

3．如图所示，在《互成角度的两个共点力的合成》实验中，若先用互成锐角的两个力F1和F2将橡皮条的结点拉到位置O，然后保持读数是F2的弹簧秤的示数不变而逐渐增大β角，在此过程中，若要保持O点位置不动，则另一个弹簧秤拉力F1的大小和方向与原来相比可能发生怎样的变化? ．

A．Fl一直变大，角α先变大后变小 B．Fl一直变大，角α先变小后变大 C．Fl一直变小，角α先变大后变小 D．Fl一直变小，角α先变小后变大

4．有些人员，如电梯修理员、牵引专家等，常需要知道绳（或

金属线）中的张力T，可又不便到绳（或线）的自由端去测量．现某家公司制造了一种夹在绳上的仪表（图中B、C为该夹子的横截面）．测量时，只要如图示那样用一硬杆竖直向上作用在绳上的某点A，使绳产生一个微小偏移量a，借助仪表很容易测出这时绳对硬杆的压力F。现测得该微小偏移量为 a=12 mm，BC间的距离为 2L=250mm，绳对横杆的压力为 F=300N，试求绳中的张力T.

5．（延伸题）如图所示，两根长为L的绝缘细丝线下端各悬挂一质量为m，带电量分别为+q和?q的小球A和B，处于场强为E，方向水平向左的匀强电场中，现用长度也为L的绝缘细丝线将AB拉紧，并使小球处于静止状态，求E的大小满足什么条件才能实现上述平衡状态．

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F A C B

6．如图所示，贴着竖直侧面的物体A的质量mA＝0.2kg，放在水平面上的物体B的质量mB＝1.0kg，绳和滑轮间的摩擦均不计，且绳的OB部分水平，OA部分竖直，A和B恰好一起匀速运动。取g＝10m/s2， 求：

（1）物体B与桌面间的动摩擦因数？

（2）如果用水平力F向左拉B，使物体A和B做匀速运动，需多大的拉力？

（3）若在原来静止的物体B上放一个质量与B物体质量相等的物体后，物体B受到的摩擦力多大？

7．一根长2m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，如图所示，求直棒重心C的位置。

8．轻绳AB总长l，用轻滑轮悬挂重G的物体。绳能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动距离d而使绳不断，求d的最大可能值。

考点落实训练参考答案

1．B（因A、B沿固定斜面向下做匀速运动，故B受到A的摩擦力平行斜面向上，A受到B的摩擦力平行斜面向下，故B正确）．

2．ABC（在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，应有物块与斜劈间的最大静摩擦力大于或等于重力沿斜面向下的分力。用一竖直向下的力F作用于物块上，物块对斜劈的压力增大，则斜劈对物块的弹力增大，A正确；此时物块与斜劈间的最大静摩擦力仍大

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B O A A B 于或等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块不可能运动，D错误；物块所受的合力不变，B正确；实际静摩擦力等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块受到的摩擦力增大，C正确。）

3．A

解析：F1与F2的合力不变，作出力的矢量三角形，当F2大小不变，而逐渐增大β角时Fl一直变大，角α先变大后变小。故A正确。

4．解：A点受力如图，由平衡条件得，F?2Tsin? ① 当?很小时，sin??tan? ②

??由几何关系得 tan解得T?a ③ LFL ④ 2a3代入数据解得 T?1.6?10N ⑤

5．解：对A球受力分析如图．设悬点与A之间的丝线拉力为F1，AB之间丝线的拉力为F2，根据平衡条件得

q2F1sin60°=mg ① qE=k +F1cos60°+F2 ②

2LFmgq由以上二式得E=k +cot60°+2 ③

qqL2∵F2≥0 ④

所以，实现平衡状态的条件是 E≥k

3mgq+ ⑤ 2q3L6．解：（1）因A和B恰好一起匀速运动，所以B受到的水平绳的拉力T与滑动摩擦力F1的大小相等，且等于A的重力mAg值。B对桌面的压力FN等于B的重力mBg。所以有

F1＝μFN FN＝mBg T＝F1＝mAg 解得：μ＝0.2

（2）如果用水平力F向左拉B，使物体A和B做匀速运动，此时水平绳的拉力T与滑动摩擦力F1的大小均不变，根据物体B水平方向的平衡有

F＝T＋F1＝2 mAg＝4N

（3）若在原来静止的物体B上放一个质量与B物体质量相等的物体后，物体B对桌面的压力变大，受到的最大静摩擦力将变大，但此时物体B将静止不动，物体与桌面间的摩擦力为实际静摩擦力，根据物体B和物体A的平衡可知，物体B受到的摩擦力为

F1＇＝T＝mAg＝2N

7．解析：当一个物体受三个力作用而处于平衡状态，

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如果其中两个力的作用线相交于一点．则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示由几何知识可知：

BO=AB/2=1m BC=BO/2=0.5m 故重心应在距B端 0.5m处。

8．解：以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止。而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力N与压力G平衡，方向竖直向上。因此以F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得d∶l =15∶4，所以d最大为15l

4

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N F1 F2

G

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