一元一次方程应用题分类汇集(我已整)2013.12.5

一元一次方程应用题分类汇集

一、一元一次方程应用题归类汇集：行程问题 ， 工程问题 ， 和差倍分问题（生产、做工等各类问题）， 调配问题， 分配问题，配套问题 ，销售问题 增长率问题 数字问题 ，方案设计与成本分析 ，积分问题 5古典数学 ， 浓度问题等。

二、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．

（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位） 三、具体分类

（一）行程问题——画图分析法（线段图） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 2.行程问题基本类型

（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．

常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题；隧道问题；时钟问题等。

常用的等量关系：

1、甲、乙二人相向相遇问题

⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题

⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 3、单人往返

⑴ 各段路程和＝总路程 ⑵ 各段时间和＝总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变 4、行船问题与飞机飞行问题

⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度

1

5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题

将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。 6、时钟问题：

⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究

⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。 常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒

例1：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。) 解：1、设快车开出x小时后相遇，依题意得 480＝90（1+x）+140X 解得x＝39/23小时

2、设x小时后两车相距600km，依题意得 600-480＝90x+140X 解得x＝12/23小时

3、设x小时后两车相距600km，依题意得 600-480＝140x-90x 解得x＝2.4小时

4、设x小时后快车追上慢车，依题意得 480＝（140-90）x 解得x＝9.6小时

5、设x小时后快车追上慢车，依题意得 480+90*1＝（140-90）x

解得x＝11.4小时

2、人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 解：设家到学校y千米，依题意得

y15y15???解得y=45/4千米 1560960答：家到学校的距离为45/4千米

3、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。

2

解：方法一：设由A地到B地规定的时间是 x 小时，则

12x＝15??x???204??? x＝2 12 x＝12×2＝24(千米) 6060?方法二：设由A、B两地的距离是 x 千米，则 （设路程，列时间等式）

xx204??? x＝24 答：A、B两地的距离是24千米。 12156060温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。 3、甲、乙两人同时同地同向而行，甲的速度是4千米/小时，乙的速度比甲慢，半小时后，甲调头往回走，再走10分钟与乙相遇，求乙的速度。

解：半小时=1/2小时，10分钟=1/6小时。 设乙的速度是每小时x千米,依题意得

11(4?x)?(4?x)解得x=2 62答：乙的速度是每小时2千米。

4、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。 解：设乙的速度是 x 千米/时，则

3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2 ∴ x＝5 2x＋2＝12 答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。

5、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计） 老师提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈

即 步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2

解：设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则 5x＋60(x－1)＝60×2

6、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼

品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？ （提示：此题为典型的追击问题） 解：设爸爸用x小时追上我们，则 6x＝2x＋2×1

解得 x＝0.5 0.5小时＜1小时45分钟 答：能追上。

7、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午

8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。

解：设A、B两地间的路程是 x 千米，则

方法一：

x?36x?36? 243

方法二：x＋36＝36×2×2 解，得 x＝108 答：A、B两地间的路程是108千米。

8、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，从同一起点同时出发，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。（1）如果背向而行，两人多久第一次相遇？（2）如果同向而行，两人多久第一次相遇？

解：（1）.背向而行，设为X秒，两人合计跑400米，依题意得 5X+3X=400 解得X=50秒

（2）.同向 设为Y秒，甲必须比乙多跑一圈才能相遇，依题意得 5Y-3Y=400 解得Y=200秒

答：如果背向而行，两人50秒第一次相遇。如果同向而行，两人200秒第一次相遇。 9、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴ 行人的速度为每秒多少米？ ⑵ 这列火车的车长是多少米？

老师提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。 等量关系： ① 两种情形下火车的速度相等 ② 两种情形下火车的车长相等

在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的

方程。

解：⑴ 行人的速度是：3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒

骑自行车的人的速度是：10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒

⑵ 方法一：设火车的速度是x米/秒，则 26×(x－3)＝22×(x－1) 解得x＝4

方法二：设火车的车长是x米，则

x?22?1x?26?3? 222610.一列客车长200 m，一列货车长280 m，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车

尾相离经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3∶2，问两车每秒各行驶多少米？

解：设客车每秒行驶3x米，则货车每秒行驶2x米，依题意得 3x×16+2x×16=200+280 解得x=6

客车的速度为3x6=18 货车的速度为2x6=12

答：客车和货车每秒分别行驶18米、12米。

11、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是【 】

（A）60秒 （B）50秒 （C）40秒 （D）30秒

老师提醒：将车尾看作一个行者，当车尾通过600米的隧道再加上150米的车长时

所用的时间，就是所求的完全通过的时间，哈哈！你明白吗？

解：时间＝(600＋150)÷15＝50（秒） 选B。

12、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。

老师解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，

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前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。 此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。

解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得

300?xx? x＝300 答：这列火车长300米。 2010方法二：设这列火车的速度是x米/秒，

根据题意，得20x－300＝10x x＝30 10x＝300 答：这列火车长300米。

13、甲、乙两人相距5千米，分别以2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12千米/时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙??直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。

注：此为二题合一的题目，即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。只是他们的开始与结束时间是一样的，

以此为联系，使本题顿生情趣，为诸多中小学资料所采纳。 解：设甲、乙两人相遇用 x 时，则2x＋2x＝5 x?55 12x?12??15(千米) 44答：小狗所走的路程是15千米。

14、在8点和9点间，何时时钟分针和时针重合？何时时钟分针和时针成直角？何时时钟分针和时针成平角？ 解：设X分钟后重合 开始时相距240°（从12到8） 分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°（360/60；30/60） 6X=0.5X+240解得X=480/11时重合 即8点43又7/11 同理

平角：6X+180=0.5X+240解得X=120/11 8点10又10/11分 直角：6X+90=0.5X+240解得X=300/11 8点27又3/11分。 或6X-90=0.5X+240解得X=60（不合舍去）

15、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？

老师解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，

在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°

以下按追击问题可列出方程，不难求解。

解：设经过x分钟二针重合，则6x＝180＋0.5x 解得x?3608?32 111116、在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：⑴重合；⑵ 成平角；⑶成直角；

解：⑴ 设分针指向3时x分时两针重合。x?5?3?答：在3时1611804x x??16 1211114分时两针重合。 11⑵ 设分针指向3时x分时两针成平角。x?5?3?答：在3时4911x?60?2 x?49 12111分时两针成平角。 11 5

⑶设分针指向3时x分时两针成直角。x?5?3?答：在3时3218x?60?4 x?32 12118分时两针成直角。 11 行船问题

流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。 流水问题有如下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速 （V顺=V静+V水） 逆水速度=船速-水速 （V顺=V静-V水）

例：17 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

解：设船的速度为x 千米/每时，依题意得 2（x+3）=3（x-3） 解得x=15

码头之间的距离为2 x（15+3）=36（千米）

答：两码头的之间的距离是36千米。

18、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。 解：设无风时的速度为x千米/小时，依题意得

(2?50)(x?24)?3(x?24) 60解得x=840

3( x-24)=3x （840-24）=2448

答：飞机速度是每小时840千米，距离是2448千米

19、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。

解：设A与B的距离是x千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)

x40??20 解得x＝120

7.5?2.57.5?2.5xx?x?40??20 解得x＝56 ② 当C在BA的延长线上时，

7.5?2.57.5?2.5① 当C在A、B之间时，

答：A与B的距离是120千米或56千米。

（二）工程问题：

（1）、工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间 工作总量=人均工作效率×工作时间×人数

（2）．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量．

例1、 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，

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甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 解：设乙还要X天才能完成全部工程，依题意得

x11?(?)?3?1 121512解得X=6.6

答：乙还要6.6天才能完成全部工程

2.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？

解：设再做x天可完成工程的5/6,可得： 4115?(?)x? 1616126解得x=4

答：再做4天后可完成工程的六分之五。

3、甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的多少天?

2,问甲、乙两队单独做,各需3巧解：设乙队每天完成的工作量为x，那么甲队每天完成的工作量为，由题意得：

解得x=1/6

答：甲队单独做需9天，乙队单独做需6天。 4.已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池注满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；如果同时打开进水管和出水管，求几小时后可以把空池注满？ 解：设如果同时打开进水管和出水管，x小时后可以把空池注满，依题意得

（11-）x?1 1524解得x=40

答：如果同时打开进水管和出水管，40小时后可以把空池注满。

5、一水池有一个进水管,4小时可以注满空池,池底有一个出水管,6小时可以放完满池的水.如果两水管同时打开,那么经过几小时可把空水池灌满? 解：令水箱为1，进水管每小时注水

11 ， 出水管每小时放水 ， 46设两水管同时打开 , 经过x小时可把空水池灌满则由题意得 （

11－）x=1 , 解得x=12 答：经过12小时可把空水池灌满。 466、一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h注满水池，乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？

7

（

111?-）x?1 X=6 12824答：如果三管同开，6小时后刚好把水池注满水。

7.整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。

解法一：设原先安排x人，依题意得， 4x+（x+2）×8=40 解得 x=2 答：原来有2个人

解法二: 设先安排x人 由题目,有 1/40*4x+1/40(x+2)*8=1 解得 x=2 答：应先安排2人

8、一项工程300人共做, 需要40天,如果要求提前10天完成,问需要增多少人?

1，设需要增x人,

40?3001 则列出方程为 ?x?300??30?1 解得 x=100

40?300解：由已知每人每天完成

答：需要增100人

9.某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？

解：设甲做X个/天，依题意得

3030?1.5?，解得X=4. xx?1原计划就是30/4=7.5天。

答：甲工人每天能做4个零件？原计划7.5天完成。

（三）和差倍分问题

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率??”来体现。

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现。

例1：某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？

例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

解：设原有X升，依题意得

（1-25%）X-40%(75%X)+1=25%x+40%（75%X）

解得X=10 答：油箱里原有汽油10公斤。

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（四）比例问题

比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，利用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和=总量。

1、学校有电视和幻灯机共90台，已知电视机和幻灯机的台数比为2 ：3，求学校有电视机和幻灯机各多少台？

2. 如果两个课外兴趣小组共有人数54人，两个小数的人数之比是4:5；如果设人数少的一组有4x人，那么人数多的一组有________人，可列方程为: ______________________

3. 甲乙两人身上的钱数之比为7:6，两人去商店买东西后，甲花去50元，乙花去60时，此时他们身上的钱数之比为3：2，则他们身上余下的钱数分别是多少？

4、某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知A、B、C三种型号的洗衣机的数量比是2：3：5，则三种型号的洗衣机各生产多少台？

5、某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数，甲和乙的比是3：4，乙和丙的比是2：3。若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件，问每个工人各生产多少件？

（五）劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

解：设需从第一车间调x人到第二车间2(64-x)=56+x 解得x=24

答：需从第一车间调24人到第二车间。

例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

分析：如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间人相等.设乙车间x人，则甲车间x+200人

解：设乙车间x人，则甲车间（x+200）人，依题意得 6（x-100）=x+200+100 解得x=150

答：甲乙车间的人数分别为350人、150人

3、甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下的人数是原乙队人数的一半还多15人，求甲、乙两队原有人数各多少人？

解设乙队有X人，则甲有2X人 ，依题意得 2X-12=1/2X+15 解得X=18 甲：18X2=36（人） 答：甲队有36人，乙队有18人

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（六）分配问题：

例1、.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。

解：设有x间 ，依题意得

9(x-2)=8x+12 解得 x=30 所以宿舍30间，学生8 x 30+12=252（人）

答：房间有30间，学生有252人。

2.学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少学生，多少汽车？ 解：设有X辆汽车 ，依题意得

45X+28=50(X-1)-12

解得X=18 汽车=18辆 学生=45 X 18+28=838（个）

答：共有838个学生，18辆汽车。

3、有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果有40㎡墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷30㎡的墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积是多少平方米？

解：设师傅一天粉刷x平方米，徒弟一天粉刷（x－30）平方米 则一天3名师傅粉刷3x平方米，5名徒弟粉刷5（x-30）平方米 列方程 （3x＋40）/8＝5（x－30）/9 解得 x＝120 每个房间需要粉刷的面积（3x120+40）/8=50（平方米） 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是50平方米。

（七）配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系（比值）。

1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母） 2．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

3.某车间加工机轴和轴承，一个工人每天平均可加工15个机轴或10个轴承。该车间共有80人，一根机轴和两个轴承配成一套，问应分配多少个工人加工机轴或轴承，才能使每天生产的机轴和轴承正好配套。

4．某队有45人参加挖土和运土劳动每人每天挖土4方或运土6方应该怎样分配挖土和运土的人数才能书每天挖出的土？

5.包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？

6.某部队派出一支有25人组织的小分队参加防汛抗洪斗争，若每人每小时可装泥土18袋或每2人每小时可抬泥土14袋，如何安排好人力，才能使装泥和抬泥密切配合，而正好清场干净。

7.某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？

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（八）年龄问题：

例1：甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是几岁？

2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。

3、三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁，乙比丙大2岁，三人的年龄之和为41，求乙同学的年龄. x+1+x+x-2=41 x=14

4、今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？ 曾经：哥哥 弟弟 曾经：哥哥 弟弟 X 今年：X+

XX X 22X X 今年：55-X X 2XX X++X =55 X=22 55-x-x= X- X=22

225．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍， 则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．

由题意，得2×（9+x）=15+x 18+2x=15+x，2x-x=15-18∴x=-3 答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．

（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3?年后具有相反意义的量）

（九）数字问题：

（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其

中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。 （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

例1.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。 2 .一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为8,把这个两位数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求原来的两位数?

3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大63，求原来的两位数。

4.三位数的数字之和是17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数大3，如把百位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大495，求原数．

5.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之

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和等于这个两位数的

1，求这个两位数。 4

13579

1113151719

21232527296.将连续的奇数1，3，5，7，9?，排成如下的数表：

3133353739（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？

（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.

（十）比赛积分问题：

1、某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了几道题？

2、某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？

3、小明在一次篮球比赛中，共投中15个球（其中包括2分球和3分球），共得34分，则小明共投中2分球和3分球各多少个？

（十一）销售问题

（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。 （2）利润问题常用等量关系：

商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价

商品售价－商品进价商品利润商品进价商品利润率＝商品进价×100%＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量

（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．即商品售价=商品标价×折扣率．

例.1、 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利

15元，这种服装每件的进价是多少？ 2、某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？

3、某商店在同一时间内以每件60元的价格卖出2件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这2件衣服是盈利还是亏损了，还是不盈不亏？

4.某件商品进价为800元，出售时标价为1200元，现准备打折出售该商品，但要保证利润率

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不低于5％，则最多可打几折？

5、某商品进价1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润率为20%，则此商品是按几折销售的？

6、一商场把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，如果该彩电的进货价是2400元，那么彩电的标价是多少元？

7.商店里有种型号的电视机，每台售价1200元，可盈利20%，现有一客商以11500元的总价购买了若干台这咱型号的电视机，这样商店仍有15%的利润，问客商买了几台电视机？

8、 现对某商品降价10％促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？

（十二） 储蓄问题

1．顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率. 2．储蓄问题中的量及其关系为：

利息＝本金×利率×期数 本息和＝本金+利息

利率?利息本金×100% 利息税=利息×税率（20%）

例1. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

2.莉莉的叔叔将打工挣来的25000元钱存入银行，整存整取三年，年利率为3.24%，三年后本金和利息共有 元（不计利息税）

3.国家规定：存款利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%.小明有一笔一年定期存款，如果到期后全取出，可取回1219元。求小明的这笔一年定期存款是多少元?

（十三）增长率问题：

1.某化肥厂去年生产化肥3200吨，今年计划生产3600吨，今年计划比去年增产 % 2.某加工厂有出米率为70%的稻谷加工大米，现在加工大米100公斤，设要这种大米x公斤，则列出的正确的方程是 。。 3.某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50万册，而第四季度印刷了58万册，求季度的增长率是多少？

4.两个班组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20％、第二组超额15％完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。问本月原计划每组各生产多少个零件？ 5.甲、乙两厂去年完成任务的112%和110%，共生产机床4000台，比原来两厂任务之和超产400台，问甲厂原来的生产任务是多少台？

6.民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞

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机票价的1.5％购买行李票。一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付了1323元，求该旅客的机票票价。

7.某村去年种植的油菜籽亩产量达150千克，含油率为40﹪。今年改种新选育的油菜籽后亩产量提高了30千克，含油率提高了10百分点。今年与去年相比，油菜的种植面积减少了40亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高了20﹪。（1）求今年油菜的种植面积。 设今年油菜的种植面积是x 亩。完成下表后再列方程解答。 去年 今年 亩产量 种植面积 （千克/亩） （亩） 150 x 油菜籽总产量 （千克） 含油率 40﹪ 产油量 （千克） （2）已知油菜种植成本为200元/亩，菜油收购价为6元/千克。试比较这个村去今两年种植油菜的纯收入。

（十四）、等积变形问题

等积变形问题

等积变形是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

2?rh ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝

②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc

1、一个长方形的周长为26㎝，这个长方形的长减少1㎝，宽增加2㎝，就可成为一个正方

形，则原长方形的长和宽各为多厘米？

2、在一个底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥体容器中倒满水，然后将水倒入一个底面直径为10厘米的圆柱体空容器内，圆柱体容器内的水有多高？

3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？

（十五）、方案选择问题

1、某通讯公司推出了甲、乙两种市内移动通讯业务。甲种使用者需每月缴纳15元月租费，然后每通话1分钟，再付花费0.3元；乙种使用者不缴纳月租费，每通话1分钟，付花费0.6元。根据一个月的通话时间，选择哪种方式更优惠？

2.在“五一”黄金周期间，小明小亮等同学随家人一同到将狼山游玩，下面是购买门票是，小明与他爸爸的对话：爸爸说：“大人总门票每张35元，学生门票五折优惠，我们总共有12人，共要350元。”小敏说：“爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否更省钱。” 票价单：成人：35元一张。 学生：按成人5折优惠，团体票：16人以上（含16人）按成人票6折优惠。问题：（1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？(2)小明算一算，用那种方式买票更省钱？并说明理由

3某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价30元，?文具盒每个定价5元，商店实行两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款，若该班需购书包8

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个，设需购文具盒x个（x≥8），付款共y元．

（1）用含x的式子分别表示这两种优惠方案的付款； （2）若购文具盒30个，应选哪种优惠方案？付多少钱？ （3）你认为应选择哪种方案更合算？

4、.某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟, 再付话费0.3元； 乙种使用者不缴月租费, 每通话1分钟, 付话费0.6元。若一个月内通话时间为x分钟, 甲、乙两种的费用分别为y1和y2元。 (1)、试求一个人要打电话30分钟,他应该选择那种通信业务? （2）、根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？

5.某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游，甲旅行社说“如果校长买一张票，则其余学生可享受半价优惠”，乙旅行社说“包括校长在内全部按票价的6折优惠”（即按票的60%收费）。现在全票价为240元，学生数为5人，请算一下哪家旅行社优惠？你喜欢哪家旅行社？如果是一位校长，两名学生呢？

6.小明想在两种灯中选购一种，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价50元，另一种是100瓦（即0.1千瓦）的白炽灯，售价5元，两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时内）节能灯售价高，但较省电，白炽灯售价低，但用电多，电费0.5元/千瓦·时

（1）照明时间500小时选哪一种灯省钱？（2）照明时间1500小时选哪一种灯省钱？ （3）照明多少时间用两种灯费用相等？

7. 清风乐园门票价格如下表所示：

某校七年级①、②两个班共104人去清风乐园春游，其中①班人数较少，不到50人，②班人数较多，超过50人，经估算若两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． （1）请算出两个班各有多少名学生．

（2）想一想：你认为他们如何购票比较合算？

（3）假如①班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较合算的购票方案吗？

8.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3?种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，?销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，

设购A种电视机x台，则B种电视机y台．

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（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2100（50-x）=90000 x=25 50-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2500（50-x）=90000 x=35 50-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程

2100y+2500（50-y）=90000 4y=350，不合题意

可选两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电

视机15台．

（2）若选择（1）①，可获利150×25+250×15=8750（元）

若选择（1）②，可获利150×35+250×15=9000（元） 故为了获利最多，选择第二种方案．

9．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，?但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，?在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？为什么？

10.某市剧院举办大型文艺演出，其门票价格为：一等席300元／人,二等席200元／人，三等席150元／人,某公司组织员工36人去观看,计划用5850元购买2种门票,请你帮助公司设计可能的购票方案。

11.某农户2000年承包荒山若干公顷，投资7800元改造后，种果树2000棵，今年水果总产量为18000kg，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b

①分别用a、b表示用两种方式出售水果的收入。

②若a=1.3元，b=1.1元，且两种出售水果方式都在相同时间内售完全部水果，请通过计

算说明，选择哪种出售方式较好？

（十六）浓度问题

1.有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水______________千克。

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2、某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50％的硫酸多少千克？

3.今需将浓度为80％和15％的两种农药配制成浓度为20％的农药4千克，问两种农药应各取多少千克？

4.甲、乙两块合金，含银和铜的比分别是甲为4：3，乙为7：9，今从两块合金中各取多少千克，能得到含银84千克、含铜82千克的新合金？

5.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，两种合金应各取多少？

（十七）古典数学：

1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。

2.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

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